Subgrup normal

Templat:Redirect-distinguish Templat:Group theory sidebar Dalam aljabar abstrak, subgrup normal (juga dikenal sebagai subgrup invarian atau subgrup konjugasi sendiri)Templat:Sfn adalah subgrup yang invarian di bawah konjugasi oleh anggota grup yang merupakan bagiannya. Dengan kata lain, subgrup Templat:Math dari grup Templat:Math adalah normal dalam Templat:Math jika dan hanya jika Templat:Math untuk Templat:Math dan Templat:Math. Notasi umum untuk relasi ini adalah $N◃G$.

Subkelompok normal penting karena mereka (dan hanya mereka) dapat digunakan untuk membangun kelompok hasil bagi dari grup tertentu. Selanjutnya, subgrup normal dari Templat:Math tepatnya adalah kernel dari homomorfisme grup dengan domain Templat:Math, yang berarti bahwa mereka dapat digunakan untuk mengklasifikasikan homomorfisme tersebut secara internal.

Évariste Galois adalah orang pertama yang menyadari pentingnya keberadaan subgrup normal.Templat:Sfn

Definisi

Subgrup Templat:Math dari grup Templat:Math disebut subgrup normal dari Templat:Math jika itu invarian di bawah konjugasi; yaitu, konjugasi elemen Templat:Math dengan elemen Templat:Math selalu dalam Templat:Math.Templat:Sfn Notasi umum untuk relasi ini adalah $N◃G$.

Kondisi yang setara

Untuk setiap subgrup Templat:Math dari Templat:Math, kondisi berikut adalah ekuivalen ke {{math | N } } menjadi subgrup normal dari Templat:Math. Oleh karena itu, salah satu dari mereka dapat dianggap sebagai definisi:

• Gambar konjugasi Templat:Math oleh salah satu elemen Templat:Math adalah himpunan bagian dari Templat:Math.Templat:Sfn'
• Gambar konjugasi Templat:Math oleh elemen apa pun dari Templat:Math sama dengan Templat:Math.Templat:Sfn
• Untuk Templat:Math di Templat:Math, koset kiri dan kanan Templat:Math dan Templat:Math adalah sama.Templat:Sfn
• Himpunan kohimpunan kiri dan kanan dari Templat:Math di Templat:Math bertepatan.Templat:Sfn
• Produk dari elemen koset kiri Templat:Math sehubungan dengan Templat:Math dan elemen kohimpunan kiri Templat:Math sehubungan dengan Templat:Math adalah elemen kohimpunan kiri dari Templat:Math dengan Templat:Math: Templat:Math, jika Templat:Math dan Templat:Math maka Templat:Math.
• Templat:Math adalah union dari kelas konjugasi dari Templat:Math.Templat:Sfn
• Templat:Math diawetkan oleh automorfisme batin dari Templat:Mvar.Templat:Sfn
• Ada beberapa homomorfisme grup Templat:Math pada kernel adalah Templat:Math.Templat:Sfn
• Untuk $n\in N$ dan $g\in G$, komutator $[n,g]=n^{-1}{g}^{-1}ng$ pada Templat:Mvar.Templat:Cn
• Setiap dua elemen bolak-balik terkait hubungan keanggotaan subkelompok normal: Templat:Math.Templat:Cn

Contoh

• Subgrup sepele Templat:Mathhanya terdiri dari elemen identitas Templat:Math dan Templat:Math itu sendiri selalu merupakan subgrup normal dari Templat:Math. Jika ini adalah satu-satunya subgrup normal, maka Templat:Math dikatakan sederhana.Templat:Sfn
• Setiap subgrup Templat:Math dari grup abelian Templat:Math adalah normal, karena $gN=\{gn{\}}_{n\in N}=\{ng{\}}_{n\in N}=Ng.$ A grup yang bukan abelian tetapi setiap subgrupnya normal disebut grup Hamilton.Templat:Sfn
• pusat grup adalah subkelompok normal.Templat:Sfn
• Secara lebih umum, setiap subgrup karakteristik adalah normal, karena konjugasi selalu merupakan automorfisme.Templat:Sfn
• Subgrup komutator $[G,G]$ adalah subgrup normal dari $G$.Templat:Sfn
• Grup terjemahan adalah subgrup normal dari grup Euclidean dalam dimensi apa pun.Templat:Sfn Artinya: menerapkan transformasi kaku, diikuti oleh terjemahan, dan kemudian transformasi kaku terbalik, memiliki efek yang sama sebagai terjemahan tunggal (meskipun biasanya terjemahan yang berbeda dari yang kita gunakan sebelumnya). Sebaliknya, subkelompok dari semua rotasi tentang asal adalah bukan subkelompok normal dari grup Euclidean, selama dimensinya minimal 2: mula-mula menerjemahkan, lalu memutar tentang asal, lalu menerjemahkan kembali biasanya tidak akan menetapkan asal dan oleh karena itu tidak akan memiliki efek yang sama seperti rotasi tunggal tentang asal.
• Dalam Grup Kubus Rubik, subgrup yang terdiri dari operasi yang hanya mempengaruhi orientasi potongan sudut atau potongan tepi adalah normal.Templat:Sfn

Sifat

• Jika Templat:Math adalah subgrup normal dari Templat:Math, dan Templat:Math adalah subgrup dari Templat:Math berisi Templat:Math, maka Templat:Math adalah subgrup normal dari Templat:Math.Templat:Sfn
• Subgrup normal dari subkelompok normal dari suatu kelompok tidak harus normal dalam kelompok tersebut. Artinya, normalitas bukanlah hubungan transitif. Grup terkecil yang menunjukkan fenomena ini adalah grup dihedral berorde 8.Templat:Sfn Namun, subgrul karakteristik dari subkelompok normal adalah normal.Templat:Sfn Sebuah kelompok yang normalitasnya transitif disebut T-grup.Templat:Sfn
• Dua grup Templat:Math dan Templat:Math adalah subgrup normal dari produk langsung Templat:Math.
• Jika grup Templat:Math adalah produk setengah langsung $G=N⋊H,$, maka Templat:Math adalah normal dalam Templat:Math, meskipun Templat:Math tidak perlu menjadi normal dalam Templat:Math.
• Normalitas dipertahankan di bawah homomorfisme dugaan,Templat:Sfn yaitu jika Templat:Math adalah homomorfisme kelompok dugaan dan Templat:Math adalah normal di Templat:Math, lalu gambar Templat:Math normal dalam Templat:Math.
• Normalitas dipertahankan dengan mengambil gambar terbalik,Templat:Sfn i.e. if Templat:Math adalah homomorfisme grup dan Templat:Math normal dalam Templat:Math, maka gambar terbalik Templat:Math pada Templat:Math.
• Normalitas dipertahankan pada pengambilan produk langsung,Templat:Sfn yaitu jika $N_1◃G_1$ dan $N_2◃G_2$, maka $N_1\times N_2◃G_1\times G_2$.
• Setiap subgrup indeks 2 adalah normal. Secara lebih umum, subgrup, Templat:Math, dari indeks hingga, Templat:Math, pada Templat:Math berisi subgrup, Templat:Math, normal di Templat:Math dan pembagi indeks Templat:Math disebut normal core. Khususnya, jika Templat:Math adalah bilangan prima terkecil yang membagi urutan Templat:Math, maka setiap subgrup indeks {{math | p } } normal.Templat:Sfn
• Fakta bahwa subgrup normal dari Templat:Math adalah kernel homomorfisme grup yang didefinisikan pada G menjelaskan beberapa pentingnya subgrup normal; mereka adalah cara untuk mengklasifikasikan secara internal semua homomorfisme yang didefinisikan dalam sebuah grup. Misalnya, grup terbatas non-identitas adalah sederhana jika dan hanya jika isomorfik untuk semua gambar homomorfik non-identitasnya,Templat:Sfn sebuah grup berhingga adalah sempurna jika dan hanya jika grup tersebut tidak memiliki subgrup normal dari prime indeks, dan sebuah grup adalah tidak sempurna jika dan hanya jika subgrup turunan tidak ditambah dengan subgrup normal yang sesuai.

Kisi subgrup normal

Diberikan dua subgrup normal, Templat:Math dan Templat:Math, dari Templat:Math, persimpangannya $N\cap M$and their product $NM=\{nm\mid n\in N\text{ dan }m\in M\}$ juga merupakan subgrup normal dari Templat:Math.

Subgrup normal dari Templat:Math membentuk kisi di bawah subset inclusion dengan least element, Templat:Math, dan elemen terbesar, Templat:Math. bertemu dari dua subgrup normal, Templat:Math dan Templat:Math, dalam kisi ini adalah perpotongannya dan join adalah hasil kali mereka.

Kisi tersebut adalah lengkap dan modular.Templat:Sfn

Subgrup normal, grup hasil bagi dan homomorfisme

Jika Templat:Math adalah subgrup normal, kita bisa mendefinisikan perkalian koset sebagai berikut:$$(a_{1}N)(a_{2}N):=(a_1{a}_2)N.$$Relasi ini mendefinisikan pemetaan $G/N\times G/N\to G/N$. Untuk menunjukkan bahwa pemetaan ini terdefinisi dengan baik, perlu dibuktikan bahwa pemilihan elemen perwakilan $a_1,a_2$ tidak mempengaruhi hasil. Untuk tujuan ini, pertimbangkan beberapa elemen perwakilan lainnya ${a_1}^{\prime }\in a_{1}N,{a_2}^{\prime }\in a_{2}N$. Maka ada $n_1,n_2\in N$ mendefinisikan ${a_1}^{\prime }=a_1{n}_1,{a_2}^{\prime }=a_2{n}_2$. Oleh karena itu $${a_1}^{\prime }{a_2}^{\prime }N=a_1{n}_1{a}_2{n}_{2}N=a_1{a}_2{n_1}^{\prime }{n}_{2}N=a_1{a}_{2}N,$$di mana kami menggunakan $N$ adalah subgrup normal , dan oleh karena itu ada ${n_1}^{\prime }\in N$ karena $n_1{a}_2=a_2{n_1}^{\prime }$. Ini membuktikan bahwa produk ini adalah pemetaan antar kohimpunan yang terdefinisi dengan baik.

Dengan operasi ini, himpunan coset itu sendiri adalah sebuah grup, yang disebut grup hasil bagi dan dilambangkan dengan Templat:Math. Ada homomorfisme alami, Templat:Math, given by Templat:Math. Homomorfisme ini memetakan $N$ ke dalam elemen identitas Templat:Math, yang merupakan kohimpunan Templat:Math,Templat:Sfn that is, $\ker (f)=N$.

Secara umum, homomorfisme grup, Templat:Math mengirim subgrup dari Templat:Math ke subgrup dari Templat:Math. Juga, preimage dari setiap subgrup dari Templat:Math adalah subgrup dari Templat:Math. Kami menyebut preimage dari grup trivial Templat:Math di Templat:Math kernel dari homomorfisme dan dilambangkan dengan Templat:Math. Ternyata, kernel selalu normal dan citra Templat:Math, Templat:Math, selalu isomorfik menjadi Templat:Math (the teorema isomorfisme pertama).Templat:Sfn Nyatanya, korespondensi ini adalah bijection antara himpunan semua kelompok hasil bagi dari Templat:Mvar, Templat:Math, dan himpunan semua gambar homomorfik dari Templat:Math (hingga isomorfisme).Templat:Sfn Juga mudah untuk melihat bahwa kernel peta hasil bagi, Templat:Math, adalah Templat:Math itu sendiri, jadi subgrup normal tepatnya adalah kernel homomorfisme dengan domain Templat:Math.Templat:Sfn

Lihat pula

Operasi membawa subkelompok ke subkelompok

• Normalizer
• Penutupan konjugasi
• Inti normal

Properti subkelompok yang saling melengkapi (atau berlawanan) dengan normalitas

• Subgrup tidak normal
• Subgrup kontranormal
• Subgrup abnormal
• Subgrup yang menormalkan sendiri

Properti subkelompok lebih kuat dari normalitas

• Subgrup karakteristik
• Subgrup dengan karakteristik penuh

Properti subkelompok lebih lemah dari normalitas

• Subgrup subnormal
• Subgrup Ascendant
• Subgrup keturunan
• Subgrup Kuasinormal
• Subgrup seminormal
• Konjugasi subgrup yang dapat diubah
• Subgrup modular
• Subgrup pronormal
• Subgrup paranormal
• Subgrup polinormal
• Subgrup C-normal

Gagasan terkait dalam aljabar

• Ideal (teori gelanggang)

Referensi

• Templat:Cite journal
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book

Bacaan lebih lanjut

• I. N. Herstein, Topics in algebra. Second edition. Xerox College Publishing, Lexington, Mass.-Toronto, Ont., 1975. xi+388 pp.

Pranala luar

• Templat:MathWorld
• Normal subgroup in Springer's Encyclopedia of Mathematics
• Robert Ash: Group Fundamentals in Abstract Algebra. The Basic Graduate Year
• Timothy Gowers, Normal subgroups and quotient groups
• John Baez, What's a Normal Subgroup?