Pi

Simbol Pi, π.

Bilangan Templat:Pi (Templat:IPAc-en; dieja "pi") adalah konstanta matematika yang merepresentasikan rasio antara keliling sebuah lingkaran dengan diameternya. Nilai Templat:Pi secara mendekati adalah 3,14159. Sebagai bilangan yang istimewa, Templat:Pi banyak digunakan dalam berbagai bidang ilmu seperti matematika dan fisika. Templat:Pi dikenal sebagai bilangan irasional, artinya bilangan ini tidak dapat dinyatakan secara persis sebagai perbandingan dua bilangan bulat. Meskipun demikian, bilangan pecahan sederhana seperti $\frac{22}{7}$ sering digunakan untuk mendekati nilai π. Keunikan Templat:Pi juga terletak pada desimalnya yang tak pernah berakhir dan tidak memiliki pola berulang. Selain itu, Templat:Pi merupakan bilangan transenden. Hal ini berarti bahwa Templat:Pi tidak dapat menjadi solusi dari persamaan polinomial apapun dengan koefisien bilangan bulat. Sifat transendental ini menjelaskan mengapa masalah kuno mengkuadratkan lingkaran menggunakan jangka dan penggaris tidak mungkin diselesaikan. Digit desimal bilangan π tampaknya terdistribusi secara acak.Templat:Efn Meskipun demikian, hingga saat ini belum ada pembuktian matematis yang mendukung anggapan tersebut.

Sejak ribuan tahun silam, para matematikawan dari berbagai peradaban telah mempelajari Templat:Pi. Bangsa Mesir dan Babilonia kuno, Templat:Pi digunakan dalam perhitungan praktis. Sekitar tahun 250 SM, Archimedes dari Yunani memperkenalkan algoritma untuk menghitung nilai Templat:Pi dengan presisi tinggi. Pada abad ke-5 M, matematikawan Tiongkok berhasil mendekati nilai Templat:Pi hingga tujuh angka desimal, sementara matematikawan India mencapai lima angka desimal, keduanya menggunakan metode geometris. Ribuan tahun kemudian, penemuan deret tak hingga untuk menghitung Templat:Pi membuka babak baru dalam pemahaman nilai ini.Templat:Sfn Simbol Yunani π pertama kali digunakan oleh William Jones pada tahun 1706.

Penemuan kalkulus pada abad ke-17 memberikan langkah penting dalam penghitungan bilangan Templat:Pi hingga ratusan digit, cukup untuk keperluan ilmiah praktis pada masanya. Namun, pada abad ke-20 dan ke-21, ahli matematika dan ilmuwan komputer mengembangkan metode baru dengan memanfaatkan peningkatan daya komputasi dan berhasil memperluas representasi desimal Templat:Pi hingga triliunan digit. Motivasi di balik pencapaian ini melibatkan pengembangan algoritma yang efisien untuk menghitung deret numerik, sekaligus memenuhi ambisi manusia untuk mencetak rekor baru.Templat:Sfn Perhitungan masif ini juga digunakan untuk menguji kinerja superkomputer dan perangkat keras komputer konsumen.

Sebagai konstanta yang mendasari lingkaran, Templat:Pi banyak muncul dalam rumus matematika, fisika, dan teknik, terutama dalam trigonometri and geometri. Misalnya, rumus untuk luas lingkaran dan volume bola merupakan aplikasi fundamental. Bilangan ini juga berperan dalam bidang ilmu lain, seperti kosmologi, fraktal, termodinamika, mekanika, dan elektromagnetisme. Lebih jauh lagi, Templat:Pi muncul dalam cabang ilmu yang tampaknya tidak berhubungan dengan geometri, seperti teori bilangan dan statistika. Dalam analisis matematika modern, Templat:Pi bahkan dapat didefinisikan tanpa referensi langsung terhadap geometri. Templat:Pi adalah salah satu konstanta matematika paling terkenal, baik di dalam maupun di luar komunitas ilmu pengetahuan. Buku-buku yang mengupas tentang bilangan ini banyak diterbitkan, dan penghitungan rekornya sering menjadi berita utama.

Tinjauan dasar

Nama

Simbol yang digunakan oleh para matematikawan untuk mewakilkan rasio keliling suatu lingkaran terhadap diameternya adalah huruf Yunani "Templat:Pi". Huruf tersebut dapat dituliskan sebagi pi menggunakan huruf latin. Huruf kecil Templat:Pi (atau π dalam gaya huruf sans-serif) berbeda dengan huruf besar $\mathrm{\Pi }$, yang mewakili perkalian barisan.

Pemilihan simbol π didiskusikan pada bagian Penggunaan simbol π

Definisi

Keliling lingkaran adalah sedikit lebih panjang dari tiga kali panjang diameternya. Perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya disebut Templat:Pi.

Templat:Pi umumnya didefinisikan sebagai rasio keliling lingkaran Templat:Math dengan diameternya Templat:Math:

$\pi =\frac{C}{d}$

Rasio Templat:Math bernilai konstan tak tergantung pada ukuran lingkaran. Contohnya, jika suatu lingkaran memiliki diameter dua kali lipat daripada lingkaran lainnya, ia juga akan memiliki keliling yang dua kali lipat lebih besar, sehingganya nilai rasio Templat:Math akan tetap sama. Definisi Templat:Pi seperti ini secara implisit menggunakan geometri Euklides. Walaupun gagasan akan lingkaran juga dapat diperluas ke dalam geometri non-Euklides, namun lingkaran yang baru ini tidak akan lagi memenuhi rumus Templat:Math. Terdapat pula definisi Templat:Pi lainnya yang tidak menyebut-nyebut lingkaran sama sekali, yakni: Templat:Pi adalah bilangan yang bernilai dua kali lipat dari bilangan positif terkecil Templat:Math yang mana Templat:Math sama dengan 0.

Ciri-ciri

Templat:Pi adalah bilangan irasional, yang berarti bahwa ia tidak dapat ditulis sebagai rasio dua bilangan bulat. Karena Templat:Pi irasional, maka ia memiliki digit bilangan desimal yang tak terhingga banyaknya. Terdapat beberapa bukti bahwa Templat:Pi irasional. Umumnya pembuktian ini memerlukan kalkulus dan bergantung pada teknik reductio ad absurdum. Sejauh mana bilangan Templat:Pi dapat didekati menggunakan bilangan rasional tidaklah diketahui.

Karena Templat:Pi adalan bilangan transendental, Pemersegian lingkaran tidaklah dimungkinkan menggunakan jangka dan penggaris.

Templat:Pi adalah bilangan transendental, yang berarti bahwa ia bukanlah penyelesaian dari polinom non-konstan berkoefisien rasional manapun seperti $\frac{x^5}{120}-\frac{x^3}{6}+x=0.$ Transendensi Templat:Pi mempunyai dua konsekuensi penting. Pertama, Templat:Pi tidak dapat diekspresikan menggunakan kombinasi bilangan rasional dan akar kuadrat ataupun akar pangkat ke-n manapun seperti $\sqrt[3]{31}$ atau $\sqrt[2]{10}.$ Kedua, oleh karena tiada bilangan transendental apapun yang dapat dikonstruksikan menggunakan jangka dan penggaris, tidaklah dimungkinkan untuk "mempersegikan lingkaran". Dengan kata lain, tidaklah mungkin untuk mengkonstruksi persegi yang luasnya sama dengan luas lingkaran tertentu hanya dengan menggunakan jangka dan penggaris. Pemersegian lingkaran merupakan salah satu teka-teki geometri yang penting pada zaman era klasik. Matematikawan amatiran pada zaman modern kadang-kadang masih berusaha mempersegikan lingkaran dan mengklaim berhasil menyelesaikannya, walaupun telah diketahui hal ini tidak mungkin dilakukan.

Digit-digit Templat:Pi tidak memiliki pola apapun dan telah melewati uji keacakan statistis meliputi uji normalitas; sebuah bilangan dengan panjang tak terhingga dikatakan normal apabila keseluruhan barisan digitnya muncul sama banyaknya. Hipotesis bahwa Templat:Pi adalah normal belum berhasil dibuktikan maupun dibantah. Sejak ditemukannya komputer, sejumlah besar digit Templat:Pi telah berhasil dikomputasi untuk dianalisis secara statistik. Yasumasa Kanada telah menganalisis secara detail digit-digit desimal Templat:Pi dan menemukannya konsisten dengan normalitas. Tiada bukti sepuluh digit 0 sampai dengan 9 yang ditemukan memiliki pola-pola apapun. Walaupun digit-digit Templat:Pi telah melewati uji keacakan statistik, Templat:Pi mengandung beberapa barisan digit yang tampaknya tidak acak, misalnya titik Feynman, yang merupakan barisan enam angka 9 secara beruruan yang dimulai dari desimal ke-762 Templat:Pi.

Pecahan kontinu

Konstanta Templat:Pi yang disajikan dalam bentuk mosaik di luar Gedung Matematika di Universitas Teknik Berlin.

Sama seperti semua bilangan irasional lainnya, Templat:Pi tidak dapat diwakilkan sebagai pecahan sederhana. Namun setiap bilangan irasional, termasuk Templat:Pi dapat diwakilkan menggunakan deret pecahan bersarang tak terhingga yang disebut sebagai pecahan kontinu:

$\pi =3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1+\frac{1}{292+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots }}}}}}}$

Penghentian pecahan kontinu pada titik pembagian manapun akan memberikan nilai pendekatan Templat:Pi; dua pecahan 22/7 dan 355/113 secara historis digunakan sebagai pendekatan terhadap Templat:Pi. Walauapun pecahan kontinu yang sederhana (seperti pada contoh di atas) untuk Templat:Pi tidak memiliki pola-pola tertentu, matematikawan telah menemukan beberapa pecahan kontinu generalisasi yang memiliki pola tertentu, misalnya:

$\pi =\frac{4}{1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{2+\frac{7^2}{2+\frac{9^2}{2+\ddots }}}}}}=3+\frac{1^2}{6+\frac{3^2}{6+\frac{5^2}{6+\frac{7^2}{6+\frac{9^2}{6+\ddots }}}}}=\frac{4}{1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{7+\frac{4^2}{9+\ddots }}}}}$

Nilai pendekatan/taksiran

Beberapa [[Pendekatan π|pendekatan Templat:Pi]] meliputi:

• Bilangan bulat: 3
• Pecahan: Pendekatan pecahan meliputi: (diurutkan berdasarkan kenaikan akurasi) Templat:Sfrac, Templat:Sfrac, Templat:Sfrac, Templat:Sfrac, Templat:Sfrac, dan Templat:Sfrac.Templat:Sfn (Disarikan dari Templat:OEIS2C and Templat:OEIS2C.)
• Desimal: Limapuluh desimal pertama adalah Templat:Gaps Templat:OEIS2C
• Biner: Pendekatan basis 2 hingga 48 digit adalah Templat:Gaps
• Heksadesimal: Pendekatan basis 16 hingga 20 digit adalah Templat:Gaps
• Seksagesimal: Pendekatan basis 60 hingga lima digit seksagesimal adalah 3;8,29,44,0,47

Bilangan kompleks dan identitas Euler

Asosiasi antara $e$ pangkat bilangan imajiner dan titik-titik pada lingkaran satuan yang berpusat pada titik pusat di bidang kompleks dinyatakan oleh rumus Euler.

Suatu bilangan kompleks, katakan $z$, dapat dinyatakan menggunakan pasangan bilangan real. Dalam sistem koordinat polar, jari-jari (dilambangkan $r$) digunakan untuk menyatakan jarak $z$ dari titik pusat ke pusat bidang kompleks, sedangkan sudut (dilambangkan $\phi$) menyatakan putaran berlawanan arah jarum jam dari garis bilangan real positif:

$z=r\cdot (\cos \phi +i\sin \phi )$,

dengan $i$ adalah unit imajiner dari $i^2=-1$. Kemunculan penggunaan $\pi$ dalam analisis kompleks dapat dihubungkan dengan perilaku fungsi eksponensial variabel kompleks, yang dijelaskan oleh rumus Euler:

$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi$,

dengan [[E (konstanta matematika)|konstanta Templat:Math]] adalah basis logaritma natural. Rumus ini menghasilkan hubungan antara $e$ pangkat bilangan imajiner dan titik-titik pada lingkaran satuan yang berpusat pada titik pusat di bidang kompleks. Substitusi $\phi =\pi$ dalam rumus Euler menghasilkan identitas Euler, disambut gembira oleh para matematikawan karena mengandung lima konstanta matematika paling penting:

$e^{i\pi }+1=0$.

Sebanyak $n$ bilangan kompleks $z$ yang berbeda dalam persamaan $z^n=1$, disebut "akar satuan pangkat-$n$". Rumus di atas dinyatakan dalam persamaan:

$e^{\frac{2\pi ik}{n}}(k=0,1,2,\dots ,n-1)$.

Sejarah

Zaman kuno

Piramida Giza Mesir yang dibangun pada tahun 2589–2566 SM, dibangun dengan kelilingnya sekitar 1760 kubit dan tinggi sekitar 280 kubit. Perbandingan antara keliling dengan tinggi piramida ini adalah Templat:Frac ≈ 6,2857. Nilai ini mendekati 2Templat:Pi ≈ 6,2832. Berdasarkan rasio ini, beberapa ahli Mesir kuno menyimpulkan bahwa pendiri bangunan piramida ini memiliki pengetahuan akan Templat:Pi dan dengan sengaja mendesain piramida dengan rasio seperti ini. Beberapa ahli menyanggah hal tersebut dan menyimpulkan hal ini hanyalah kebetulan belaka karena tiada bukti lain apapun yang mendukungnya.

Pendekatan tertulis terhadap nilai Templat:Pi paling awal ditemukan di Mesir dan Babilonia, dengan nilai pendekatan berselisih lebih kurang 1 persen dari nilai sebenarnya. Sebuah lempeng liat dari Babilonia tahun 1900-1600 SM memuat penyataan mengenai geometri yang mengasumsikan Templat:Pi sebagai 25/8 = 3,1250. Di Mesir, Papirus Rhind yang berasal dari tahun 1650 SM (papirus ini sendiri merupakan salinan dari dokumen tahun 1850 SM) memiliki rumus luas lingkaran yang mengasumsikan nilai Templat:Pi sebagai (Templat:Frac)² ≈ 3,1605.

Di India sekitar tahun 600 SM, catatan Sutra Shulba dalam bahasa Sanskerta memuat nilai Templat:Pi sebesar (Templat:Frac)² ≈ 3,088. Pada tahun 150 SM, sumber-sumber catatan dari India memperlakukan Templat:Pi sama dengan $\sqrt{10}$ ≈ 3,1622.

Dua ayat dalam alkitab Ibrani (yang ditulis antara abad ke-8 dan ke-3 SM) medeskripsikan sebuah kolam seremonial dalam Bait Salomo yang berdiameter 10 kubit dan kelilingnya 30 kubit; ayat ini menyiratkan bahwa Templat:Pi adalah sekitar tiga apabila kolam tersebut berbentuk lingkaran. Rabbi Nehemiah menjelaskan bahwa diskrepansi ini diakibatkan oleh ketebalan pinggiran kolam. Hasil kerja paling awal Rabbi Nehemiah Mishnat ha-Middot yang ditulis sekitar tahun 150 mengambil nilai Templat:Pi sebesar tiga dan sepertujuh.

Zaman pendekatan poligon

Templat:Pi dapat diperkirakan dengan menghitung keliling poligon luar dan dalam lingkaran.

Algoritma paling awal yang tercatat secara cermat menghitung nilai Templat:Pi adalah pendekatan geometri menggunakan poligon. Algoritme ini ditemukan sekitar 250 SM oleh matematikawan Yunani Archimedes. Algoritme poligon ini mendominasi selama 1.000 tahun, dan karenanya Templat:Pi kadang-kadang dirujuk juga sebagai "konstanta Archimedes". Archimedes menghitung batas atas dan bawah Templat:Pi dengan menggambar poligon di luar dan di dalam sebuah lingkaran, dan secara perlahan melipatgandakan sisi-sisi poligon tersebut hingga mencapai 96-gon. Dengan menghitung keliling poligon-poligon tersebut, Archimedes membuktikan bahwa Templat:Frac < Templat:Pi < Templat:Frac (3,1408 < Templat:Pi < 3,1429). Batas atas Archimedes sekitar Templat:Frac membuat banyak orang percaya bahwa Templat:Pi sama dengan Templat:Frac. Sekitar tahun 150, Ptolemaeus dalam Almagest-nya, memberikan nilai Templat:Pi sebesar 3,1416. Hasil ini kemungkinan dia dapatkan dari Archimedes ataupun dari Apollonius dari Perga. Para matematikawan kemudian menggunakan algoritme ini dan mencapai rekor 39 digit Templat:Pi pada tahun 1630 sebelum dipecahkan pada tahun 1699 menggunakan deret tak terhingga.

Archimedes mengembangkan algoritme poligon untuk menghitung nilai pendekatan Templat:Pi.

Pada zaman Cina kuno, nilai Templat:Pi adalah 3,1547 (sekitar tahun 1 Masehi), $\sqrt{10}$ (tahun 100, sekitar 3,1623), dan 142/45 (abad ke-3, sekitar 3,1556). Sekitar tahun 265, matematikawan dari Kerajaan Wei, Liu Hui, menemukan algoritma iteratif berbasis poligon yang digunakan dengan 3072-gon untuk menghasilkan nilai Templat:Pi sebesar 3,1416. Liu kemudian menciptakan metode yang lebih cepat dan mendapatkan nilai 3,14 dengan menggunakan 96-gon. Matematikawan Cina Zu Chongzhi sekitar tahun 480 menghitung bahwa Templat:Pi ≈ Templat:Frac (pecahan ini dinamakan pecahan Milü dalam bahasa Cina) dengan menggunakan algoritme Liu Hui dan menerapkannya menggunakan 12.288-gon. Nilai yang didapatkannya adalah 3,141592920... dan akurat sebanyak tujuh digit. Nilai pendekatan ini merupakan nilai yang paling akurat selama 800 tahun ke depan.

Astronom India Aryabhata menggunakan nilai 3,1416 dalam Āryabhaṭīya (tahun 499). Fibonacci pada tahun  1220 menghitung nilai Templat:Pi dan mendapatkan hasil 3,1418 menggunakan metode poligon.

Astronom Persia Jamshīd al-Kāshī menghasilkan 16 digit nilai Templat:Pi pada tahun 1424 menggunakan poligon bersisi 3×2²⁸,. Ini kemudian menciptakan rekor untuk 180 tahun. Matematikawan Prancis François Viète pada tahun 1579 mencapai 9 digit menggunakan poligon bersisi 3×2¹⁷. Matematikawan Flandria mencapai 15 digit desimal pada tahun 1593. Pada tahun 1596, matematikawan Belanda Ludolph van Ceulen mencapai 20 digit, dan rekor ini dipecahkan oleh dirinya sendiri mencapai 35 digit. Ilmuwan Belanda Willebrord Snellius mencapai 34 digit pada tahun 1621, dan astronom Austria Christoph Grienberger mencapai 38 digit pada tahun 1630, adalah nilai terakurat yang didapatkan secara perhitungan manual menggunakan pendekatan poligon.

Deret takhingga

Perhitungan Templat:Pi direvolusi oleh berkembangnya teknik deret takhingga pada abad ke-16 dan 17. Deret takhingga merupakan penjumlahan deretan suku-suku yang tak terhingga banyaknya. Hal ini memungkinkan matematikawan menghitung nilai Templat:Pi dengan presisi yang melebihi metode Archimedes. Walaupun metode deret takhingga utamanya digunakan oleh matematikawan Eropa untuk menghitung nilai Templat:Pi, pendekatan ini pertama kali ditemukan di India antara tahun 1400 dan 1500. Deskripsi tertulis pertama mengenai deret takhingga yang dapat digunakan untuk menghitung Templat:Pi terdapat dalam ayat Sanskerta yang ditulis oleh astronom India Nilakantha Somayaji dalam buku Tantrasamgraha sekitar tahun 1500. Deret ini diberikan tanpa pembuktian, walaupun pembuktian ini kemudian diberikan kemudian dalam Yuktibhāṣā sekitar tahun 1530. Nilakantha memberi kredit penemuan deret ini kepada matematikawan India Madhava dari Sangamagrama yang hidup antara tahun 1350 – c. 1425. Beberapa deret tak terhingga dijelaskan, meliputi deret untuk sinus, tangen, dan kosinus, yang dikenal sebagai deret Madhava atau deret Gregory-Leibniz. Madhava menggunakan deret takhingga untuk memperkirakan nilai Templat:Pi sampai dengan 11 digit sekitar tahun 1400. Namun rekor tersebut dikalahkan oleh matematikawan Persia Jamshīd al-Kāshī pada tahun 1430 menggunakan algoritme poligon.

Isaac Newton menggunakan deret takhingga untuk menghitung nilai Templat:Pi sampai 15 digit.

Deret takhingga yang ditemukan di Eropa pertama kali adalah perkalian takhingga (daripada penjumlahan takhingga), yang ditemukan oleh matematikawan Prancis François Viète pada tahun 1593:

$\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots$

Deret takhingga kedua yang ditemukan di Eropa oleh John Wallis pada tahun 1655 juga merupakan perkalian takhingga. Penemuan kalkulus oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz pada tahun 1660-an mendorong perkembangan banyak deret takhingga untuk menghitung nilai Templat:Pi. Newton sendiri menggunakan deret arka sinus untuk menghitung Templat:Pi sampai dengan 15 digit pada tahun 1665 atau 1666.

Di Eropa, rumus Madhava ditemukan ulang oleh matematikawan Skotlandia James Gregory pada tahun 1671, dan oleh Leibniz pada tahun 1674:

$\arctan z=z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{5}-\frac{z^7}{7}+\cdots$

Rumus ini, yang disebut deret Gregory-Leibniz, sama dengan $\pi /4$ ketika dievaluasi bersama dengan Templat:Math = 1. Pada tahun 1699, matematikawan Inggris Abraham Sharp menggunakan deret ini untuk menghitung Templat:Pi sampai dengan 71 digit, dan memecahkan rekor 39 digit sebelumnya. Deret Gregory-Leibniz cukup sederhana, namun konvergen sangat lambat, sehingga ia tidak digunakan pada zaman modern untuk menghitung Templat:Pi.

Pada tahun 1706, John Machin menggunakan deret Gregory-Leibniz untuk menghasilkan algoritme yang berkonvergen lebih cepat:

$\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}$

Machin mencapai 100 digit Templat:Pi dengan rumus ini. Beberapa matematikawan kemudian menciptakan beberapa varian yang digunakan untuk memecahkan rekor digit Templat:Pi secara suksesif. Rumus bak-Machin ini merupakan metode perhitungan digit Templat:Pi yang terbaik sebelum ditemukannya komputer. Rekor penemuan digit Templat:Pi terus dipecahkan menggunakan rumus ini selama 250, sampai dengan 620 digit oleh Daniel Ferguson pada tahun 1946. Nilai pendekatan ini dihasilkan tanpa menggunakan alat hitung apapun.

Matematikawan Britania William Shanks terkenal akan usahanya selama 15 tahun untuk menghitung nilai Templat:Pi sampai dengan 707 digit. Namun ia membuat kesalahan pada digit ke-528, membuat digit-digit selanjutnya salah.

Laju konvergensi

Beberapa deret takhingga untuk Templat:Pi berkonvergen lebih cepat daripada yang lainnya. Matematikawan biasanya akan menggunakan deret yang lebih cepat berkonvergen untuk menghemat waktu sampai dengan tingkat akurasi tertentu. Deret tak terhingga untuk Templat:Pi yang sederhana misalnya deret Gregory-Leibniz:

$\pi =\frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}+\frac{4}{13}-\cdots$

akan perlahan-lahan mendekati Templat:Pi. Nilainya berkonvergen sangat lambat. Sampai dengan suku ke 500.000, deret ini hanya menghasilkan lima digit desimal yang benar untuk Templat:Pi.

Deret yang lebih cepat berkonvergen adalah (digunakan oleh Nilakantha pada abad ke-15):

$\pi =3+\frac{4}{2\times 3\times 4}-\frac{4}{4\times 5\times 6}+\frac{4}{6\times 7\times 8}-\frac{4}{8\times 9\times 10}+\cdots$

Perbandingan konvergensi kedua deret di atas adalah sebagai berikut:

Deret takhingga untuk Templat:Pi	Setelah suku ke-1	Setelah suku ke-2	Setelah suku ke-3	Setelah suku ke-4	Setelah suku ke-5	Berkonvergen ke:
$\pi =\frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}+\frac{4}{13}\cdots .$	4,0000	2,6666...	3,4666...	2,8952...	3,3396...	Templat:Pi = 3,1415...
$\pi =3+\frac{4}{2\times 3\times 4}-\frac{4}{4\times 5\times 6}+\frac{4}{6\times 7\times 8}\cdots .$	3,0000	3,1666...	3,1333...	3,1452...	3,1396...

Setelah lima suku, jumlah deret Gregory-Leibniz akurat dengan selisih 0,2 dari nilai Templat:Pi sebenarnya, manakala pada deret Nilakantha, selisihnya 0,0002. Deret Nilakantha berkonvergen lebih cepat dan lebih berguna dalam perhitungan Templat:Pi. Deret lainnya yang berkonvergen lebih cepat meliputi deret Machin dan deret Chudnovsky. Deret Chudnovsky mampu menghasilkan 14 digit desimal yang benar setiap suku.

Irasionalitas dan transendensi

Tidak semua penelitian matematika yang berhubungan dengan Templat:Pi ditujukan pada peningkatan akurasi nilai pendekatan Templat:Pi. Ketika Euler menyelesaikan masalah Basel pada tahun 1735, ia berhasil menurunkan hubungan antra Templat:Pi dengan bilangan prima yang kemudian berkontribusi pada berkembangnya kajian mengenai fungsi zeta Riemann:

$\frac{{\pi }^2}{6}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots$

Ilmuwan Swiss Johann Heinrich Lambert pada tahun 1761 membuktikan bahwa Templat:Pi adalah irasional, yang berarti ia bukanlah hasil dari pembagian dua bilangan bulat manapun. Pembuktian Lambert menggunakan representasi pecahan kontinu dari fungsi tangen. Matematikawan Prancis Adrien-Marie Legendre pada tahun 1794 membuktikan bahwa Templat:Pi² jugalah irasional. Pada tahun 1882, matematikawan Jerman Ferdinand von Lindemann membuktikan bahwa Templat:Pi adalah transendental, yang kemudian berhasil mengonfirmasi konjektur yang dibuat oleh Legendre dan Euler.

Penggunaan simbol Templat:Pi

Leonhard Euler mempopulerkan penggunaan huruf Yunani Templat:Pi dalam karyanya yang dipublikasikan pada tahun 1736 dan 1748.

Huruf Yunani Templat:Pi paling awal diketahui digunakan untuk mewakili rasio keliling lingkaran dengan diameternya oleh matematikawan William Jones dalam karya tahun 1706 "Synopsis Palmariorum Matheseos; or, a New Introduction to the Mathematics". Huruf Yunani ini pertama kali muncul dalam frasa "1/2 Periphery Templat:Pi" (1/2 keliling Templat:Pi) dalam mendiskusikan suatu lingkaran berjari-jari satu. Jones mungkin memilih simbol Templat:Pi karena Templat:Pi adalah huruf pertama dari kata "keliling" dalam bahasa Yunani. Namun ia menulis bahwa persamaan untuk Templat:Pi tersebut berasal dari John Machin. Simbol ini sebenarnya pernah digunakan lebih awal sebagai konsep geometri. William Oughtred menggunakan Templat:Pi dan δ, huruf Yunani yang setara dengan p dan d, untuk mengekspresikan rasio keliling dengan diameter pada tahun 1647.

Setelah Jones memperkenalkan penggunaan huruf Yunani Templat:Pi ini pada tahun 1706, simbol ini tidak digunakan secara luas oleh matematikawan lain sampai dengan Euler yang mulai menggunakannya pada karya tahun 1736-nya, Mechanica. Sebelumnya, matematikawan kadang-kadang menggunakan simbol c atau p. Karena Euler memiliki banyak koneksi dengan matematikawan-matematikawan lainnya di Eropa, penggunakan huruf Templat:Pi meluas dengan cepat. Pada tahun 1748, Euler menggunakan simbol Templat:Pi dalam karyanya Introductio in analysin infinitorum (dia menulis: "untuk mempersingkat penulisan, kita akan menulis bilangan ini sebagai Templat:Pi; sehingga Templat:Pi sama dengan setengah keliling lingkaran berjari-jari 1"). Hal ini kemudian memicu penggunaan Templat:Pi yang universal di Barat.

Pencarian digit yang lebih banyak pada zaman modern

Zaman komputer dan algoritme iteratif

John von Neumann merupakan salah satu anggota tim ENIAC yang menggunakan komputer digital untuk mengkomputasi Templat:Pi.

Perkembangan komputer yang pesat pada pertengahan abad ke-20 merevolusi perhitungan digit desimal Templat:Pi. Matematikawan Amerika John Wrench dan Levi Smith berhasil menghitung nilai pi sampai dengan 1.120 digit menggunakan kalkulator meja. Dengan menggunakan deret tak terhingga invers tangen (arctan), sekelompok tim yang dipimpin oleh George Reitwiesner dan John von Neumann pada tahun yang sama berhasil mencapai 2.037 digit menggunakan komputer ENIAC dengan lama perhitungan selama 70 jam. Rekor ini terus dipecahkan menggunakan deret arctan (7.480 digit pada tahun 1957; 10.000 digit pada tahun 1958; 100.000 digit pada tahun 1961), sampai dengan 1 juta digit pada tahun 1973.

Perkembangan lebih jauh sekitar tahun 1980 kemudian mempercepat kemampuan komputasi Templat:Pi. Pertama, penemuan algoritme iteratif baru yang lebih cepat daripada deret tak terhingga; dan kedua, penemuan algoritme perkalian cepat yang mampu mengalikan bilangan besar dengan sangat cepat. Algoritme ini sangat penting karena waktu yang dihabiskan oleh komputasi komputer kebanyakan berkutat pada perkalian. Algoritme seperti ini contohnya algoritme Karatsuba, perkalian Toom–Cook, dan metode berbasis transformasi Fourier.

Algoritme iteratif secara independen dipublikasikan pada tahun 1975-1976 oleh fisikawan Amerika Eugene Salamin dan ilmuwan Australia Richard Brent. Algoritme ini membuat komputasi digit pi bebas dari deret tak terhingga. Algoritme iteratif mengulangi perhitungan tertentu dengan tiap iterasi menggunakan hasil iterasi sebelumnya sebagai input dan setahap demi setahap menghasilkan nilai perhitungan yang berkonvergen ke nilai yang kita inginkan.

Algoritme iteratif digunakan secara meluas setelah tahun 1980 karena algoritme ini lebih cepat daripada algoritme deret tak terhingga. Manakala algoritme deret tak terhingga meningkatkan jumlah digit yang benar setiap suku, algoritme iteratif pada umumnya melipatgandakan jumlah digit yang benar pada setiap iterasi. Sebagai contohnya, algoritme Brent-Salamin menggandakan jumlah digit yang benar pada tiap iterasi. Pada tahun 1984, John dan Peter Borwein berhasil menemukan algoritme iteratif yang menggandaempatkan jumlah digit pada tiap iterasi; dan pada tahun 1987 berhasil menggandalimakan jumlah digit pada tiap iterasi. Metode iteratif digunakan oleh matematikawan Yasumasa Kanada untuk memecahkan beberapa rekor komputasi Templat:Pi antara tahun 1995 sampai dengan tahun 2002. Konvergensi yang sangat cepat ini memiliki kelemahannya sendiri, yakni memerlukan memori komputer yang jauh lebih besar daripada yang diperlukan oleh deret tak terhingga.

Motivasi komputasi Templat:Pi

Seiring dengan ditemukannya algoritme-algoritme baru dan daya perhitungan komputer yang semakin cepat, jumlah digit desimal bilangan Templat:Pi yang ditemukan meningkat secara dramatis.

Dalam perhitungan numeris yang melibatkan Templat:Pi, biasanya kita hanya memerlukan beberapa digit desimal Templat:Pi untuk mencapai tingkat presisi yang cukup tinggi. Menurut Jörg Arndt dan Christoph Haenel, 39 digit Templat:Pi sudah mencukupi untuk menghitung kebanyakan perhitungan kosmologi, karena ini merupakan jumlah digit yang diperlukan untuk menghitung volume alam semesta sampai dengan satu atom. Walau demikian, banyak orang telah bekerja keras untuk mengkomputasi Templat:Pi sampai dengan ribuan dan jutaan digit. Usaha ini sebagian dikarenakan dorongan manusia untuk memecahkan rekor, dan biasanya pencapaian seperti ini sering masuk ke dalam tajuk berita seluruh dunia. Perhitungan seperti ini juga memiliki kegunaan praktisnya, yaitu untuk menguji superkomputer, menguji algoritme analisis numeris; dan dalam lingkup matematika murni sendiri, data yang dihasilkan dapat digunakan untuk mengevaluasi keacakan digit-digit Templat:Pi.

Deret konvergen cepat

Srinivasa Ramanujan yang meneliti sendirian di India, berhasil menemukan banyak deret-deret yang inovatif untuk menghitung Templat:Pi.

Kalkulator Templat:Pi modern tidak menggunakan algoritme iteratif secara eksklusif. Deret tak terhingga baru yang ditemukan pada tahun 1980-an dan 1990-an mampu berkonvergen secepat algoritme iteratif, namun lebih sederhana dan memerlukan memori yang lebih sedikit. Penemuan algoritme iteratif cepat terdahului oleh penemuan deret konvergen cepat pada tahun 1914, ketika matematikawan India Srinivasa Ramanujan mempublikasikan lusinan rumus-rumus baru untuk Templat:Pi yang berkonvergen sangat cepat. Salah satu rumusnya yang didasarkan pada persamaan modular adalah sebagai berikut:

$\frac{1}{\pi }=\frac{2\sqrt{2}}{9801}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4k)!(1103+26390k)}{k{!}^4(396^{4k})}$

Deret ini berkonvergen lebih cepat daripada kebanyakan deret-deret arctan, meliputi rumus Machin. Bill Gosper adalah orang yang pertama kali menggunakan rumus ini untuk menghitung Templat:Pi dan memecahkan rekor 17 juta digit pada tahun 1985. Penemuan rumus-rumus Ramanjuan mendahului penemuan algoritme-algoritme modern yang dikembangkan Borwein bersaudara dan Chudnovsky bersaudara. Rumus Chudnovsky yang dikembangkan pada tahun 1987 adalah sebagai berikut

$\frac{426880\sqrt{10005}}{\pi }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!{)}^3(-640320{)}^{3k}}$

Rumus ini menghasilkan 14 digit Templat:Pi setiap sukunya, dan telah digunakan dalam berbagai perhitungan Templat:Pi yang memecahkan rekor, meliputi yang pertama kali memecahkan 10⁹ digit pada tahun 1989 oleh Chudnovsky bersaudara, 2,7 triliun (2.7×10¹²) digit oleh Fabrice Bellard pada tahun 2009, dan 10 triliun (10¹³) digit pada tahun 2011 oleh Alexander Yee dan Shigeru Kondo.

Pada tahun 2006, matematikawan Kanada Simon Plouffe menggunakan algoritme relasi integer PSLQ untuk menghasilkan beberapa rumus baru untuk Templat:Pi, yang memiliki bentuk acuan sebagai berikut:

${\pi }^k=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^k}(\frac{a}{q^n-1}+\frac{b}{q^{2n}-1}+\frac{c}{q^{4n}-1})$

dengan $𝑞$ adalah [[konstanta Gelfond|Templat:Math^Templat:Pi]] (konstanta Gelfond), $𝑘$ adalah bilangan ganjil, dan $𝑎,𝑏,𝑐$ adalah bilangan rasional tertentu yang dikomputasi Plouffe.

Metode Monte Carlo

Metode Monte Carlo, yang mengevaluasi hasil dari banyak percobaan acak, dapat digunakan untuk membuat aproksimasi Templat:Pi. Jarum Buffon adalah salah satu tekniknya: Jika sebuah jarum dengan panjang Templat:Math dijatuhkan Templat:Math kali di atas permukaan yang di atasnya digambar garis paralel yang dipisahkan sebesar Templat:Math satuan, dan jika dari Templat:Math kali ia jatuh melintasi garis (Templat:Math > 0), maka aproksimasi Templat:Pi dapat ditentukan berdasarkan perhitungan:

$\pi \approx \frac{2n\ell }{xt}$

Metode Monte Carlo lainnya untuk menghitung Templat:Pi adalah dengan menggambar sebuah lingkaran dalam sebuah persegi, dan meletakkan noktah-noktah secara acak di dalam perseegi. Perbandingan noktah di dalam lingkaran terhadap jumlah noktah total akan kira-kira sama dengan Templat:Math.

Metode Monte Carlo untuk memperkirakan Templat:Pi sangat lambat dibandingkan metode lainnya, dan tidak pernah digunakan untuk memperkirakan Templat:Pi ketika diperlukan kecepatan atau akurasi.

Algoritme keran

Dua algoritme baru yang ditemukan pada tahun 1995 membuka jalan baru bagi riset Templat:Pi. Algoritme ini dinamakan algoritme keran, karena seperti air yang menetes dari sebuah keran, algoritme ini menghasikan satu digit tunggal Templat:Pi yang tidak akan digunakan kembali setelah dihitung. Algoritme ini berbeda dari algoritme-algoritme deret tak terhingga dan iteratif yang menyisakan dan menggunakan semua digit-digit intermediat sampai penyelesaian akhirnya dihasilkan.

Matematikawan Amerika Stan Wagon dan Stanley Rabinowitz menemukan algoritme keran sederhana pada tahun 1995. Kecepatan konvergensi algoritme ini sebanding dengan algoritme arctan, namun tidak secepat algoritme iteratif.

Algoritme keran lainnya, algoritme ekstraksi digit BBP ditemukan pada tahun 1995 oleh Simon Plouffe:

$\pi =\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{16^i}(\frac{4}{8i+1}-\frac{2}{8i+4}-\frac{1}{8i+5}-\frac{1}{8i+6})$

Rumus ini, tidak seperti rumus lainnya, dapat menghasilkan digit Templat:Pi heksadesimal individu tanpa menghitung digit-digit sebelumnya. Digit-digit individu oktal maupun biner dapat diektraksi dari digit-digit heksadesimal. Variasi algoritme ini telah ditemukan, namun tiada satupun algoritme ekstraksi digit yang dapat menghasilkan digit desimal dengan cepat. Aplikasi penting dari algoritme ekstraksi digit ini adalah untuk memvalidasi klaim rekor komputasi Templat:Pi yang baru; Setelah suatu rekor baru diklaim, hasil bilangan desimal ini kemudian diubah menjadi bilangan heksadesimal, dan kemudian algoritme ekstraksi digit digunakan untuk menghitung beberapa digit heksadesimal tersebut secara acak dekat bagian akhir digit Templat:Pi yang terhitung; apabila hasilnya cocok, maka dapat digunakan sebagai tolok ukur keyakinan bahwa perhitungan yang dilakukan telah benar

Antara tahun 1998 dan 2000, proyek komputasi terdistribusi PiHex menggunakan rumus Bellard (modifikasi algoritme BBP) untuk mengkomputasi bit ke-kuadriliun (ke-10¹⁵) Templat:Pi, yang hasilnya adalah 0. Pada bulan September 2010, seorang karyawan Yahoo! menggunakan aplikasi Hadoop perusahaan dalam seribu komputer selama 23 hari untuk menghitung 256 bit Templat:Pi pada bit ke-dua kuadriliun (ke-2×10¹⁵), yang hasilnya juga nol.

Kegunaan

Templat:Main Karena Templat:Pi berhubungan dekat dengan lingkaran, ia banyak ditemukan dalam rumus-rumus geometri dan trigonometri, utamanya yang menyangkut lingkaran, bola, dan elips. Templat:Pi juga ditemukan dalam berbagai cabang ilmu lainnya meliputi statistika, fraktal, termodinamika, mekanika, kosmologi, teori bilangan, dan elektromagnetisme.

Geometri dan trigonometri

Luas lingkaran di atas adalah sama dengan Templat:Pi kali luas daerah yang diarsir.

Templat:Pi muncul dalam rumus-rumus perhitungan luas dan volume yang berkaitan dengan lingkaran, misalnya elips, bola, kerucut, dan torus. Beberapa rumus-rumus umum yang melibatkan Templat:Pi misalnya:

• Keliling lingkaran dengan jari-jari Templat:Math adalah $2\pi r$
• Luas lingkaran dengan jari-jari Templat:Math adalah $\pi r^2$
• Volume bola dengan jari-jari Templat:Math adalah $\frac{4}{3}\pi r^3$
• Luas permukaan bola dengan jari-jari Templat:Math adalah $4\pi r^2$

Templat:Pi muncul dalam integral tertentu yang mendeskripsikan keliling, luas, dan volume bentuk yang dihasilkan oleh lingkaran. Sebagai contohnya, integral yang mendeskripsikan luas setengah lingkaran dengan jar-jari satu adalah:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi }{2}$

Dalam integral tersebut, fungsi $\sqrt{1-x^2}$ mewakili kurva setengah lingkaran, dan integralnya ${\int }_{-1}^1$ menghitung luas antara setengah lingkaran dengan sumbu x.

Fungsi sinus dan kosinus berulang dengan periode 2Templat:Pi.

Fungsi trigonometri bergantung pada sudut, dan para matematikawan umumnya menggunakan radian sebagai satuan pengukuran sudut tersebut. Templat:Pi memainkan peran penting dalam sudut yang diukur dalam radian, yang didefinsikan sedemikian rupanya satu lingkaran penuh memiliki sudut 2Templat:Pi radian. Hal ini berarti 180° sama dengan Templat:Pi radian, dan 1° = Templat:Pi/180 radian.

Fungsi-fungsi trigonometri pada umumnya memiliki periode yang merupakan kelipatan dari Templat:Pi, sebagai contohnya sinus dan kosinus memiliki periode 2Templat:Pi, sehingga untuk suautu sudut θ dan suatu bilangan bulat Templat:Math, $\sin \theta =\sin (\theta +2\pi k)$ dan $\cos \theta =\cos (\theta +2\pi k).$

Rumus integral Cauchy

Rumus integral Cauchy mengelola fungsi integral kompleks dan menghasilkan hubungan penting antara integrasi dan diferensiasi, termasuk kenyataan bahwa nilai fungsi kompleks dalam suatu batas tertutup seluruhnya ditentukan oleh nilai pada batasan:

$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{f(z)}{z-z_0}dz$

Himpunan Mandelbrot

Templat:Pi dapat dihitung dari himpunan Mandelbrot, dengan menghitung jumlah iterasi yang diperlukan sebelum titik divergen $(-0,75;\epsilon )$.

Keberadaan Templat:Pi dalam fraktal himpunan Mandelbrot ditemukan oleh warga negara Amerika David Boll pada tahun 1991. Dia mempelajari perilaku humpunan Mandelbrot dekat "leher" pada $(-0,75;0)$. Jika dianggap titik dengan koordinat $(-0,75;\epsilon )$, dengan $\epsilon$ cenderung nol, jumlah iterasi sampai perbedaan untuk jalur dikalikan dengan $\epsilon$ konvergen menuju Templat:Pi. Titik $(0,25;\epsilon )$ di titik puncak "lembah" besar di sisi kanan himpunan Mandelbrot berperilaku sama: jumlah iterasi sampai divergensi dikalikan dengan akar kuadrat $\epsilon$ cenderung mendekati Templat:Pi.

Fungsi gamma

Fungsi gamma memperluas konsep faktorial (biasanya didefinisikan hanya untuk bilangan bulat taknegatif) ke semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat real negatif. Ketika fungsi gamma dievaluasi untuk bilangan setengah bulat, hasilnya berisi Templat:Pi; sebagai contoh

$\mathrm{\Gamma }(1/2)=\sqrt{\pi }$

dan

$\mathrm{\Gamma }(5/2)=\frac{3\sqrt{\pi }}{4}$.

Fungsi gamma dapat digunakan untuk membuat pendekatan sederhana seperti Templat:Math untuk Templat:Math besar:

$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$

yang dikenal sebagai aproksimasi Stirling.

Teori bilangan dan fungsi zeta Riemann

Fungsi zeta Riemann Templat:Math digunakan dalam banyak bidang matematika. Ketika dievaluasi pada Templat:Math, fungsi ini dapat ditulis sebagai:

$\zeta (2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots$

Menemukan penyelesaian sederhana untuk deret tak hingga ini merupakan masalah populer dalam matematika yang disebut masalah Basel. Leonhard Euler memecahkannya pada tahun 1735 ketika ia menunjukkan bahwa itu sama dengan $\frac{{\pi }^2}{6}$. Hasil Euler mengarah pada teori bilangan yaitu probabilitas dua angka acak yang relatif prima (tidak memiliki faktor bersama) adalah sama dengan $\frac{6}{{\pi }^2}$. Probabilitas ini berdasarkan pengamatan bahwa probabilitas bilangan sembarang dapat dibagi dengan suatu bilangan prima $p$ adalah $\frac{1}{p}$ (sebagai contoh, setiap bilangan bulat ke-7 dapat dibagi dengan 7.) Sehingga probabilitas dua bilangan yang keduanya dapat dibagi dengan bilangan prima ini adalah $\frac{1}{p^2}$, dan probabilitas bahwa sekurang-kurangnya satu di antaranya tidak dapat dibagi adalah $1-\frac{1}{p^2}$. Untuk bilangan prima yang berbeda, kasus dapat dibagi ini bersifat independen; sehingga probabilitas bahwa dua bilangan adalah prima relatif diberikan oleh hasil pembagian seluruh bilangan prima:

$\prod _p^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{p^2})={\left(\prod _p^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1-p^{-2}}\right)}^{-1}=\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots }=\frac{1}{\zeta (2)}=\frac{6}{{\pi }^2}\approx 61\mathrm{\%}$

Probabilitas ini dapat digunakan bersamaan dengan generator bilangan acak untuk memperkirakan Templat:Pi menggunakan pendekatan Monte Carlo.

Probabilitas dan statistik

Sebuah grafik fungsi Gauss
ƒ(x) = e^−x2. Wilayah berwarna di antara fungsi dan sumbu x memiliki luas $\sqrt{\pi }$.

Bidang probabilitas dan statistik sering kali menggunakan distribusi normal sebagai model sederhana untuk fenomena kompleks; sebagai contoh, ilmuwan umumnya berasumsi bahwa kesalahan pengamatan dalam kebanyakan percobaan mengikuti sebuah distribusi normal. Fungsi Gauss (yang merupakan fungsi kepekatan probabilitas distribusi normal) dengan rata-rata Templat:Math dan simpangan baku Templat:Math, pada dasarnya adalah Templat:Pi:

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-(x-\mu {)}^2/(2{\sigma }^2)}$

Agar ini dapat menjadi kepekatan probabilitas, wilayah di bawah grafik f harus sama dengan satu. Hal ini diperoleh dari perubahan variabel dalam integral Gauss:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$,

sehingga luas daerah yang berada di bawah kurva lonceng sederhana sama dengan akar kuadrat π.

Di luar matematika

Penggambaran fenomena fisika

Meskipun bukan konstanta fisika, Templat:Pi hadir secara rutin dalam persamaan-persamaan yang menjelaskan prinsip-prinsip fundamental alam semesta, sering karena hubungan antara Templat:Pi dengan lingkaran dan dengan sistem koordinat sferis. Rumus sederhana dari bidang mekanika klasik memberikan aproksimasi periode Templat:Math pendulum sederhana dengan panjang Templat:Math, yang mengayun dengan amplitudo Templat:Math adalah percepatan gravitasi bumi):

$T\approx 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

Salah satu rumus kunci dalam mekanika kuantum adalah Prinsip ketidakpastian Heisenberg, yang menunjukkan bahwa ketidakpastian dalan pengukuran posisi suatu partikel (ΔTemplat:Math) dan momentum (ΔTemplat:Math) keduanya tidak dapat sama persis pada saat yang bersamaan (dengan Templat:Math adalah tetapan Planck):

$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\ge \frac{h}{4\pi }$

Dalam ranah kosmologi, Templat:Pi muncul dalam persamaan medan Einstein, suatu rumus fundamental yang menjadi dasar teori relativitas umum dan menjelaskan interaksi fundamental gravitasi sebagai hasil pelengkungan ruang waktu oleh materi dan energi:

$R_{ik}-\frac{g_{ik}R}{2}+\mathrm{\Lambda }{g}_{ik}=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{ik}$

dengan $R_{\mu \nu }$ adalah tensor lengkungan Ricci, Templat:Math adalah lengkungan skalar, $g_{\mu \nu }$ adalah tensor metrik, Templat:Math adalah tetapan kosmologi, Templat:Math adalah tetapan gravitasi Newton, Templat:Math adalah kecepatan cahaya dalam ruang hampa, dan $T_{\mu \nu }$ adalah tensor energi tegangan.

Hukum Coulomb, dari disiplin ilmu elektromagnetisme, menjelaskan medan listrik antara dua muatan listrik (Templat:Math dan Templat:Math) yang dipisahkan oleh jarak Templat:Math (dengan Templat:Math mewakili permitivitas ruang hampa:

$F=\frac{\left|q_1{q}_2\right|}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$

Fakta bahwa nilai Templat:Pi mendekati 3 memainkan peran dalam ortopositronium dalam waktu yang relatif panjang. Kebalikannya hingga orde paling rendah dalam tetapan struktur halus Templat:Math adalah

$\frac{1}{\tau }=2\frac{{\pi }^2-9}{9\pi }m{\alpha }^6,$

dengan Templat:Math adalah massa elektron.

Templat:Pi hadir dalam beberapa formula rekayasa struktur, seperti rumus buckling yang diturunkan oleh Euler, yang memberikan muatan aksial Templat:Math maksimum dengan panjang kolom Templat:Math, elastisitas modulus Templat:Math, dan momen inersia area Templat:Math dapat mengangkut tanpa buckling:

$F=\frac{{\pi }^{2}EI}{L^2}$

Bidang dinamika fluida menyertakan Templat:Pi dalam hukum Stokes, yang mengaproksimasi gaya friksi Templat:Math yang muncul pada objek sferis kecil dengan radius Templat:Math, bergerak dengan kecepatan Templat:Math dalam fluida yang mempunyai viskositas dinamis Templat:Math:

$F=6\pi \eta Rv$

Transformasi Fourier, dijelaskan di bawah, adalah operasi matematika yang menyatakan waktu sebagai fungsi dari frekuensi, dikenal karena spektrum frekuensinya. Ini mempunyai banyak aplikasi dalam fisika dan rekayasa, terutama dalam pemrosesan sinyal.

$\hat{f}(\xi )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-2\pi ix\xi }dx$

Mengingat digit

Templat:Main Banyak orang telah mengingat sejumlah besar digit angka Templat:Pi, suatu praktik yang disebut pifilologi. Satu teknik umum untuk mengingat adalah melalui cerita atau puisi yang mana panjang kata-kata mewakili angka digit Templat:Pi: Kata pertama terdiri dari tiga huruf, kata kedua memiliki satu huruf, kata ketiga empat huruf, kata keempat satu huruf, kata kelima lima huruf, dan seterusnya. Contoh awal cara mengingat, diprakarsai oleh ilmuwan Inggris James Jeans, adalah How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. Ketika sebuah puisi (poem) digunakan, itu terkadang dirujuk sebagai piem. Puisi untuk mengingat Templat:Pi telah digubah dalam beberapa bahasa selain bahasa Inggris.

Rekor mengingat digit Templat:Pi, yang dicatat oleh Guinness World Records, adalah 70.000 digit, dibacakan di India oleh Rajveer Meena selama 9 jam 27 menit pada tanggal 21 Maret 2015. Pada tahun 2006, Akira Haraguchi, seorang pensiunan insinyur Jepang, mengklaim telah membacakan 100.000 desimal Templat:Pi, tetapi klaim tersebut tidak diverifikasi oleh Guinness World Records. Peraturan rekor pengingat Templat:Pi biasanya tidak berdasarkan puisi, tetapi malahan menggunakan metode semacam mengingat pola angka dan metode loci.

Beberapa penulis telah menggunakan digit Templat:Pi sebagai dasar bentuk baru tulisan terbatas (Templat:Lang-en), di mana diperlukan panjang kata yang mereprentasikan digit Templat:Pi. Cadaeic Cadenza mengandung 3.835 digit pertama Templat:Pi, dan satu buku penuh berjudul Not a Wake mengandung 10.000 kata, yang masing-masing mereprentasikan satu digit Templat:Pi.

Lihat pula

• Aproksimasi Stirling
• Daftar tetapan matematis

Referensi

Referensi

Catatan kaki

Daftar pustaka

• Templat:Cite book English translation by Catriona and David Lischka.
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book, English translation by Stephen Wilson.
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite journal
• Templat:Cite journal
• Templat:Cite journal. issue 3 Jan/Feb, issue 4 Mar/Apr, issue 5 May/Jun

Pranala luar

• Program dalam Pascal tentang pemakaian πTemplat:Pranala mati
• Sejarah singkat tentang π
• Pi-memory Templat:Webarchive