Grup hasil bagi

Sebuah kohimpunan dengan akar uniti

Grup hasil bagi adalah grup, yang menggunakan konstruksi standar dari grup tertentu $G$ dengan bantuan sebagai pembagi normal $N⊴G$ terbentuk. Maka dilambangkan dengan $G/N$ dan merupakan himpunan dari kelas minor.

Konstruksi

Elemen-elemen dari $G/N$ adalah kelas minor sehubungan dengan $N$, maka

$G/N:=\{gN:g\in G\}$.

Koneksi batin $\circ :G/N\times G/N\to G/N$ didefinisikan sebagai:

$(gN)\circ (hN):=(gh)N$.

Dengan bantuan properti pembagi normal $N$ seseorang dapat menunjukkan bahwa tautan ini adalah terdefinisi dengan baik dan $(G/N,circ)$ adalah grup. Grup ini disebut grup hasil bagi dari $G$ hingga $N$. Elemen netral dari $G/N$ adalah $N$ dan elemen terbalik ke $gN$ diberikan $g^{-1}N$.

Produk $(gN)\circ (hN)=(gh)N$ setuju dengan produk kompleks $(gN)\cdot (hN)$ pertandingan. Sebaliknya, seseorang dapat menunjukkan bahwa subgrup $U$ dari sebuah grup $(G,\cdot )$ adalah pembagi normal, jika untuk semua $g,h\in G$ persamaan $(gU)\cdot (hU)=(gh)U$.

Dalam grup abelian setiap subgrup adalah subgrup normal. Jadi, setelah setiap subgrup, dapat dibentuk kelompok faktor di sana, yang selanjutnya adalah Abelian.

urutan dari grup faktor $G/N$ tepatnya adalah jumlah kelas sekunder dari $N$. Angka ini disebut Indeks oleh $N$ pada $G$ dan dengan $(G:N)$ ditunjuk. Jika $G$ adalah grup berhingga, maka berdasarkan Teorema Lagrange $(G:N)=|G/N|=\frac{|G|}{|N|}$.

Bilangan bulat genap dan ganjil

Pertimbangkan grup bilangan bulat Z (di bawah tambahan) dan subgrup 2Z yang terdiri dari semua integer genap. Ini adalah subgrup normal, karena Z adalah abelian. Hanya ada dua koset: himpunan bilangan bulat genap dan himpunan bilangan bulat ganjil, dan oleh karena itu grup hasil bagi Z/2Z adalah grup siklik dengan dua elemen. Kelompok hasil bagi ini isomorfik dengan himpunan Templat:Nowrap dengan tambahan modulo 2; secara informal, kadang-kadang dikatakan demikian Z/2Z memadai himpunan Templat:Nowrap dengan tambahan modulo 2.

Contoh dijelaskan lebih lanjut...

Maka $\gamma (m)=$ sisa dari $m\in \mathbb{Z}$ saat membagi dengan $2$.
Kemudian $\gamma (m)=0$ jika $m$ adalah genap dan $\gamma (m)=1$ when $m$ adalah ganjil.
Menurut definisi $\gamma$, inti dari $\gamma$,
ker($\gamma$) $=\{m\in \mathbb{Z}:\gamma (m)=0\}$, adalah himpunan dari semua bilangan bulat genap.
Maka $H=$ ker($\gamma$).
Kemudian $H$ adalah subgrup, karena identitasnya di $\mathbb{Z}$, which is $0$, dalam $H$,
jumlah dari dua integer genap adalah genap dan karenanya jika $m$ dan $n$ berada di $H$, $m+n$ dalam $H$ (penutupan)
dan jika $m$ genap, $-m$ juga genap dan $H$ berisi inversnya.
Menetapkan $\mu :$Templat:Math$\to {\mathbb{Z}}_2$ sebagai $\mu (aH)=\gamma (a)$ ke $a\in \mathbb{Z}$
dan Templat:Math adalah grup hasil bagi dari koset kiri; Templat:Math$=\{H,1+H\}$.
Dengan cara yang telah kami tentukan $\mu$, $\mu (aH)$ adalah $1$ jika $a$ ganjil dan $0$ jika $a$ genap.
Jadi, $\mu$ adalah isomorfisme dari Templat:Math ke ${\mathbb{Z}}_2$.

Quotients dari grup Lie

Jika $G$ adalah grup lie dan $N$ adalah subgrup Lie normal $G$, hasil bagi Templat:Nowrap juga merupakan grup Lie. Dalam kasus ini, grup asli $G$ memiliki struktur sebuah fiber bundle (khususnya, sebuah utama $N$ -bundel), dengan ruang dasar Templat:Nowrap dan serat $N$.

Untuk subgruo Lie non-normal $N$, ruang Templat:Nowrap dari coset kiri bukanlah sebuah grup, tetapi hanya sebuah lipatan yang dapat dibedakan di mana $G$ bertindak. Hasilnya dikenal sebagai ruang homogen.

Jika subgrup $N$ ditutup (dalam arti topologi daripada aljabar kata tersebut), kemudian dimensi kelompok Lie atau ruang homogen Templat:Nowrap banding $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}G-\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N$.

Sifat universal dari grup hasil bagi

Jika $H$ adalah pembagi normal dari $G$, maka pemetaannya adalah $\pi :G\to G/H$ dengan $g\mapsto gH$ dengan kernel $H$ a epimorphism, jadi subjektif homomorfisme. Sifat universal sekarang mengatakan, bahwa untuk setiap homomorfisme grup $\phi :G\to G^{\prime }$ mit $H\subseteq ker(\phi )$ persis satu grup homomorfisme ${\phi }^{\prime }:G/H\to G^{\prime }$ mit $\phi ={\phi }^{\prime }\circ \pi$ existiert.

Contoh: jika $\pi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ proyeksi natural dari bilangan bulat ke kelas sisa modulo 6. Maka $\phi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ Homomorfisme grup. Lalu grup lie $6\mathbb{Z}$ pada inti $\phi$ dan ${\phi }^{\prime }:\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ menghasilkan:

${\phi }^{\prime }([0{]}_6)=[0{]}_3$

${\phi }^{\prime }([1{]}_6)=[1{]}_3$

${\phi }^{\prime }([2{]}_6)=[2{]}_3$

${\phi }^{\prime }([3{]}_6)=[0{]}_3$

${\phi }^{\prime }([4{]}_6)=[1{]}_3$

${\phi }^{\prime }([5{]}_6)=[2{]}_3$.

Lihat pula

• Ekstensi grup
• Kategori hasil bagi
• Urutan persis pendek

Referensi

• Templat:Citation
• Templat:Citation