Faktorial

Anggota terpilih dari faktorial urutan Templat:OEIS; nilai yang ditentukan dalam notasi ilmiah dibulatkan ke presisi yang ditampilkan

Templat:Math	Templat:Math
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	Templat:Val
8	Templat:Val
9	Templat:Val
10	Templat:Val
11	Templat:Val
12	Templat:Val
13	Templat:Val
14	Templat:Val
15	Templat:Val
16	Templat:Val
17	Templat:Val
18	Templat:Val
19	Templat:Val
20	Templat:Val
25	Templat:Val
50	Templat:Val
70	Templat:Val
100	Templat:Val
450	Templat:Val
Templat:Val	Templat:Val
Templat:Val	Templat:Val
Templat:Val	Templat:Val
Templat:Val	Templat:Val
Templat:Val	Templat:Val
Templat:Val	Templat:Val
Templat:Val	Templat:Val
[[googol|Templat:Val]]	10Templat:Val

Templat:Terjemahan kaku Dalam matematika, Faktorial dari bilangan bulat positif dari Templat:Mvar yang dilambangkan dengan Templat:Math, adalah produk dari semua bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan Templat:Mvar:

$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times \cdots \times 3\times 2\times 1.$

Sebagai contoh,

$5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120.$

Nilai 0! adalah 1, menurut konvensi untuk produk kosong.Templat:Sfn

Operasi faktorial digunakan sebagai bidang matematika, terutama di kombinatorik, aljabar, dan analisis matematika. Penggunaannya yang paling dasar menghitung kemungkinan urutan dan permutasi dari Templat:Mvar yang berada di objek yang berbeda.

Faktorial pada fungsi juga dapat berupa nilai ke argumen non-bilangan bulat sambil mempertahankan properti terpentingnya dengan cara mendefinisikan Templat:Math, di mana Templat:Math adalah fungsi gamma; ini tidak ditentukan saat Templat:Mvar adalah bilangan bulat negatif.

Sejarah

Templat:Expand section Faktorial digunakan untuk menghitung permutasi setidaknya sejak abad ke-12, oleh para sarjana Matematika India. Pada tahun 1677, Fabian Stedman mendeskripsikan faktorial yang diterapkan pada mengubah dering, seni musik yang melibatkan dering dari banyak lonceng yang disetel.Templat:Sfn Setelah menggambarkan pendekatan rekursif, Stedman memberikan pernyataan faktorial (menggunakan bahasa aslinya): Templat:Quote notasi dari Templat:Math diperkenalkan oleh matematikawan asal Prancis bernama Christian Kramp pada tahun 1808.

Pengertian

Fungsi faktorial didefinisikan sebagai:

$n!=\prod _{k=1}^{n}k\text{untuk semua }n\ge 1.$

Selain definisi tersebut, terdapat juga definisi secara rekursif, yang didefinisikan untuk $n\ge 0$

$n!=\{\begin{array}{cc}n\cdot (n-1)!,& \text{untuk }n\ge 1\\ 1,& \text{untuk }n=0.\end{array}$

Untuk n yang sangat besar, akan terlalu melelahkan untuk menghitung n! menggunakan kedua definisi tersebut. Jika presisi tidak terlalu penting, pendekatan dari n! bisa dihitung menggunakan rumus Stirling:

$n!\approx \sqrt{2\pi n}\frac{n^n}{e^n}.$

Juga terdapat definisi analitik untuk faktorial, yaitu menggunakan fungsi gamma:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t$

$n!=\mathrm{\Gamma }(n+1)$

Definisi

Fungsi faktorial ditentukan oleh produk, yaitu:

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n,$

diatas merupakan bilangan bulat dari Templat:Math. Ini dapat ditulis dalam notasi perkalian pi sebagai:

$n!=\prod _{i=1}^{n}i.$

Hal tersebut mengarah menuju relasi pengulangan:

$n!=n\cdot (n-1)!.$

Sebagai contoh,

$\begin{array}{cc}5!& =5\cdot 4!\\ 6!& =6\cdot 5!\\ 50!& =50\cdot 49!\end{array}$

dan seterusnya.

Faktorial nol

Faktorial dari Templat:Math adalah Templat:Math, atau dalam simbol, Templat:Math.

Ada beberapa motivasi untuk definisi ini:

• Untuk nilai Templat:Math, definisi dari Templat:Math sebagai perkalian melibatkan hasil kali tanpa bilangan sama sekali, dan begitu juga contoh dari konvensi yang lebih luas bahwa produk dari tidak ada faktor yang sama dengan identitas perkalian (lihat Produk kosong).
• Hanya ada satu permutasi dari nol objek (tanpa ada yang diubah, satu-satunya penataan ulang adalah tidak melakukan apa-apa).
• Karena membuat banyak identitas di kombinatorik berlaku untuk semua ukuran yang berlaku. Banyaknya cara untuk memilih 0 elemen dari himpunan kosong diberikan oleh koefisien binomial

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0})=\frac{0!}{0!0!}=1.$

Secara lebih umum, jumlah cara untuk memilih semua elemen Templat:Mvar di antara himpunan Templat:Mvar adalah

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})=\frac{n!}{n!0!}=1.$

• Hal ini memungkinkan untuk ekspresi ringkas dari banyak rumus, seperti fungsi eksponensial, sebagai deret pangkat:

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}.$

• Hal ini dapat memperluas hubungan pengulangan ke 0.

Aplikasi

Meskipun fungsi faktorial berakar pada kombinatorik, rumus yang melibatkan faktorial terjadi di banyak bidang matematika.

• Terdapat nilai Templat:Math dengan cara yang berbeda untuk menyusun Templat:Mvar objek yang berbeda menjadi sebuah urutan, permutasi dari objek tersebut.
• Seringkali faktorial muncul di penyebut rumus untuk menjelaskan fakta bahwa pengurutan harus diabaikan. Contoh klasik menghitung nilai Templat:Mvar kombinasi (himpunan bagian dari elemen nilai Templat:Mvar) dari himpunan dengan elemen Templat:Mvar. Seseorang bisa mendapatkan kombinasi seperti itu dengan memilih Templat:Mvar sebagai permutasi: secara berturut-turut memilih dan menghapus satu elemen himpunan, Templat:Mvar kali, dengan total

$(n-0)(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))=\frac{n!}{(n-k)!}=n^{\underset{\_}{k}}$

Namun, hal ini menghasilkan kombinasi Templat:Mvar dalam urutan tertentu yang ingin dinyalakan; karena setiap Templat:Mvar - kombinasi diperoleh dengan Templat:Math cara yang berbeda, jumlah yang benar dari Templat:Mvar kombinasi adalah

$\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}=\frac{n^{\underset{\_}{k}}}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}).$

Nomor ini diketahui sebagai koefisien binomial, karena ia juga merupakan koefisien dari Templat:Math pada Templat:Math. Syarat $n^{\underset{\_}{k}}$ sering disebut faktorial jatuh (dilafalkan "n menjadi penurunan k").

• Faktorial terjadi di aljabar karena berbagai alasan, seperti melalui koefisien yang telah disebutkan dari rumus binomial, atau melalui rata-rata lebih dari permutasi untuk simetri operasi tertentu.
• Faktorial juga muncul di kalkulus; misalnya, mereka muncul di penyebut suku-suku rumus Taylor, di mana mereka digunakan sebagai persyaratan kompensasi karena Templat:Mvar turunan dari Templat:Math setara dengan Templat:Math.
• Faktorial juga digunakan secara ekstensif di teori probabilitas dan teori bilangan (lihat di bawah).
• Faktorial dapat berguna untuk memfasilitasi manipulasi ekspresi. Misalnya jumlah Templat:Mvar permutasi dari Templat:Mvar dapat ditulis sebagai

$n^{\underset{\_}{k}}=\frac{n!}{(n-k)!};$

meskipun ini tidak efisien sebagai cara untuk menghitung bilangan itu, ini dapat berfungsi untuk membuktikan sifat simetri dari koefisien binomial:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n^{\underset{\_}{k}}}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n^{\underset{\_}{n-k}}}{(n-k)!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-k}).$

• Fungsi faktorial dapat ditampilkan, menggunakan aturan pangkat, sebagai

$n!=D^n{x}^n=\frac{d^n}{d{x}^n}{x}^n$

dimana Templat:Math adalah Notasi Euler untuk Templat:Mvar turunan dari Templat:Math.

Tingkat pertumbuhan dan perkiraan untuk yang besar Templat:Mvar

Plot dari logaritma natural faktorial

Seiring bertambahnya Templat:Mvar, faktorial Templat:Math Meningkat lebih cepat daripada semua polinomial dan fungsi eksponensial (tetapi lebih lambat dari $n^n$ dan fungsi eksponensial ganda) masuk Templat:Mvar.

Sebagian besar perkiraan untuk n! didasarkan pada perkiraan logaritma natural

$\ln n!=\sum _{x=1}^n\ln x.$

Grafik fungsi Templat:Math ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan. Ini terlihat kira-kira linear untuk semua nilai wajar dari Templat:Mvar, tetapi intuisi ini salah. Kami mendapatkan salah satu perkiraan paling sederhana untuk Templat:Math dengan membatasi jumlah dengan integral dari atas dan bawah sebagai berikut:

$\underset{1}{\overset{n}{\int }}\ln xdx\le \sum _{x=1}^n\ln x\le \underset{0}{\overset{n}{\int }}\ln (x+1)dx$

yang memberi kami perkiraan

$n\ln \left(\frac{n}{e}\right)+1\le \ln n!\le (n+1)\ln \left(\frac{n+1}{e}\right)+1.$

Karenanya Templat:Math (lihat [[Notasi Big O#Keluarga Bachmann–Notasi Landau|Notasi Big Templat:Mvar]]). Hasil ini memainkan peran kunci dalam analisis kompleksitas komputasi dari algoritma pengurutan (lihat jenis perbandingan). Dari batas Templat:Math disimpulkan di atas kita mendapatkan

${\left(\frac{n}{e}\right)}^{n}e\le n!\le {\left(\frac{n+1}{e}\right)}^{n+1}e.$

Terkadang praktis untuk menggunakan perkiraan yang lebih lemah tetapi lebih sederhana. Menggunakan rumus di atas, dengan mudah ditunjukkan bahwa untuk semua Templat:Mvar kita punya Templat:Math, dan untuk semua Templat:Math kita punya Templat:Math.

Perbandingan pendekatan Stirling dengan faktorial

Untuk Templat:Mvar besar kita mendapatkan perkiraan yang lebih baik untuk bilangan Templat:Math Menggunakan pendekatan Stirling:

$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n.$

Ini sebenarnya berasal dari deret asimtotik untuk logaritma, dan faktorial Templat:Mvar terletak di antara pendekatan ini dan pendekatan berikutnya:

$\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n<n!<\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n{e}^{1/(12n)}.$

Perkiraan lain untuk Templat:Math Diberikan oleh Srinivasa Ramanujan Templat:Harv

$\begin{array}{cc}\ln n!& \approx n\ln n-n+\frac{\ln \left(n\right(1+4n(1+2n)\left)\right)}{6}+\frac{\ln \pi }{2}\\ [6px]⟹n!& \approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n{(1+\frac{1}{2n}+\frac{1}{8n^2})}^{1/6}.\end{array}$

Baik pendekatan ini maupun perkiraan Stirling memberikan kesalahan relatif pada urutan Templat:Math, tapi Ramanujan sekitar empat kali lebih akurat. Namun, jika kita menggunakan istilah koreksi dua dalam pendekatan tipe Stirling, seperti dengan pendekatan Ramanujan, kesalahan relatifnya akan teratur. Templat:Math:

$n!\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n\exp \left(\frac{1}{12n}-\frac{1}{360n^3}\right).$

Teori bilangan

Faktorial memiliki banyak penerapan dalam teori bilangan. Secara khusus, Templat:Math Harus habis dibagi semua bilangan prima hingga dan termasuk Templat:Mvar. Sebagai konsekuensi, Templat:Math adalah bilangan komposit jika dan hanya jika

$(n-1)!\equiv 0(\mathrm{mod}n).$

Hasil yang lebih kuat adalah Teorema Wilson, yang menyatakan bahwa

$(p-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}p)$

if and only if Templat:Mvar is prime.

Rumus Legendre memberikan kelipatan bilangan prima Templat:Mvar yang terjadi dalam faktorisasi prima dari Templat:Math Sebagai

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\lfloor \frac{n}{p^i}\rfloor$

or, equivalently,

$\frac{n-s_p(n)}{p-1},$

di mana Templat:Math menunjukkan jumlah dari basis standar Templat:Mvar digit Templat:Mvar.

Menambahkan 1 ke faktorial Templat:Math Menghasilkan bilangan yang hanya habis dibagi oleh bilangan prima yang lebih besar dari Templat:Mvar. Fakta ini dapat digunakan untuk membuktikan Teorema Euklides bahwa bilangan prima tidak terbatas.Templat:Sfn Bentuk prima Templat:Math disebut prima faktorial.

Serangkaian timbal balik

kebalikan dari faktorial menghasilkan deret konvergen yang jumlahnya [[e (konstanta matematika)|basis eksponensial Templat:Mvar]]:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\cdots =e.$

Meskipun jumlah deret ini adalah bilangan irasional, kita bisa mengalikan faktorial dengan bilangan bulat positif untuk menghasilkan deret konvergen dengan jumlah yang rasional:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+2)n!}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{30}+\frac{1}{144}+\cdots =1.$

Konvergensi deret ini ke 1 dapat dilihat dari fakta bahwa jumlah parsial adalah $\frac{k!-1}{k!}$. Oleh karena itu, faktorial tidak membentuk urutan irasionalitas.Templat:Sfn

Lihat pula

• Faktorion
• Ledakan Kombinatorial
• Pendekatan Stirling
• Fungsi Gamma
• Notasi panah hiperfaktorial
• Faktoradik
• Permutasi
• Kombinasi

Pranala luar

• "factorielle.free.fr" Templat:Webarchive
• Online kalkulator faktorial Templat:Webarchive