Grup Galois

Templat:Short description Templat:Distinguish Dalam matematika, di bidang aljabar abstrak yang dikenal sebagai teori Galois, Grup Galois dari jenis tertentu ekstensi bidang adalah grup spesifik yang terkait dengan ekstensi bidang. Studi tentang perluasan lapangan dan hubungannya dengan polinomial yang memunculkan mereka melalui kelompok Galois disebut teori Galois, dinamai demikian untuk menghormati Évariste Galois yang pertama kali dibahas.

Untuk pembahasan yang lebih mendasar tentang grup Galois dalam istilah grup permutasi, lihat artikel di teori Galois.

Definisi

Misalkan $E$ adalah perpanjangan dari bidang $F$ (ditulis sebagai $E/F$ dan dibaca "E di atas F "). Automorfisme dari $E/F$ didefinisikan sebagai automorfisme dari $E$ dari $F$ secara searah. Dengan kata lain, automorfisme $E/F$ adalah isomorfisme $\alpha :E\to E$ sehingga $\alpha (x)=x$ untuk $x\in F$. Himpunan dari semua automorfisme $E/F$ membentuk grup dengan operasi komposisi fungsi. Grup ini terkadang dilambangkan dengan $\mathrm{Aut}(E/F).$

Jika $E/F$ adalah ekstensi Galois, maka $\mathrm{Aut}(E/F)$ disebut 'Galois group' dari $E/F$, dan biasanya dilambangkan dengan $\mathrm{Gal}(E/F)$.Templat:Quote

Jika $E/F$ bukan ekstensi Galois, maka grup Galois dari $E/F$ terkadang didefinisikan sebagai $\mathrm{Aut}(K/F)$, di mana $K$ adalah penutupan Galois dari $E$.

Grup Galois dari suatu polinomial

Definisi lain dari grup Galois berasal dari grup Galois dari polinomial $f\in F[x]$. Jika ada bidang $K/F$ sedemikian rupa sehingga $f$ menjadi faktor sebagai produk dari polinomial linier

$f(x)=(x-{\alpha }_1)\cdots (x-{\alpha }_k)\in K[x]$

di atas bidang $K$, maka grup Galois dari polinomial $f$ didefinisikan sebagai grup Galois dari $K/F$ di mana $K$ minimal di antara semua bidang tersebut.

Struktur grup Galois

Teorema dasar teori Galois

Salah satu teorema struktur penting dari teori Galois berasal dari teorema fundamental teori Galois. Ini menyatakan bahwa diberi ekstensi Galois terbatas $K/k$, ada bijection antara himpunan subbidang $k\subset E\subset K$ dan subgrup $H\subset G.$ Kemudian, $E$ diberikan oleh himpunan invarian dari $K$ di bawah aksi $H$, jadi

$E=K^H=\{a\in K:ga=a\text{ dimana }g\in H\}$

Selain itu, jika $H$ adalah subgrup normal maka $G/H\cong \mathrm{Gal}(E/k)$. Dan sebaliknya, jika $E/k$ adalah ekstensi bidang normal, maka subgrup terkait di $\mathrm{Gal}(K/k)$ adalah grup normal.

Struktur kisi

Misalkan $K_1,K_2$ adalah ekstensi Galois dari $k$ dengan grup Galois $G_1,G_2.$ Bidang $K_1{K}_2$ dengan grup Galois $G=\mathrm{Gal}(K_1{K}_2/k)$ memiliki injeksi $G\to G_1\times G_2$ yang merupakan isomorfisme $K_1\cap K_2=k$.

Indruksi

Sebagai dilakukan berkali-kali secara tak terbatas. Maka ekstensi Galois $K_1,\dots ,K_n/k$ where $K_{i+1}\cap (K_1\cdots K_i)=k,$ maka isomorfisme dari grup Galois:

$\mathrm{Gal}(K_1\cdots K_n/k)\cong G_1\times \cdots \times G_n.$

Contoh

Dalam contoh berikut $F$ adalah bidang, dan $ℂ,ℝ,\mathbb{Q}$ adalah bidang bilangan kompleks, riil, dan rasional. Notasi Templat:Math menunjukkan ekstensi bidang yang diperoleh dengan adjunsi elemen Templat:Math ke bidang Templat:Math.

Alat komputasi

Kardinalitas grup Galois dan derajat perluasan bidang

Salah satu proposisi dasar yang diperlukan untuk sepenuhnya menentukan grup Galois dari ekstensi medan hingga adalah sebagai berikut: Polinomial $f(x)\in F[x]$, maka $E/F$ menjadi ekstensi bidang pemisahnya. Maka urutan grup Galois sama dengan derajat perpanjangan medan; itu adalah,

$|\mathrm{Gal}(E/F)|=[E:F]$

Kriteria Eisenstein

Alat yang berguna untuk menentukan kelompok Galois dari suatu polinomial berasal dari kriteria Eisenstein. Jika polinomial $f\in F[x]$ faktor menjadi polinomial tidak dapat direduksi $f=f_1\cdots f_k$ grup Galois dari $f$ dapat ditentukan menggunakan grup Galois dari setiap $f_i$ karena grup Galois dari $f$ adalah grup Galois dari $f_i.$

Grup trivial

$\mathrm{Gal}(F/F)$ merupakan golongan trivial yang memiliki satu unsur yaitu automorfisme identitas.

Contoh lain dari grup Galois trivial adalah $\mathrm{Aut}(ℝ/\mathbb{Q}).$ Memang, dapat ditunjukkan bahwa automorfisme dari $ℝ$ urutan dari bilangan riil dan karenanya harus menjadi identitas.

Pertimbangkan bidang $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}).$ Grup $\mathrm{Aut}(K/\mathbb{Q})$ hanya berisi automorfisme identitas. Ini karena $K$ bukan ekstensi norma, karena dua akar pangkat tiga lainnya dari $2$,

$\exp \left(\frac{2\pi i}{3}\right)\sqrt[3]{2}$ and $\exp \left(\frac{4\pi i}{3}\right)\sqrt[3]{2},$

hilang dari ekstensi, dengan kata lain Templat:Math bukan bidang pemisah.

Properti

Arti penting perpanjangan menjadi Galois adalah bahwa ia mematuhi teorema dasar teori Galois: subgrup tertutup (sehubungan dengan topologi Krull) dari grup Galois sesuai dengan bidang perantara dari ekstensi bidang.

Jika $E/F$ adalah ekstensi Galois, maka $\mathrm{Gal}(E/F)$ dapat diberi topologi, yang disebut topologi Krull, yang membuatnya menjadi grup tak hingga.

Lihat pula

• Teorema dasar teori Galois
• Grup Galois mutlak
• Representasi Galois
• Kelompok Dimushkin
• Grup solvabel

Referensi

• Templat:Cite book
• Templat:Lang Algebra

Pranala luar

• Templat:Springer
• Galois group and the Quaternion group Templat:Webarchive
• Templat:MathPages
• Comparing the global and local galois groups of an extension of number fields Templat:Webarchive
• Galois Representations Templat:Webarchive - Richard Taylor