Unit imajiner

$i$ terletak di bidang kompleks. Bilangan riil terletak pada sumbu horizontal, dan bilangan imajiner terletak pada sumbu vertikal.

Unit imajiner atau bilangan imajiner unit ($i$) adalah solusi untuk persamaan kuadrat $x$² $+1=0$. Meskipun tidak ada bilangan riil dengan sifat ini, $i$ dapat digunakan untuk memperluas bilangan riil menjadi bilangan kompleks, bilangan yang menggunakan operasi penambahan dan perkalian; contoh sederhananya adalah $2+3i$.

Bilangan imajiner adalah konsep matematika yang penting, sebab bilangan ini memperluas sistem bilangan riil $ℝ$ ke sistem bilangan kompleks $ℂ$, dan pada sistem bilangan tersebut setidaknya terdapat satu buah akar fungsi untuk setiap polinomial $P(x)$ yang tak konstan. Istilah "imajiner" digunakan karena tidak ada bilangan riil yang memiliki kuadrat negatif.

Terdapat dua buah akar kuadrat kompleks dari −1, yaitu $i$ dan $-i$, sama seperti terdapat dua buah akar kuadrat kompleks dari setiap bilangan riil selain nol, yang memiliki satu buah akar kuadrat berganda.

Bilangan kompleks $j$ yang juga terkadang digunakan untuk menggantikan $i$, sebab $i$ dapat bermakna ambigu. Sebagai contoh, dalam ilmu teknik listrik dan teknik kendali, unit imajiner biasanya dilambangkan dengan $j$ alih-alih $i$, karena $i$ biasanya digunakan untuk menyatakan arus listrik.Templat:R

Definisi

Nilai siklus perpangkatan dari Templat:Mvar :
$...$ (daerah yang berwarna biru menandakan pola berulang)
$i^{-3}=i$
$i^{-2}=-1$
$i^{-1}=-i$
$i^0=1$
$i^1=i$
$i^2=-1$
$i^3=-i$
$i^4=1$
$i^5=i$
$i^6=-1$
$...$ (daerah yang berwarna biru menandakan pola berulang)

Bilangan imajiner $i$ didefinisikan hanya dengan menggunakan sifat bahwa akar kuadratnya adalah $-1$: $$i^2=-1.$$ Oleh karena itu, $i$ dan $-i$ sama-sama merupakan akar kuadrat dari $-1$.

Operasi bilangan real dapat diperluas ke bilangan imajiner dan bilangan kompleks, dengan memperlakukan $i$ sebagai kuantitas yang tidak diketahui saat memanipulasi ekspresi (dan menggunakan definisi untuk menggantikan $i^2$ dengan −1). Perpangkatan dari $i$ yang lebih tinggi dapat digantikan dengan $-i$, $1$, $i$, atau $-1$: $$\begin{array}{cc}{i}^3& =i^{2}i=(-1)i=-i\\ i^4& =i^{3}i=(-i)i=-(i^2)=-(-1)=1\\ i^5& =i^{4}i=(1)i=i.\end{array}$$

Hal ini dapat diperlakukan cara yang serupa untuk sebarang bilangan real tak nol: $$i^0=i^{1-1}=i^1{i}^{-1}=i^1\frac{1}{i}=i\frac{1}{i}=\frac{i}{i}=1.$$

Sebagai bilangan kompleks, $i$ dapat dinyatakan dalam sistem koordinat Cartesius berdimensi dua sebagai $0+1i$, yang terdiri dari nol buah komponen real dan satu buah komponen imajiner. Dalam bentuk polar, $i$ dapat dinyatakan sebagai $1\times e^{i\pi /2}$ (atau cukup tulis $e^{i\pi /2}$), dengan nilai mutlak dari 1 dan argumen dari $\pi /2$ radian (dan juga ditambahkan dengan sebarang kelipatan dari $2\pi$). Dalam bilangan kompleks, atau disebut bidang Argand, yang merupakan pandangan bidang Cartesius yang khusus, $i$ adalah titik yang terletak dengan jarak 1 satuan dari titik asal di sepanjang sumbu imajiner.

Sifat

Akar kuadrat dan akar kubik

Templat:Multiple image Sama seperti semua bilangan kompleks tak nol, $i$ mempunyai dua buah akar kuadrat, yaitu Templat:Efn

$$\pm (\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).$$

Dengan menguadratkan kedua ekspresi tersebut, akan menghasilkan: $$\begin{array}{cc}{(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i))}^2& ={(\pm \frac{\sqrt{2}}{2})}^2(1+i{)}^2\\ & =\frac{1}{2}(1+2i+i^2)\\ & =\frac{1}{2}(1+2i-1)\\ & =i.\end{array}$$

Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, akan didapatkan $$\sqrt{i}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).$$

Tiga buah akar kubik dari $i$ adalah:Templat:R $$(-i,\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}).$$

Sama seperti semua akar dari 1, semua akar dari $i$ adalah titik sudut poligon beraturan yang terletak di dalam lingkaran satuan di bidang kompleks.