Lingkaran satuan

Lingkaran satuan.

Dalam matematika, lingkaran satuan adalah sebuah lingkaran dengan panjang jari-jari sebesar 1 satuan. Seringkali, terutama dalam trigonometri, lingkaran satuan adalah lingkaran yang berpusat pada titik (0, 0) pada sistem koordinat Kartesius dalam 2 dimensi. Dalam topologi, lingkaran ini biasanya disimbolkan dengan Templat:Math.

Apabila Templat:Math adalah suatu titik pada keliling lingkaran satuan, maka Templat:Math dan Templat:Math merupakan panjang kaki sebuah segitiga siku-siku yang panjang sisi miringnya sebesar 1. Maka dari itu, berdasarkan teorema Pythagoras, Templat:Math dan Templat:Math memenuhi persamaan:

$x^2+y^2=1.$

Karena Templat:Math untuk setiap Templat:Math, dan karena hasil pencerminan setiap titik pada lingkaran satuan terhadap sumbu-Templat:Math ataupun sumbu-Templat:Math juga terkandung dalam lingkaran satuan, persamaan di atas berlaku untuk semua titik Templat:Math pada lingkaran satuan, tidak hanya yang kuadran pertama saja.

Pada bidang kompleks

Lingkaran satuan dapat dipandang sebagai bilangan kompleks satuan, atau dengan kata lain, himpunan bilangan kompleks Templat:Math dalam bentuk $$z=e^{it}=\cos t+i\sin t=\mathrm{cis}(t)$$ untuk setiap Templat:Math (lihat juga: cis). Relasi ini adalah Rumus Euler. Lingkaran ini juga bisa didefinisikan sebagai himpunan bilangan kompleks yang memenuhi $$|z|=1.$$

Fungsi trigonometri

Fungsi kosinus dan sinus dengan sudut Templat:Math dapat didefinisikan dengan menggunakan lingkaran satuan sebagai berikut: jika Templat:Math merupakan titik pada lingkaran satuan, dan jika sinar dari titik (0, 0) ke Templat:Math membentuk sudut Templat:Math dari sumbu-Templat:Math positif (putaran tersebut berlawanan arah jarum jam, yang berarti bernilai positif), maka $\cos (\theta )=x$ dan $\sin (\theta )=y.$

Persamaan Templat:Math menghasilkan relasi:

${\cos }^2(\theta )+{\sin }^2(\theta )=1.$

yang biasa dikenal dengan identitas Phytagoras. Lingkaran satuan juga menunjukkan kalau sinus dan kosinus merupakan fungsi periodik dengan identitas

$\cos \theta =\cos (2\pi k+\theta )$ dan $\sin \theta =\sin (2\pi k+\theta )$

untuk setiap bilangan bulat Templat:Math.

Segitiga yang dibentuk pada lingkaran satuan juga bisa digunakan untuk mengilustrasikan sifat periodik dari fungsi-fungsi trigonometri. Pertama, buatlah jari-jari Templat:Math dari titik asal Templat:Math menuju titik Templat:Math pada lingkaran satuan, sedemikian sehingga sudut Templat:Math (dengan Templat:Math) terbentuk dengan sumbu-Templat:Math positif. Sekarang perhatikan titik Templat:Math dan segmen garis Templat:Math. Hasil akhirnya adalah segitiga siku-siku Templat:Math dengan Templat:Math. Karena panjang Templat:Math adalah Templat:Math, panjang Templat:Math adalah Templat:Math, dan Templat:Math panjangnya 1 (karena merupakan jari-jari lingkaran satuan), maka Templat:Math dan Templat:Math.

Setelah menyusun persamaan tersebut, buatlah jari-jari Templat:Math dari titik asal ke titik Templat:Math pada lingkaran, sedemikian sehingga sudut Templat:Math tadi terbentuk dengan sumbu-Templat:Math negatif. Sekarang perhatikan titik Templat:Math dan segmen garis Templat:Math. Hasil akhirnya adalah segitiga siku-siku Templat:Math dengan Templat:Math. Dari sini bisa terlihat bahwa Templat:Math, sehingga koordinat Templat:Math ialah Templat:Math serupa seperti Templat:Math yang berada pada titik Templat:Math.

Oleh karena Templat:Math sama dengan Templat:Math dan Templat:Math sama dengan Templat:Math, maka dapat disimpulkan Templat:Math dan Templat:Math. Dengan argumen serupa, dapat disimpulkan Templat:Math, lantaran Templat:Math dan Templat:Math. Contoh sederhana pada relasi di atas dapat terlihat pada persamaan Templat:Math.

Secara geometris, semua fungsi trigonometri dari sudut Templat:Math (theta) dapat dikonstruksi dalam lingkaran sauan yang berpusat pada Templat:Math.

Saat berurusan dengan segitiga siku-siku, sinus, kosinus, dan fungsi trigonometri lainnya baru masuk akal apabila ukuran sudutnya lebih dari nol dan kurang dari Templat:Sfrac. Namun, jika didefinisikan dengan lingkaran satuan, fungsi-fungsi tadi menghasilkan nilai yang bermakna untuk setiap sudut yang bernilai riil – termasuk sudut yang lebih dari 2Templat:Pi. Malahan, semua enam fungsi standar trigonometri – sinus, kosinus, tangen, kotangen, sekan, dan kosekan, beserta fungsi-fungsi turunannya, seperti versin and exsec – dapat didefinisikan secara geometris dengan lingkaran satuan.

Dengan menggunakan lingkaran satuan, nilai fungsi trigonometri apapun dapat dihitung dengan mudah menggunakan rumus jumlah dan selisish sudut.

Grup lingkaran

Templat:Main Bilangan kompleks dapat dipandang sebagai titik pada 2 dimensi. Lebih tepatnya, bilangan Templat:Math dapat dipandang sebagai titik Templat:Math. Dengan cara pandang seperti ini, lingkaran satuan adalah grup terhadap perkalian, yang disebut grup lingkaran; biasanya disimbolkan dengan $𝕋.$ Di bidang, perkalian oleh Templat:Math menghasilkan rotasi yang berlawanan ara jarum jam sebesar Templat:Math. Grup ini mempunyai aplikasi penting dalam matematika dan sains.

Dinamika kompleks

Lingkaran satuan dalam dinamika kompleks.

Templat:Main Himpunan Julia dari sistem dinamis diskrit nonlinier dengan fungsi evolusi:$$f_0(x)=x^2$$merupakan lingkaran satuan. Ini adalah kasus paling sederhana sehingga banyak dipakai dalam mempelajari sistem dinamis. Templat:Clear

Lihat pula

• Bola satuan
• Cakram satuan
• Hiperbola satuan
• Identitas Pythagoras
• Lingkaran Riemann
• Persegi satuan
• Putaran (sudut)
• Sudut satuan
• Transformasi-z
• Ukuran sudut

Pranala luar

• Templat:Mathworld