Elips

Elips dan sifat-sifat matematisnya

Irisan kerucut dalam suatu bidang datar dapat membentuk elips

Elips (merah) diperoleh sebagai persimpangan kerucut dengan bidang miring.

Elips: notasi

Elips: contoh dengan eksentrisitas yang meningkat

Dalam matematika, sebuah elips atau oval yang beraturan adalah gambar yang menyerupai lingkaran yang telah dipanjangkan ke satu arah. Elips adalah salah satu contoh dari irisan kerucut dan dapat didefinisikan sebagai lokus dari semua titik, dalam satu bidang, yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah ditentukan sebelumnya (disebut fokus).

Dalam bahasa Indonesia, selain istilah elips atau oval yang beraturan, juga sering dikenal istilah sepadan, yakni bulat lonjong (atau lonjong saja), bulat bujur, dan bulat panjang.

Definisi sebagai lokus poin

Elips: definisi dengan jumlah jarak ke fokus

Elips: definisi berdasarkan fokus dan directrix melingkar

Elips dapat didefinisikan secara geometris sebagai satu set atau lokus titik dalam bidang Euclidean:

Diberi dua poin tetap $F_1,F_2$ disebut fokus dan jarak $2a$ yang lebih besar dari jarak antara fokus, elips adalah himpunan poin $P$ sedemikian rupa sehingga jumlah dari jarak $|P{F}_1|,|P{F}_2|$ adalah sama dengan $2a$:$E=\{P\in {ℝ}^2\mid |P{F}_2|+|P{F}_1|=2a\}.$

Titik tengah $C$ dari segmen garis yang bergabung dengan fokus disebut pusat elips. Garis melalui fokus disebut sumbu utama , dan garis tegak lurus melalui pusat adalah sumbu minor . Sumbu utama memotong elips pada titik- titik simpul $V_1,V_2$, yang memiliki jarak $a$ ke pusat. Jarak $c$ dari fokus ke pusat disebut jarak fokus atau eksentrisitas linier. Hasil bagi $e=\frac{c}{a}$ adalah eksentrisitas .

Kasus $F_1=F_2$ dapat dilihat dengan cara yang berbeda (lihat gambar):

Jika $c_2$ adalah lingkaran dengan titik tengah $2a$, maka jarak suatu titik $P$ ke lingkaran $c_2$ sama dengan jarak ke fokus $F_1$:

$|P{F}_1|=|P{c}_2|.$

$c_2$ disebut directrix melingkar (terkait dengan fokus $F_2$) of the ellipse. Properti ini tidak boleh disamakan dengan definisi elips menggunakan garis directrix di bawah ini.

Dengan menggunakan bola Dandelin , orang dapat membuktikan bahwa setiap bagian bidang kerucut dengan bidang adalah elips, dengan asumsi bidang tidak mengandung puncak dan memiliki kemiringan kurang dari garis pada kerucut.

Sistem Koordinat Kartesius

Persamaan standar

Bentuk standar elips dalam koordinat Cartesian mengasumsikan bahwa asal adalah pusat elips, x- sumbu adalah sumbu utama, dan:

fokus adalah poinnya

$F_1=(c,0),F_2=(-c,0)$,

simpulnya adalah $V_1=(a,0),V_2=(-a,0)$.

Untuk titik arbitrer $(x,y)$ jarak ke fokus $(c,0)$ adalah $\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$ dan ke fokus lainnya $\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$. Karena itu intinya $(x,y)$ is on the ellipse whenever:

$\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}+\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=2a.$

Menghapus radikal dengan squarings yang sesuai dan menggunakan $b^2=a^2-c^2$ menghasilkan persamaan standar elips:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$

atau, memecahkan y:

$y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}=\pm \sqrt{(a^2-x^2)(1-e^2)}.$

Keliling lebar dan tinggi $a,b$ disebut sumbu semi mayor dan semi minor . Poin atas dan bawah $V_3=(0,b),V_4=(0,-b)$

Ini mengikuti dari persamaan bahwa elips simetris sehubungan dengan sumbu koordinat dan karenanya sehubungan dengan asal.

Keliling

Sumbu semi mayor dan semi minor

Sepanjang artikel ini $a$ Sebuah adalah sumbu semi-mayor, yaitu $a\ge b>0.$ Secara umum persamaan elips kanonik $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ mungkin $a<b$ (dan karenanya elips akan lebih tinggi daripada lebar); dalam bentuk ini sumbu semi-mayor akan menjadi $b$. Formulir ini dapat dikonversi ke formulir standar dengan mentransposisi nama variabel

Eksentritas linear

Ini adalah jarak dari pusat ke fokus: $c=\sqrt{a^2-b^2}$.

Keanehan

Eksentrisitas dapat dinyatakan sebagai:

$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}$,

Rektum semi-lektur

Panjang akord melalui satu fokus, tegak lurus terhadap sumbu utama, disebut rektum latus . Separuh di antaranya adalah rektum semi-latus $\ell$ Perhitungan menunjukkan:

$\ell =\frac{b^2}{a}=a(1-e^2).$

Garis singgung

Garis arbitrer $g$ memotong sebuah elips pada 0, 1, atau 2 poin, masing-masing disebut garis eksterior , garis singgung dan garis potong . Melalui setiap titik elips ada garis singgung yang unik. Garis singgung pada suatu titik $(x_1,y_1)$ dari elips $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ memiliki persamaan koordinat:

$\frac{x_1}{a^2}x+\frac{y_1}{b^2}y=1.$

Persamaan parametrik vektor garis singgung adalah:

$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}-y_1{a}^2\\ x_1{b}^2\end{array}\right)$ with $s\in ℝ.$

Bukti: Biarkan $(x_1,y_1)$ be a point on an ellipse and $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)$ menjadi persamaan garis apa pun $g$ mengandung $(x_1,y_1)$. Memasukkan persamaan garis ke dalam persamaan elips dan menghormati $\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1$ yields:

$\frac{{(x_1+su)}^2}{a^2}+\frac{{(y_1+sv)}^2}{b^2}=1⟹2s(\frac{x_{1}u}{a^2}+\frac{y_{1}v}{b^2})+s^2(\frac{u^2}{a^2}+\frac{v^2}{b^2})=0.$

Elips bergeser

Jika elips standar digeser untuk memiliki pusat $(x_{\circ },y_{\circ })$, persamaannya adalah

$\frac{{(x-x_{\circ })}^2}{a^2}+\frac{{(y-y_{\circ })}^2}{b^2}=1.$

Sumbu masih sejajar dengan sumbu x dan y.

Luas elips

Luas elips adalah $L=\pi ab$

Keliling elips

Keliling elips adalah

Keliling I

$K\approx 2\pi \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

Keliling II (model Ramanujan)

$K\approx \pi [3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}]=\pi [3(a+b)-\sqrt{10ab+3(a^2+b^2)}]$

dan

$K\approx \pi (a+b)(1+\frac{3h}{10+\sqrt{4-3h}})$ di mana $h=\frac{(a-b{)}^2}{(a+b{)}^2}$

Keliling III (model integral)

$K=2\pi a[1-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)}^2\frac{e^{2n}}{2n-1}]$

dan

$K=\pi (a+b)[1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{(2n-1)!!}{2^{n}n!}\right)}^2\frac{h^n}{(2n-1{)}^2}]$

Lihat pula

• Elipsoid

Pranala luar

• Elips (matematika) di Encyclopædia Britannica
• Elips di PlanetMath.org
• The Shape and History of The Ellipse in Washington, D.C. oleh Clark Kimberling