Grup nilpoten

Dalam matematika, khususnya teori grup, grup nilpoten G adalah grup yang memiliki deret tengah atas yang diakhiri dengan G . Secara ekivalen, deret tengah nya memiliki panjang terbatas atau deret tengah bawah diakhiri dengan {1}.

Secara intuitif, grup nilpotent adalah grup yang "hampir abelian". Ide ini dimotivasi oleh fakta bahwa grup nilpoten adalah solvable, dan untuk grup nilpoten hingga, dua elemen yang memiliki relatif prima urutan harus bolak-balik. Juga benar bahwa grup nilpoten hingga adalah bisa dipecahkan. Konsep ini dikreditkan untuk bekerja pada tahun 1930-an oleh ahli matematika Rusia Sergei Chernikov.

Grup nilpoten muncul dalam teori Galois, serta dalam klasifikasi grup. Mereka juga muncul secara mencolok dalam klasifikasi grup Lie.

Istilah analogi digunakan untuk aljabar Lie (menggunakan Kurung kebohongan) termasuk nilpoten, dan deret pusat bawah.

Definisi

Definisi tersebut menggunakan gagasan tentang rangkaian pusat untuk sebuah grup. Berikut ini adalah definisi yang setara untuk grup nilpotent Templat:Mvar:

• Templat:Mvar memiliki deret tengah dengan panjang terbatas. Artinya, serangkaian subkelompok normal

$\{1\}=G_0◃G_1◃\dots ◃G_n=G$

where $G_{i+1}/G_i\le Z(G/G_i)$, or equivalently $[G,G_{i+1}]\le G_i$.

• Templat:Mvar memiliki deret tengah bawah yang diakhiri dalam subgrup trivial setelah banyak langkah yang tak terhingga. Artinya, serangkaian subgrup normal

$G=G_0▹G_1▹\dots ▹G_n=\{1\}$

where $G_{i+1}=[G_i,G]$.

• Templat:Mvar memiliki deret tengah atas yang berakhir di seluruh grup setelah banyak langkah yang tak terhingga. Artinya, serangkaian subkelompok normal

$\{1\}=Z_0◃Z_1◃\dots ◃Z_n=G$

dimana $Z_1=Z(G)$ dan $Z_{i+1}$ adalah subkelompok seperti itu $Z_{i+1}/Z_i=Z(G/Z_i)$.

Untuk grup nilpoten, Templat:Mvar terkecil sedemikian rupa sehingga Templat:Mvar memiliki deretan pusat dengan panjang Templat:Mvar disebut kelas nilpotensi dari Templat:Mvar ; dan Templat:Mvar dikatakan nilpoten kelas Templat:Mvar. (Menurut definisi, panjangnya adalah Templat:Mvar jika ada $n+1$ subgrup berbeda dalam rangkaian, termasuk subgrup trivial dan seluruh grup.)

Secara ekuivalen, kelas nilpotensi dari Templat:Mvar sama dengan panjang deret tengah bawah atau deret tengah atas. Jika sebuah grup memiliki paling banyak kelas nilpotensi Templat:Mvar, maka itu kadang-kadang disebut grup nil-Templat:Mvar.

Ini segera mengikuti dari salah satu bentuk di atas dari definisi nilpotensi, bahwa grup trivial adalah grup unik kelas nilpotensi Templat:Math, dan kelompok dari kelas nilpotensi Templat:Math sama persis dengan grup abelian non-trivial.

Contoh

Sebagian dari grafik Cayley dari grup Heisenberg diskrit, grup nilpoten terkenal.

• Seperti disebutkan di atas, setiap grup abelian adalah nilpoten.
• Untuk contoh non-abelian kecil, pertimbangkan grup quaternion group Q ₈ , yang merupakan grup non-abelian terkecil p . Ia memiliki pusat {1, −1} dari urutan 2, dan deret pusat atasnya adalah {1}, {1, −1}, Q₈; jadi nihil kelas 2.
• Produk langsung dari dua grup nilpoten adalah nilpoten.
• Semua grup-p hingga sebenarnya nilpoten ( bukti). Kelas maksimal dari segrup ordo pⁿ adalah n (sebagai contoh, setiap grup berorde 2 nilpoten kelas 1). 2 grup kelas maksimal adalah grup hasil bagi umum, grup dihedral, dan grup semidihedral.
• Lebih lanjut, setiap grup nilpoten hingga adalah produk langsung dari grup p .
• Gugus perkalian dari matriks atas satuanriangular n x n pada bidang manapun F adalah grup nilpoten dari nilpotensi n - 1. Secara khusus, mengambil n = 3 menghasilkan grup Heisenberg H , sebuah contoh dari non-abelian infinite nilpotent group. Ini memiliki kelas nilpotency 2 dengan deret pusat 1, Z(H), H.
• Kelompok perkalian dari matriks segitiga atas yang dapat dibalik n x n matriks di atas bidang F tidak secara umum nilpoten, tetapi dapat dipecahkan.
• Semua grup nonabelian G seperti itu G/Z(G) apakah abelian memiliki nilpontensi kelas 2, dengan deret pusat {1}, Z(G), G.

Penjelasan istilah

Disebut grup nilpotent karena "aksi adjoint" dari setiap elemen adalah nilpoten, artinya untuk grup nilpotent $G$ dari nilpotence degree $n$ dan elemen $g$, fungsi ${\mathrm{ad}}_g:G\to G$ didefinisikan oleh ${\mathrm{ad}}_g(x):=[g,x]$ (dimana $[g,x]=g^{-1}{x}^{-1}gx$ adalah komutator dari $g$ dan $x$) adalah nilpoten dalam arti bahwa iterasi $n$ ke fungsi ini sepele: ${\left({\mathrm{ad}}_g\right)}^n(x)=e$ untuk $x$ pada $G$.

Ini bukanlah karakteristik yang menentukan dari grup nilpoten: grup yang untuknya ${\mathrm{ad}}_g$ adalah nilpoten derajat $n$ (dalam pengertian di atas) disebut grup Engel $n$, dan tidak perlu menjadi nilpoten secara umum. Mereka terbukti nilpoten jika memiliki urutan yang terbatas, dan diduga nilpoten selama mereka dihasilkan secara terbatas.

Sebuah grup abelian adalah grup yang tindakan penyatuannya tidak hanya nilpoten tetapi juga trivial (grup 1-Engel).

Referensi

• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book review
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book