Grup automorfisme

Templat:Short description Dalam matematika, grup automorfisme dari sebuah objek X adalah grup yang terdiri dari automorfisme dari X . Misalnya, jika X adalah dimensi hingga ruang vektor, maka grup automorfisme dari X adalah grup linier umum dari X , grup transformasi linear yang dapat dibalik dari X menjadi dirinya sendiri.

Khususnya dalam konteks geometris, grup automorfisme disebut juga sebagai grup simetri. Sebuah subgrup dari grup automorfisme disebut grup transformasi (terutama dalam literatur lama).

Contoh

• Grup automorfisme dari himpunan X adalah grup simetris dari X .
• A homomorfisme grup ke grup automorfisme dari himpunan X sama dengan aksi grup pada X : memang, setiap kiri G , trivial pada satu himpunan X menentukan $G\to \mathrm{Aut}(X),g\mapsto {\sigma }_g,{\sigma }_g(x)=g\cdot x$, dan, sebaliknya, setiap homomorfisme $\phi :G\to \mathrm{Aut}(X)$ mendefinisikan aksi dengan $g\cdot x=\phi (g)x$.
• Misalkan $A,B$ menjadi dua himpunan terbatas dari kardinal yang sama dan $\mathrm{Iso}(A,B)$ himpunan dari semua bijeksi $A\stackrel{\sim }{\to }B$. Kemudian $\mathrm{Aut}(B)$, yang merupakan kelompok simetris (lihat di atas), bertindak $\mathrm{Iso}(A,B)$ dari kiri bebas dan secara transitif; artinya, $\mathrm{Iso}(A,B)$ adalah torsor untuk $\mathrm{Aut}(B)$ (lih. #Dalam kategori teori).
• Grup automorfisme $G$ dari grup siklik dari urutan n adalah isomorfis ke $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{*}$ dengan isomorfisme yang diberikan oleh $\bar{a}\mapsto {\sigma }_a\in G,{\sigma }_a(x)=x^a$. Secara khusus, $G$ adalah grup abelian.
• Diberikan ekstensi bidang $L/K$, grup automorfisme adalah grup yang terdiri dari automorfisme bidang L yang fix K : itu lebih dikenal sebagai grup Galois dari $L/K$.
• Grup automorfisme dari proyektif n - spasi di atas bidang k adalah grup linear proyektif ${\mathrm{PGL}}_n(k).$
• Grup automorfisme dari aljabar Lie riil berdimensi-hingga] $𝔤$ memiliki struktur (nyata) grup kebohongan (sebenarnya, ini bahkan grup aljabar linear: lihat di bawah). Jika G adalah grup Lie dengan aljabar Lie $𝔤$, maka grup automorfisme dari G memiliki struktur grup Lie yang diinduksi dari grup automorphism dari $𝔤$.
• Misalkan P menjadi dihasilkan secara terbatas modul proyektif di atas gelanggang R . Maka melekatkan $\mathrm{Aut}(P)\hookrightarrow {\mathrm{GL}}_n(R)$, unique up to inner automorphisms.

Dalam teori kategori

Grup automorfisme muncul secara alami dalam teori kategori.

Jika X adalah objek dalam kategori, maka grup automorfisme dari X adalah grup yang terdiri dari semua morfisme yang dapat dibalik dari X untuk dirinya sendiri. Ini adalah grup unit dari monoid endomorfisma dari X . (Untuk beberapa contoh, lihat PROP.)

Jika $A,B$ adalah objek dalam beberapa kategori, maka himpunan $\mathrm{Iso}(A,B)$ dari semua $A\stackrel{\sim }{\to }B$ adalah kiri $\mathrm{Aut}(B)$-torsi. Dalam istilah praktis, ini mengatakan bahwa pilihan yang berbeda dari titik dasar $\mathrm{Iso}(A,B)$ dibedakan secara jelas oleh elemen dari $\mathrm{Aut}(B)$, atau bahwa setiap pilihan titik dasar justru merupakan pilihan penyederhanaan torsi.

Jika $X_1$ dan $X_2$ adalah objek dalam kategori $C_1$ dan $C_2$, dan jika $F:C_1\to C_2$ adalah functor memetakan $X_1$ ke $X_2$, kemudian $F$ menginduksi homomorfisme grup $\mathrm{Aut}(X_1)\to \mathrm{Aut}(X_2)$, karena memetakan morfisme yang dapat dibalik menjadi morfisme yang dapat dibalik.

Secara khusus, jika G adalah grup yang dilihat sebagai kategori dengan satu objek * atau, lebih umum, jika G adalah groupoid, maka setiap functor $G\to C$, C kategori, disebut aksi atau representasi G pada objek $F(*)$, or the objects $F(\mathrm{Obj}(G))$. Objek-objek itu kemudian dikatakan sebagai objek $G$ (sebagaimana mereka ditindaklanjuti $G$); lih. $𝕊$-object. Jika $C$ adalah kategori modul seperti kategori ruang vektor berdimensi-hingga, maka $G$ -objek juga disebut $G$ -modul.

Funktor grup automorfisme

Misalkan $M$ menjadi ruang vektor berdimensi-hingga di atas bidang k yang dilengkapi dengan beberapa struktur aljabar (yaitu, M adalah aljabar berdimensi-hingga di atas k ). Ini bisa berupa, misalnya, aljabar asosiatif atau aljabar Lie.

Sekarang, pertimbangkan k - peta linear $M\to M$ yang mempertahankan struktur aljabar: mereka membentuk subruang vektor ${\mathrm{End}}_{\text{alg}}(M)$ dari $\mathrm{End}(M)$. Grup unit dari ${\mathrm{End}}_{\text{alg}}(M)$ adalah grup automorfisme $\mathrm{Aut}(M)$. Ketika basis pada M dipilih, $\mathrm{End}(M)$ adalah ruang dari matriks kuadrat dan ${\mathrm{End}}_{\text{alg}}(M)$ adalah himpunan nol dari beberapa polinomial, dan pembalikan dijelaskan lagi oleh polinomial. Karenanya, $\mathrm{Aut}(M)$ adalah grup aljabar linear di atas k .

Sekarang ekstensi dasar yang diterapkan pada diskusi di atas menentukan sebuah funktor: yaitu, untuk setiap gelanggang komutatif R di atas k , pertimbangkan R -peta linear $M\otimes R\to M\otimes R$ melestarikan struktur aljabar: dilambangkan dengan ${\mathrm{End}}_{\text{alg}}(M\otimes R)$. Kemudian grup unit gelanggang matriks ${\mathrm{End}}_{\text{alg}}(M\otimes R)$ lebih R adalah grup automorfisme $\mathrm{Aut}(M\otimes R)$ dan $R\mapsto \mathrm{Aut}(M\otimes R)$ adalah fungsi grup: fungsi dari kategori gelanggang komutatif di atas k ke kategori grup. Lebih baik lagi, ini diwakili oleh skema (karena grup automorfisme ditentukan oleh polinomial): skema ini disebut skema grup automorfisme dan dilambangkan dengan $\mathrm{Aut}(M)$.

Secara umum, bagaimanapun, sebuah fungsi grup automorfisme mungkin tidak diwakili oleh skema.

Lihat pula

• Grup automorfisme luar
• Struktur level, trik untuk grup automorfisme
• Grup Holonomi

Referensi

• Templat:Cite book
• Templat:Fulton-Harris
• Templat:Hartshorne AG
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book

Pranala luar

• https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme Templat:Webarchive