Grup kuaternion

Diagram siklus dari Q₈. Setiap warna menentukan rangkaian kekuatan elemen apa pun yang terhubung ke elemen identitas e = 1. Misalnya, siklus berwarna merah mencerminkan fakta bahwa i² = Templat:Overline, i³ = Templat:Overline dan i⁴ = e. Siklus merah juga mencerminkan bahwa Templat:Overline² = Templat:Overline, Templat:Overline³ = i dan Templat:Overline⁴ = e.

Dalam teori grup, grup angka empat Q₈ (terkadang hanya dilambangkan dengan Q) adalah grup non-abelian dari urutan delapan, isomorfik ke himpunan bagian delapan elemen $\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}$ dari angka empat di bawah perkalian. Ini diberikan oleh presentasi grup

${\mathrm{Q}}_8=⟨\overline{e},i,j,k\mid {\overline{e}}^2=e,i^2=j^2=k^2=ijk=\overline{e}⟩,$

di mana e adalah elemen identitas dan Templat:Overline komutatif dengan elemen lain dalam grup.

Presentasi Q ₈ lainnya adalah:

${\mathrm{Q}}_8=⟨a,b\mid a^4=\mathrm{𝟏},a^2=b^2,ba=a^{-1}b⟩.$

Dibandingkan dengan grup dihedral

Grup quaternion Q ₈ memiliki urutan yang sama dengan grup dihedral D₄, tetapi strukturnya berbeda, seperti yang ditunjukkan oleh grafik Cayley dan siklusnya:

	Q8	D4
Grafik Cayley	Panah merah terhubung g→gi, koneksi hijau g→gj.
Grafik siklus

Dalam diagram untuk D ₄ , elemen grup ditandai dengan aksinya pada huruf F dalam representasi yang menentukan R². Hal yang sama tidak dapat dilakukan untuk Q ₈ , karena tidak memiliki representasi yang tepat di R² atau R³. D₄ dapat direalisasikan sebagai bagian dari pemmbagi angka empat dengan cara yang sama seperti Q ₈ dapat dilihat sebagai himpunan bagian dari angka empat.

Tabel Cayley

Tabel Cayley (tabel perkalian) untuk Q ₈ diberikan oleh:

×	e	Templat:Overline	i	Templat:Overline	j	Templat:Overline	k	Templat:Overline
e	e	Templat:Overline	i	Templat:Overline	j	Templat:Overline	k	Templat:Overline
Templat:Overline	Templat:Overline	e	Templat:Overline	i	Templat:Overline	j	Templat:Overline	k
i	i	Templat:Overline	Templat:Overline	e	k	Templat:Overline	Templat:Overline	j
Templat:Overline	Templat:Overline	i	e	Templat:Overline	Templat:Overline	k	j	Templat:Overline
j	j	Templat:Overline	Templat:Overline	k	Templat:Overline	e	i	Templat:Overline
Templat:Overline	Templat:Overline	j	k	Templat:Overline	e	Templat:Overline	Templat:Overline	i
k	k	Templat:Overline	j	Templat:Overline	Templat:Overline	i	Templat:Overline	e
Templat:Overline	Templat:Overline	k	Templat:Overline	j	i	Templat:Overline	e	Templat:Overline

Sifat

Perhatikan bahwa i , j , dan k semuanya memiliki urutan empat di Q ₈ dan dua di antaranya menghasilkan seluruh grup. Presentasi lainnya dari Q₈ berdasarkan hanya dua elemen untuk melewati redundansi ini adalah:

$⟨x,y\mid x^4=1,x^2=y^2,y^{-1}xy=x^{-1}⟩.$

Seseorang mungkin mengambil, misalnya, $i=x,j=y$, dan $k=xy$.

Grup quaternion memiliki properti yang tidak biasa sebagai Hamiltonian: Q₈ non-abelian, tetapi setiap subgrup adalah normal. Every Hamiltonian group contains a copy of Q₈.

Grup angka empat Q ₈ dan grup dihedral D ₄ adalah dua contoh terkecil dari grup non-abelian nilpoten.

Pusat dan subgrup komutator dari Q ₈ adalah subgrup $\{e,\overline{e}\}$. Grup automorfisme dalam dari Q ₈ diberikan oleh grup modulo pusatnya, yaitu grup faktor Q₈/{e,Templat:Overline}, untukmu isomorfik ke grup empat Klein V. Grup automorfisme dari Q ₈ adalah isomorfik sampai S ₄ , grup simetris pada empat huruf (lihat Representasi matriks di bawah), dan grup automorfisme luar dari Q ₈ adalah S₄/V, yang isomorfik ke S₃.

Grup angka empat Q ₈ memiliki lima kelas konjugasi, {e }, { Templat:Overline }, { i, Templat:Overline }, { j, Templat:Overline }, { k, Templat:Overline }, dan lima representasi tak tersederhanakan di atas bilangan kompleks, dengan dimensi 1,1,1,1,2:

Representasi trivial

Tanda tangani representasi dengan i, j, k-kernel: Q₈ memiliki tiga subgrup normal maksimal: subgrup siklik yang dihasilkan oleh i, j, dan k. Untuk setiap subkelompok normal maksimal N , kita mendapatkan representasi satu dimensi yang memfaktorkan melalui 2-elemen grup hasil bagi G/N. Representasi mengirimkan elemen N ke 1, dan elemen di luar N ke -1.

Representasi 2 dimensi: Dijelaskan di bawah dalam Representasi matriks .

Tabel karakter dari Q ₈ ternyata sama dengan D₄:

Representasi (ρ)/kelas konjugasi	{ e }	{ Templat:Overline }	{ i, Templat:Overline }	{ j, Templat:Overline }	{ k, Templat:Overline }
Representasi trivial	1	1	1	1	1
Tanda representasi dengan i-kernel	1	1	1	-1	-1
Tanda representasi dengan j-kernel	1	1	-1	1	-1
Tanda representasi dengan k-kernel	1	1	-1	-1	1
Representasi 2 dimensi	2	-2	0	0	0

Karena karakter yang tidak dapat direduksi

${\chi }_{\rho }$

pada baris di atas memiliki nilai riil, ini memberikan dekomposisi dari aljabar grup nyata dari

$G=Q_8$

menjadi minimal dua sisi ideal:

$ℝ[Q_8]=\underset{\rho }{⨁}(e_{\rho })$

, di mana idempotensi

$e_{\rho }\in ℝ[Q_8]$

sesuai dengan irreducibles:

$e_{\rho }=\frac{\dim (\rho )}{|G|}\sum _{g\in G}{\chi }_{\rho }(g^{-1})g$

, seperti

$e_{\text{triv}}=\frac{1}{8}(e+\overline{e}+i+\overline{i}+j+\overline{j}+k+\overline{k})$

$e_{i\text{-ker}}=\frac{1}{8}(e+\overline{e}+i+\overline{i}-j-\overline{j}-k-\overline{k})$

$e_{j\text{-ker}}=\frac{1}{8}(e+\overline{e}-i-\overline{i}+j+\overline{j}-k-\overline{k})$

$e_{k\text{-ker}}=\frac{1}{8}(e+\overline{e}-i-\overline{i}-j-\overline{j}+k+\overline{k})$

$e_2=\frac{2}{8}(2e-2\overline{e})=\frac{1}{2}(e-\overline{e})$

.

Masing-masing dari cita-cita tak tersederhanakan ini isomorfik ke aljabar sederhana pusat nyata, empat pertama ke bidang nyata

$ℝ$

. Ideal terakhir

$(e_2)$

isomorfik terhadap bidang miring dari angka empat

$ℍ$

dengan korespondensi:

$\frac{1}{2}(e-\overline{e})⟷1,\frac{1}{2}(i-\overline{i})⟷i,\frac{1}{2}(j-\overline{j})⟷j,\frac{1}{2}(k-\overline{k})⟷k.$

Selanjutnya, proyeksi homomorfisme

$ℝ[Q_8]\to (e_2)\cong ℍ$

diberikan oleh

$r\mapsto r{e}_2$

memiliki ideal kernel yang dihasilkan oleh idempoten:

$e_2^{\perp }=e_1+e_{i\text{-ker}}+e_{j\text{-ker}}+e_{k\text{-ker}}=\frac{1}{2}(e+\overline{e}),$

sehingga angka empat juga bisa diperoleh sebagai gelanggang hasil bagi

$ℝ[Q_8]/(e+\overline{e})\cong ℍ$

.

Aljabar grup kompleks dengan demikian $ℂ[Q_8]\cong {ℂ}^{\oplus 4}\oplus M_2(ℂ)$, dimana $M_2(ℂ)\cong ℍ{\otimes }_{ℝ}ℂ\cong ℍ\oplus ℍ$ adalah aljabar dari bikuaternion.

Representasi matriks

Tabel perkalian grup quaternion sebagai subkelompok SL (2, C). Entri diwakili oleh sektor yang sesuai dengan argumennya: 1 (hijau), i (biru), -1 (merah), - i (kuning).

Kompleks tak tersederhanakan dua dimensi representasi yang dijelaskan di atas memberikan grup kuatnion Q₈ sebagai subgrup dari grup linier umum ${\mathrm{GL}}_2(ℂ)$. Grup kuaternion adalah subgrup perkalian dari aljabar quaternion $ℍ=ℝ1+ℝi+ℝj+ℝk=ℂ1+ℂj$, yang memiliki representasi reguler $\rho :ℍ\to {\mathrm{M}}_2(ℂ)$ perkalian kiri dengan sendirinya dianggap sebagai ruang vektor kompleks dengan basis $\{1,j\}$, sehingga $z\in ℍ$ sesuai dengan C-pemetaan linier ${\rho }_z:a+jb\mapsto z\cdot (a+jb)$. Representasi yang dihasilkan $\rho :{\mathrm{Q}}_8\to {\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(ℂ),g\mapsto {\rho }_g,$ diberikan oleh:

$\begin{array}{cccc}e\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)& i\mapsto \left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right)& j\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)& k\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& -i\\ -i& 0\end{array}\right)\\ \bar{e}\mapsto \left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)& \bar{i}\mapsto \left(\begin{array}{cc}-i& 0\\ 0& i\end{array}\right)& \bar{j}\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)& \bar{k}\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right).\end{array}$

Karena semua matriks di atas memiliki determinan unit, ini adalah representasi dari Q ₈ dalam grup linear khusus SL₂(C).

Varian memberikan representasi oleh matriks kesatuan (tabel di kanan). Maka $g\in Q_8$ sesuai dengan pemetaan linier ${\rho }_g:a+bj\mapsto (a+bj)\cdot j{g}^{-1}{j}^{-1}$, sehingga $\rho :{\mathrm{Q}}_8\to {\mathrm{S}\mathrm{U}}_2$ diberikan oleh:

$\begin{array}{cccc}e\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)& i\mapsto \left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right)& j\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)& k\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right)\\ \bar{e}\mapsto \left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)& \bar{i}\mapsto \left(\begin{array}{cc}-i& 0\\ 0& i\end{array}\right)& \bar{j}\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)& \bar{k}\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& -i\\ -i& 0\end{array}\right).\end{array}$

Tabel perkalian dari grup quaternion sebagai subgrup SL(2,3). Elemen lapangan dilambangkan dengan 0, +, -.

Ada juga tindakan penting Q ₈ pada ruang vektor 2 dimensi di atas bidang berhingga F₃ = {0,1,−1} (tabel di kanan). Representasi modular $\rho :{\mathrm{Q}}_8\to \mathrm{S}\mathrm{L}(2,3)$ diberikan oleh

$\begin{array}{cccc}e\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)& i\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)& j\mapsto \left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)& k\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\\ \bar{e}\mapsto \left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)& \bar{i}\mapsto \left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)& \bar{j}\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& -1\end{array}\right)& \bar{k}\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right).\end{array}$

Representasi ini dapat diperoleh dari bidang ekstensi F₉ = F₃[k] = F₃1 + F₃k, dimana k² = −1 dan grup perkalian (F₉)^× memiliki generator ±(k+1), ±(k-1) urutan 8. Dua dimensi F₃-ruang vektor F₉ mengakui pemetaan linier ${\mu }_z(a+bk)=z\cdot (a+bk)$ untuk z pada F₉, serta Automorfisme Frobenius $\varphi (a+bk)=(a+bk{)}^3$ satisfying ${\varphi }^2={\mu }_1$ dan $\varphi {\mu }_z={\mu }_{\varphi (z)}\varphi$. Maka matriks representasi di atas adalah $\rho (\overline{e})={\mu }_{-1}$, $\rho (i)={\mu }_{k+1}\varphi$, $\rho (j)={\mu }_{k-1}\varphi$, dan $\rho (k)={\mu }_k$.

Grup Galois

Seperti yang ditunjukkan Richard Dean pada tahun 1981, grup kuaternion dapat ditampilkan sebagai grup Galois Gal(T/Q) dimana Q adalah bidang bilangan rasional dan T adalah bidang pemisah di atas Q dari polinomial

$x^8-72x^6+180x^4-144x^2+36$.

Pengembangan menggunakan teorema fundamental teori Galois dalam menentukan empat bidang perantara antara Q dan T dan grup Galois mereka, serta dua teorema tentang ekstensi siklik derajat empat di atas bidang.

Grup angka empat digeneralisasi

Grup kuatnion umum Q_4n urutan 4n ditentukan oleh presentasi

$⟨x,y\mid x^{2n}=y^4=1,x^n=y^2,y^{-1}xy=x^{-1}⟩$

untuk bilangan bulat Templat:Nowrap, dengan kelompok angka empat yang biasa diberikan oleh n = 2. Coxeter menggunakan Q_4n grup siklik $⟨2,2,n⟩$, kasus khusus dari grup polihedral biner $⟨\ell ,m,n⟩$ dan terkait dengan grup polihedral $(p,q,r)$ dan grup dihedral $(2,2,n)$. Grup quaternion umum dapat direalisasikan sebagai subgrup ${\mathrm{GL}}_2(ℂ)$ dihasilkan oleh

$\left(\begin{array}{cc}{\omega }_n& 0\\ 0& {\bar{\omega }}_n\end{array}\right)\text{ and }\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

dimana ${\omega }_n=e^{i\pi /n}$. Ini juga dapat direalisasikan sebagai subgrup unit quaternions yang dihasilkan oleh $x=e^{i\pi /n}$ dan $y=j$.

Grup quaternion umum memiliki properti bahwa setiap subgrup abelian bersiklus. Dapat diperlihatkan bahwa p-group dengan properti ini (setiap subgrup abelian adalah siklik) bisa berupa siklik atau grup quaternion umum seperti yang didefinisikan di atas. Karakterisasi lain adalah bahwa sebuah grup p terbatas yang di dalamnya terdapat subgrup unik dari ordo p adalah siklik atau 2-grup isomorfik ke grup quaternion umum. Secara khusus, untuk bidang hingga F dengan karakteristik ganjil, subgrup 2-Sylow dari SL₂(F) non-abelian dan hanya memiliki satu subgrup orde 2, jadi subgrup 2-Sylow ini harus menjadi grup quaternion umum, Templat:Harv. Maka p^r menjadi ukuran F , di mana p adalah bilangan prima, ukuran subgrup 2-Sylow dari SL₂(F) adalah 2ⁿ, dimana Templat:Nowrap.

Teorema Brauer–Suzuki menunjukkan bahwa grup yang subgrup Sylow 2-nya digeneralisasikan quaternion tidak bisa sederhana.

Terminologi lain mencadangkan nama "grup kuatnion umum" untuk kelompok siklik urutan pangkat 2, yang mengakui presentasi

$⟨x,y\mid x^{2^m}=y^4=1,x^{2^{m-1}}=y^2,y^{-1}xy=x^{-1}⟩.$

Lihat pula

• sel-16
• Grup tetrahedral biner
• Aljabar Clifford
• Grup dikiklik
• Angka empat integral Hurwitz
• Daftar grup kecil

Referensi

• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Cite book
• Dean, Richard A. (1981) "A rational polynomial whose group is the quaternions", American Mathematical Monthly 88:42–5.
• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation
• P.R. Girard (1984) "The quaternion group and modern physics", European Journal of Physics 5:25–32.
• Templat:Citation
• Templat:Citation

Pranala luar

• Templat:MathWorld
• Quaternion groups on GroupNames Templat:Webarchive
• Quaternion group on GroupProps Templat:Webarchive
• Conrad, Keith. "Generalized Quaternions" Templat:Webarchive