Transpos konjugat

Dalam matematika, transpos konjugat (Templat:Lang-en) atau transpose Hermite (Templat:Lang-en) dari suatu matriks $𝐀$ dengan entri-entri kompleks adalah matriks yang dihasilkan dengan melakukan transpos dari $𝐀$ lalu mengambil konjugat kompleks dari setiap entrinya (konjugat kompleks dari $a+ib$ adalah $a-ib$, untuk sembarang bilangan real $a$ dan $b$). Nama lain dari transpos konjugat dari suatu matriks adalah konjugat Hermite, matriks adjoin, dan transjugat (transjugate). Matriks hasil operasi ini umum dinyatakan sebagai ${𝐀}^{\mathrm{H}}$ atau ${𝐀}^{*}$.

Untuk matriks real, transpos konjugat akan sama dengan operasi transpos biasa, ${𝐀}^{\mathrm{H}}={𝐀}^{𝖳}$.

Definisi

Transpos konjugat dari suatu matriks $𝐀$ berukuran $m\times n$ secara formal didefinisikan sebagai

$${\left({𝐀}^{\mathrm{H}}\right)}_{ij}=\overline{{𝐀}_{ji}}$$

dengan indeks $ij$ menyatakan entri ke-$(i,j)$ dari matriks, untuk $1\le i\le n$ dan $1\le j\le m$, dan overbar menyatakan konjugat kompleks pada skalar. Definisi tersebut juga dapat ditulis sebagai

$${𝐀}^{\mathrm{H}}={\left(\overline{𝐀}\right)}^{𝖳}=\overline{{𝐀}^{𝖳}}$$

dengan ${𝐀}^{𝖳}$ menyatakan transpos, dan $\overline{𝐀}$ menyatakan matriks dengan entri-entri yang dikonjugasi kompleks. Transpos konjugat dari matriks $𝐀$ dapat dinyatakan oleh beberapa simbol berikut:

• ${𝐀}^{*}$, dan ${𝐀}^{\mathrm{H}}$, yang umum digunakan dalam aljabar linear,
• ${𝐀}^{†}$, umum digunakan dalam fisika kuantum, dan
• ${𝐀}^{+}$, walau simbol ini lebih sering digunakan untuk invers Moore–Penrose

Dalam beberapa konteks, ${𝐀}^{*}$ menyatakan matriks dengan yang entrinya hanya dikonjugasi kompleks dan tidak mengalami transpos matriks

Contoh

Misalkan kita ingin menghitung transpos konjugat dari matriks $𝐀$ berikut:

$𝐀=\left[\begin{array}{ccc}1& -2-i& 5\\ 1+i& i& 4-2i\end{array}\right]$

Pertama kita melakukan transpos pada matriks,

${𝐀}^{𝖳}=\left[\begin{array}{cc}1& 1+i\\ -2-i& i\\ 5& 4-2i\end{array}\right]$

lalu kita mencari konjugat kompleks dari setiap entri pada matriks:

${𝐀}^{\mathrm{H}}=\left[\begin{array}{cc}1& 1-i\\ -2+i& -i\\ 5& 4+2i\end{array}\right]$

Motivasi

Transpos konjugat dapat dianggap sebagai perumuman konsep konjugat kompleks. Bilangan kompleks dapat direpresentasikan sebagai matriks real berukuran 2×2, yang juga memenuhi sifat penjumlahan dan perkalian matriks:$$a+ib\equiv \left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right].$$Dengan demikian, perkalian bilangan kompleks $z$ di $ℂ$dapat dianggap sebagai transformasi linear pada diagram Argand (dilihat sebagai ruang vektor real ${ℝ}^2$) oleh matriks real berukuran 2×2. Lebih lanjut, konjugat kompleks dari $z$ dapat dilakukan dengan melakukan transpos pada representasi matriks berukuran 2×2-nya.

Hal ini mengartikan matriks berentri kompleks berukuran $m\times n$ juga dapat direpresentasikan dengan baik oleh matriks berentri real berukuran $2m\times 2n$. Transpos konjugat muncul secara alami sebagai akibat mentranspos matriks real ini — yang dapat dilihat kembali sebagai matriks kompleks berukuran $n\times m$.

Sifat-sifat

• $(𝐀+𝐁{)}^{\mathrm{H}}={𝐀}^{\mathrm{H}}+{𝐁}^{\mathrm{H}}$ untuk sembarang matriks $𝐀$ dan $𝐁$ yang memiliki ukuran yang sama.
• $(z𝐀{)}^{\mathrm{H}}=\bar{z}{𝐀}^{\mathrm{H}}$ untuk sembarang bilangan kompleks $z$ dan sembarang matriks $𝐀$ berukuran $m\times n$.
• $(𝐀𝐁{)}^{\mathrm{H}}={𝐁}^{\mathrm{H}}{𝐀}^{\mathrm{H}}$ untuk sembarang matriks $𝐀$ berukuran $m\times n$ dan sembarang matriks $𝐁$ berukuran $n\times p$. Ingat bahwa urutan dari faktor dibalik.
• ${\left({𝐀}^{\mathrm{H}}\right)}^{\mathrm{H}}=𝐀$ funtuk sembarang matriks $𝐀$ berukuran $m\times n$, dengan kata lain, transpos konjugat adalah suatu involusi.
• Jika $𝐀$ adalah matriks persegi, maka $\det \left({𝐀}^{\mathrm{H}}\right)=\overline{\det \left(𝐀\right)}$ dengan $\det (A)$ menyatakan determinan dari $𝐀$ .
• Jika $𝐀$ adalah matriks persegi, maka $\mathrm{tr}\left({𝐀}^{\mathrm{H}}\right)=\overline{\mathrm{tr}(𝐀)}$ dengan $\mathrm{tr}(A)$ menyatakan trace dari $𝐀$.
• $𝐀$ terbalikkan jika dan hanya jika ${𝐀}^{\mathrm{H}}$ juga terbalikkan, dan dalam kasus tersebut, ${\left({𝐀}^{\mathrm{H}}\right)}^{-1}={\left({𝐀}^{-1}\right)}^{\mathrm{H}}$.
• Nilai-nilai eigen dari ${𝐀}^{\mathrm{H}}$ adalah konjugat kompleks dari nilai-nilai eigen dari $𝐀$.
• ${⟨𝐀x,y⟩}_m={⟨x,{𝐀}^{\mathrm{H}}y⟩}_n$ untuk sembarang matriks $𝐀$ berukuran $m\times n$, sembarang vektor $x\in {ℂ}^n$, dan sembarang vektor $y\in {ℂ}^m$. Dalam persamaan ini, $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_m$ menyatakan hasil kali dalam kompleks pada ${ℂ}^m$, dan serupa untuk notasi $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_n$.

Beberapa jenis matriks persegi juga dapat didefinisikan lewat transpos konjugatnya. Suatu matriks persegi $𝐀$ dengan entri-entri $a_{ij}$ disebut

• Hermite, jika $𝐀={𝐀}^{\mathrm{H}}$; yakni ketika $a_{ij}=\overline{a_{ji}}$.
• Skew Hermitian atau antihermitian jika $𝐀=-{𝐀}^{\mathrm{H}}$; yakni, $a_{ij}=-\overline{a_{ji}}$.
• Normal jika ${𝐀}^{\mathrm{H}}𝐀=𝐀{𝐀}^{\mathrm{H}}$.
• Uniter jika ${𝐀}^{\mathrm{H}}={𝐀}^{-1}$, atau secara ekuivalen $𝐀{𝐀}^{\mathrm{H}}=𝐈$, atau secara ekuilvalen ${𝐀}^{\mathrm{H}}𝐀=𝐈$.

Bahkan jika $𝐀$ bukan matriks persegi, kedua matriks ${𝐀}^{\mathrm{H}}𝐀$ dan $𝐀{𝐀}^{\mathrm{H}}$ merupakan matriks Hermite, lebih tepatnya matriks semidefinit positif.

Pranala luar

• Templat:Springer