Teori bilangan analitik

Fungsi zeta Riemann Templat:Math di bidang kompleks. Warna titik Templat:Math menyandikan nilai ζ(s): warna yang mendekati hitam menyatakan bahwa nilai tersebut mendekati nol, sedangkan hue menyandikan argumen nilai.

Dalam matematika, teori bilangan analitik (Templat:Lang-en) adalah sebuah cabang dari teori bilangan yang menggunakan metode analisis matematika untuk menyelesaikan masalah terkait bilangan bulat.Templat:Sfn Seringkali dikatakan bahwa cabang ini berawal dari Dirichlet memperkenalkan fungsi-L Dirichlet ketika pada tahun 1837, yang bertujuan untuk memberikan bukti pertamanya tentang barisan aritmetika.Templat:SfnTemplat:Sfn Cabang ini terkenal karena hasilnya tentang bilangan prima (yang melibatkan teorema bilangan prima dan fungsi zeta Riemann) serta teori bilangan aditif (seperti dugaan Goldbach dan masalah Waring).

Cabang teori bilangan analitik

Cabang teori bilangan analitik dapat dibagi menjadi dua bagian besar, yang kemudian dibagi menjadi lebih banyak berdasarkan jenis masalah yang ingin diselesaikan daripada perbedaan mendasar dalam teknik.

• Teori bilangan perkalian adalah subcabang yang melibatkan distribusi bilangan prima, seperti memperkirakan jumlah bilangan prima dalam sebuah interval, serta melibatkan teorema bilangan prima dan teorema Dirichlet tentang bilangan prima dalam barisan aritmetika.
• Teori bilangan aditif adalah subcabang yang terlibat dengan struktur aditif dari bilangan bulat, contohnya seperti konjektur Goldbach yang mengatakan bahwa setiap bilangan genap yang lebih besar dari 2 adalah jumlah dari dua bilangan prima. Salah satu hasil penting dalam teori bilangan aditif adalah solusi dari masalah Waring.

Sejarah

Matematikawan pendahulu

Teori bilangan analitik adalah cabang yang sebagian besar terinspirasi dari teorema bilangan prima. Teorema tersebut mengatakan misalkan Templat:Math adalah fungsi penghitungan bilangan prima yang memberikan jumlah bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan Templat:Math untuk setiap bilangan real Templat:Math. Sebagai contoh, Templat:Math sebab jumlahnya (ada empat bilangan prima, yaitu: 2, 3, 5 dan 7) yang kurang dari atau sama dengan 10. Teorema bilangan prima mengatakan bahwa Templat:Math adalah aproksimasi yang baik untuk Templat:Math, dalam artian bahwa limit dari hasil bagi dari dua fungsi Templat:Math dan Templat:Math ketika Templat:Math mendekati tak terhingga adalah 1:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (x)}{x/\ln (x)}=1,$

Ini dikenal sebagai hukum asimtotik dari distribusi bilangan prima.

Sekitar tahun 1797 atau 1798, Adrien-Marie Legendre menduga bahwa Templat:Math dihampiri dengan fungsi Templat:Math, dengan Templat:Math dan Templat:Math menyatakan konstanta yang belum diketahui. Dalam buku edisi kedua miliknya tentang teori bilangan pada tahun 1808, ia membuat konjektur yang lebih tepat, dengan Templat:Math dan Templat:Math. Kemudian, Carl Friedrich Gauss mempelajari masalah tersebut pula: Dalam suratnya kepada Encke pada tahun 1849, ia menulis pada tahun 1792 atau 1793, yang mengatakan bahwa ia menulis catatan pendek yang berjudul "Primzahlen unter $a(=\mathrm{\infty })\frac{a}{\ln a}$" dalam tabel logaritma (saat itu, ia berusia 15 atau 16). Sayangnya, Gauss tidak pernah mempublikasikan konjektur tersebut. Hingga pada tahun 1838, Peter Gustav Lejeune Dirichlet muncul dengan fungsi aproksimasi miliknya, integral logaritmik Templat:Math (akan tetapi fungsi tersebut mempunyai deret yang sedikit berbeda, saat ia berkomunikasi dengan Gauss). Rumus Legendre dan Dirichlet menyiratkan ekuivalensi asimtotik yang sama dari Templat:Math dan Templat:Math seperti yang dijelaskan sebelumnya, walaupun ternyata aproksimasi Dirichlet jauh lebih baik jika dipandangnya sebagai selisih dan bukan hasil bagi.

Dirichlet

Templat:Main Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet dikaitkan dengan cabang yang ia ciptakan, teori bilangan analitik. Cabang tersebut diciptakan ketika Dirichlet menemukan beberapa hasil yang mendalam dan membuktikannya dengan memperkenalkan beberapa alat dasar, sehingga banyak penemuannya dinamai dari namanya. Singkat cerita berawal dari tahun 1837, ketika Dirichlet menerbitkan teorema Dirichlet tentang barisan aritmetika dengan menggunakan konsep analisis matematika untuk menyelesaikan masalah aljabar, dan kemudian ia menciptakan cabang yang disebut teori bilangan analitik. Dalam membuktikan teoremanya, Dirichlet memperkenalkan karakter Dirichlet dan fungsi-L. Dirichlet kemudian memperumum teorema barisan aritmetika miliknya pada tahun 1841, dari bilangan bulat hingga gelanggang bilangan bulat Gauss $\mathbb{Z}[i]$.

Pafnuty Chebyshev

Templat:Main Matematikawan berkebangsaan Rusia bernama Pafnuty L'vovich Chebyshev mencoba membuktikan hukum asimtotik distribusi bilangan prima dalam makalahnya pada tahun 1848 dan 1850. Karya miliknya terkenal karena pemakaian fungsi zeta Templat:Math (untuk nilai real dari argumen Templat:Math) sebelum memoar Riemann yang terkenal pada tahun 1859. Selain itu, Chebyshev berhasil membuktikan bentuk hukum asimtotik yang sedikit lebih lemah, yaitu jika limit dari Templat:Math ketika Templat:Math menuju tak terhingga benar-benar ada, maka limit dari ekspresi tersebut harus sama dengan satu. Chebyshev dapat membuktikannya tak bersyarat bahwa rasio tersebut yang merupakan batas atas dan batas bawah dengan dua nilai konstanta, mendekati 1 untuk semua Templat:Math. Walaupun makalah Chebyshev tidak membuktikan teorema bilangan prima, tetapi estimasi untuk Templat:Math cukup kuat menurutnya untuk membuktikan postulat Bertrand bahwa terdapat bilangan prima untuk setiap bilangan bulat Templat:Math.

Bernhard Riemann

Bernhard Riemann membuat beberapa kontribusi terkenal untuk teori bilangan analitik modern. Dalam makalah pendeknya, makalah satu-satunya yang ia terbitkan yang bertopikkan teori bilangan), Riemann mempelajari fungsi zeta miliknya dan memperlihatkan pentingnya memahami distribusi bilangan prima. Riemann membuat kumpulan konjektur tentang sifat-sifat fungsi zeta, khususnya hipotesis miliknya yang terkenal, hipotesis Riemann.

Jacques Hadamard dan de la Vallée-Poussin

Templat:Main Memperluas gagasan Riemann, Jacques Hadamard dan Charles Jean de la Vallée-Poussin memperoleh bukti teorema bilangan prima secara terpisah, dan kemudian sama-sama menerbitkannya pada tahun 1896. Kedua bukti tersebut menggunakan metode dari analisis kompleks, menggunakannya sebagai langkah utama dari bukti bahwa fungsi Riemann zeta Templat:Math adalah fungsi taknol untuk semua nilai kompleks dari variabel Templat:Math yang bentuknya Templat:Math dengan Templat:Math.

Zaman modern

Teknis pada teori bilangan analitik mengalami perubahan besar-besaran setelah tahun 1950 karena adanya pengembangan metode saringan,Templat:Sfn khususnya dalam masalah perkalian. Pengembangan tersebut kombinatorial dan cukup beragam. Sebagai gantinya, cabang ekstrem dari teori kombinatorial mempunyai dampak yang sangat besar dengan menempatkan nilai dalam teori bilangan analitik pada batas atas dan bawah kuantitatif. Pengembangan terbaru lainnya adalah teori bilangan probabilistik,Templat:Sfn yang menggunakan metode dari teori probabilitas untuk mengestimasi distribusi fungsi teoretis bilangan, sebagai contoh, berapa banyak pembagi bilangan prima yang dimiliki sebuah bilangan.

Penemuan Yitang Zhang, James Maynard, Terence Tao and Ben Green pada cabang teori bilangan analitik memakai metode Goldston–Pintz–Yıldırım. Mereka memakai metode tersebut untuk membuktikan bahwa$$p_{n+1}-p_n\ge o(\log p_n).$$Secara umum, pengembangan dalam teori bilangan analitik merupakan penyempurnaan teknik sebelumnya, yang mengurangi suku galat dan memperluas penerapannya. Sebagai contoh, metode lingkaran Hardy dan Littlewood dapat dipahami sebab mereka menerapkan deret pangkat di dekat satuan lingkaran di bidang kompleks (sekarang dipandang dalam ekspresi jumlah eksponensial terhingga, yakni pada lingkaran satuan tetapi dengan separuh deret pangkat). Aproksimasi Diophantine diperlukan sebagai fungsi bantu yang bukan fungsi pembangkit (sebagai cotoh, koefisiennya dibangun dengan menggunakan sebuah prinsip rumah burung) dan melibatkan beberapa variabel kompleks. Cabang aproksimasi Diophantine dan teori transendensi telah berkembang hingga teknik tersebut telah diterapkan ke konjektur Mordell.

Masalah dan hasil

Teorema dan hasil dalam teori bilangan analitik umumnya bukan merupakan hasil struktural yang tepat tentang bilangan bulat, melainkan alat aljabar dan geometris yang lebih cocok. Sebagai gantinya, mereka memberikan batas aproksimasi dan estimasi kepada beragam fungsi teoritis bilangan, seperti yang diiperlihatkan pada contoh di bawah.

Teori bilangan perkalian

Templat:Main Euklides menperlihatkan bahwa ada tak terhingga banyaknya bilangan prima. Yang menjadi masalah pentingnya adalah menentukan distribusi asimtotik bilangan prima; yaitu, gambaran kasar mengenai berapa banyak bilangan prima yang lebih kecil daripada bilangan yang diberikan. Di antara beberapa matematikawan lain, Gauss menghitung daftar bilangan prima yang sangat panjang, yang kemudian ia menduga bahwa jumlah bilangan prima yang kurang daripada atau sama dengan bilangan besar Templat:Math mendekati nilai integral

$\underset{2}{\overset{N}{\int }}\frac{1}{\log t}dt.$

Pada tahun 1859, Bernhard Riemann menggunakan analisis kompleks dan fungsi meromorfik khusus (yang saat ini dikenal sebagai fungsi zeta Riemann), bertujuan memperoleh ekspresi analitik untuk jumlah bilangan prima yang lebih kecil atau sama dengan sebuah bilangan real Templat:Math. Yang menakjubkannya adalah bentuk utama dalam rumus Riemann persis dengan integral tadi, yang mendukung konjektur Gauss. Riemann menemukan bahwa suku galat dalam ekspresi tersebut serta cara bilangan prima terdistribusi menjadi terkait erat dengan akar kompleks fungsi zeta. Dengan menggunakan gagasan Riemann dan dengan mendapatkan lebih banyak informasi terkait akar fungsi zeta, Jacques Hadamard dan Charles Jean de la Vallée-Poussin berhasil melengkapi bukti konjektur Gauss. Secara khusus, mereka membuktikan bahwa jika$$\pi (x)=(\text{jumlah bilangan prima }\le x),$$maka

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (x)}{x/\log x}=1.$$

Hasil utama dalam teori bilangan analitik ini merupakan hasil yang luar biasa, yang dikenal dengan nama teorema saat ini, teorema bilangan prima. Penjelasan secara kasarnya, teorema ini mengatakan bahwa diberikan bilangan besar Templat:Math, maka jumlah bilangan prima yang kurang daripada atau sama dengan Templat:Math adalah Templat:Math.

Lebih umum lagi, masalah yang sama dapat ditanyakan tentang jumlah bilangan prima dalam barisan aritmetika Templat:Math untuk setiap bilangan bulat Templat:Math. Dalam salah satu penerapan pertama dari teknik analitik ke teori bilangan, Dirichlet membuktikan bahwa setiap barisan aritmetika dengan bilangan koprima Templat:Math dan Templat:Math mengandung tak terhingga banyaknya bilangan prima. Perumuman teorema bilangan prima dapat dilakukan ke masalah ini, dengan memisalkan$$\pi (x,a,q)=(\text{jumlah bilangan prima }\le x\text{ sehingga }p\text{ berada di dalam barisan aritmetika }a+nq,n\in \mathbb{Z}),$$dan jika Templat:Math dan Templat:Math adalah bilangan koprima, maka$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (x,a,q)\varphi (q)}{x/\log x}=1.$$Adapula banyak konjektur yang dalam dan luas dalam teori bilangan, yang pembuktiannya tampak terlalu sulit saat memakai teknik saat ini, contohnya seperti konjektur bilangan prima kembar yang menanyakan adakah tak berhingga banyaknya Templat:Math sehingga Templat:Math adalah bilangan prima. Pada asumsi konjektur Elliott–Halberstam, baru-baru ini telah dibuktikan bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima Templat:Math sehingga Templat:Math adalah bilangan prima untuk suatu bilangan genap positif Templat:Math paling banyak 12. Konjektur tersebut juga telah dibuktikan tanpa bersyarat (dalam artian tidak bergantung pada konjektur yang belum dibuktikan), yang mengatakan bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima Templat:Math sehingga Templat:Math adalah bilangan prima untuk suatu bilangan genap positif Templat:Math paling banyak 246.

Teori bilangan aditif

Templat:Main Salah satu masalah terpenting dalam teori bilangan aditif adalah masalah Waring. Masalah ini menanyakan dapatkah bilangan bulat positif ditulis sebagai jumlah dari bilangan terbatas yang dipangkat dengan Templat:Math $$n=x_1^k+\cdots +x_{\ell }^k,$$ untuk Templat:Math. Kasus untuk bilangan yang dikuadratkan, yaitu Templat:Math, dijawab Lagrange pada tahun 1770, yang membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif merupakan jumlah dari paling banyak empat bilangan kuadrat. Kasus umum dibuktikan Hilbert pada tahun 1909 dengan menggunakan teknik aljabar yang tidak memberikan batasan eksplisit. Penemuan penting lainnya adalah sebuah teknik analitik untuk menyelesaikan masalah Waring, yaitu metode lingkaran Hardy dan Littlewood. Dengan memberikan batas atas eksplisit untuk fungsi Templat:Math, maka jumlah terkecil yang dipangkat Templat:Math diperlukan, contohnya seperti batas Vinogradov$$G(k)\le k(3\log k+11).$$

Masalah Diophantine

Masalah Diophantine adalah masalah yang melibatkan penyelesaian bilangan bulat untuk persamaan polinomial. Contoh pentingnya adalah masalah lingkaran Gauss, yang menanyakan titik bilangan bulat Templat:Math yang memenuhi pertidaksamaan

$x^2+y^2\le r^2.$

Dalam penjelasan secara geometris, diberikan sebuah lingkaran yang berpusat di titik asal pada bidang dengan jari-jari Templat:Math, maka masalah yang ditanyakan adalah berapa banyak titik kisi bilangan bulat yang terletak di luar atau di dalam lingkaran. Masalah ini tidak terlalu sulit untuk dibuktikan, karena jawabannya adalah Templat:Math, dengan Templat:Math ketika Templat:Math. Sekali lagi, bagian tersulit dan pencapaian terbesar dari teori bilangan analitik adalah memperoleh batas atas tertentu pada suku galat Templat:Math.

Metode teori bilangan analitik

Deret Dirichlet

Templat:Main Salah satu alat yang paling berguna dalam teori bilangan perkalian adalah deret Dirichlet, suatu fungsi dari variabel kompleks yang didefinisikan dengan deret tak hingga. Ini ditulis dalam bentuk

$$f(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{n}^{-s}.$$

Deret ini dapat konvergen di mana-mana, ataupun tidak, atau di beberapa titik di setengah bidang, tetapi ini bergantung pada koefisien $a_n$ yang dipilih. Dalam kebanyakan kasus, bahkan ketika deret tidak konvergen di mana-mana, fungsi holomorfik yang didefinisikannya dapat dilanjutkan secara analitik ke fungsi meromorfik di seluruh bidang kompleks. Dalam masalah perkalian, pemakaian tersebut dapat diperlihatkan dalam identitas formal

$$\left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{n}^{-s}\right)\left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{n}^{-s}\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{k\ell =n}{a}_k{b}_{\ell }\right)n^{-s}.$$

Oleh sebab itu, koefisien dari hasil kali dua deret Dirichlet merupakan konvolusi perkalian dari koefisien asli. Selain itu, teknik seperti penjumlahan parsial dan teorema Tauberi dapat digunakan untuk mendapatkan informasi tentang koefisien dari informasi analitik tentang deret Dirichlet. Jadi, metode umum yang dipakai untuk mengestimasi fungsi perkalian adalah dengan mengekspresikannya sebagai deret Dirichlet (atau hasil kali dari deret Dirichlet yang lebih sederhana dengan menggunakan identitas konvolusi). Kemudian, uji deret tersebut sebagai suatu fungsi kompleks dan ubah informasi analitik ini kembali menjadi informasi tentang fungsi aslinya.

Fungsi zeta Riemann

Euler memperlihatkan bahwa teorema dasar aritmetika menyiratkan ekspresi dari darab Euler$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\prod _p^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1-p^{-s}}\text{ dengan }s>1\text{ dan }p\text{ adalah bilangan prima}$$Bukti Euler dari tak berhingganya bilangan prima melalui divergensi suku di ruas kiri persamaan untuk Templat:Math (yang disebut sebagai deret harmonik), memberikan sebuah hasil analitik yang murni. Selain itu, Euler adalah tokoh pertama yang menggunakan argumen analitis yang bertujuan mempelajari sifat-sifat bilangan bulat, khususnya dengan membangun deret pangkat pembangkit. Ini adalah awal dari teori bilangan analitik.

Riemann kemudian memandang fungsi tersebut untuk nilai kompleks Templat:Math dan memperlihatkan bahwa fungsi tersebut dapat diperluas ke fungsi meromorfik di seluruh bidang dengan pole sederhana Templat:Math. Saat ini, fungsi tersebut dikenal sebagai fungsi zeta Riemann dan dinyatakan dengan Templat:Math. Fungsi ini terdapat di dalam banyak makalah, serta juga merupakan kasus istimewa dari fungsi-L Dirichlet yang lebih umum.

Beberapa ahli teori bilangan analitik acapkali tertarik dengan galat aproksimasi seperti teorema bilangan prima, yakni galatnya lebih kecil daripada Templat:Math. Rumus Riemann untuk Templat:Math memperlihatkan bahwa suku galat dalam aproksimasi tersebut dapat diekspresikan sebagai akar fungsi zeta. Dalam makalahnya tahun 1859, Riemann memandang bahwa semua akar "trivial" Templat:Math terletak di garis real Templat:Math, tetapi ia tidak pernah memberikan bukti dari pernyataan tersebut. Konjektur yang terkenal sekaligus konjektur yang belum terpecahkan hingga saat ini, dikenal sebagai hipotesis Riemann. Dalam teori bilangan, konjektur ini mempunyai banyak sekali implikasi yang mendalam, dan bahkan ada banyak teorema penting yang telah membuktikan asumsi tersebut bahwa hipotesisnya adalah benar. Sebagai contoh, berdasarkan asumsi hipotesis Riemann, suku galat dalam teori bilangan prima adalah Templat:Math.

Pada awal abad ke-20, G. H. Hardy dan Littlewood membuktikan banyak hasil tentang fungsi zeta untuk membuktikan hipotesis Riemann. Bahkan pada tahun 1914, Hardy membuktikan bahwa ada tak berhingga banyaknya akar fungsi zeta di garis kritis$$\mathrm{\Re }(z)=1/2.$$Hal ini menyebabkan beberapa teorema menjelaskan kepadatan akar fungsi pada garis kritis.

Lihat pula

• Metode matriks Maier
• Fungsi-L automorfik
• Bentuk automorfik
• Masalah Langlands

Bibliografi

• Templat:Apostol IANT
• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation

Bacaan lebih lanjut

• Ayoub, Introduction to the Analytic Theory of Numbers
• H. L. Montgomery and R. C. Vaughan, Multiplicative Number Theory I : Classical Theory
• H. Iwaniec and E. Kowalski, Analytic Number Theory.
• D. J. Newman, Analytic number theory, Springer, 1998

Buku-buku berikut menjadi sangat terkenal berdasarkan aspek khusus:

• Templat:Citation
• H. Halberstam and H. E. Richert, Sieve Methods
• R. C. Vaughan, The Hardy–Littlewood method, 2nd. edn.

Sayangnya, topik tertentu belum dicetak menjadi buku. Contoh-contohnya seperti: (i) konjektur korelasi pasangan Montgomery dan karya yang berawal dari konjektur tersebut; (ii) hasil terbaru dari Goldston, Pintz dan Yilidrim tentang celah kecil diantara bilangan prima; dan terakhir (iii) teorema Green–Tao memperlihatkan bahwa ada bilangan prima yang termuat di barisan aritmetika yang panjang.