Matriks terbalikkan

Dalam aljabar linear, sebuah matriks persegi $𝐀$ berukuran $n\times n$ terbalikkan (invertible) atau tidak singular, jika terdapat matriks persegi $𝐁$ dengan ukuran yang sama dengan $𝐀$, dan memenuhi hubungan:

$𝐀𝐁=𝐁𝐀={𝐈}_n$

dengan ${𝐈}_n$ melambangkan matriks identitas berukuran $n\times n$, dan perkalian yang dilakukan merupakan perkalian matriks yang umum. Jika hubungan tersebut berlaku, maka matriks $𝐁$ disebut sebagai balikan atau invers (multiplikatif) dari matriks $𝐀$, dan diberi lambang ${𝐀}^{-1}$.

Matriks persegi tidak dapat dibalik disebut dengan matriks singular. Matriks persegi bersifat singular jika dan hanya jika nilai determinannya 0. Matriks yang bukan matriks persegi (berukuran $m\times n$ dan $m\ne n$) tidak memiliki invers. Namun dalam beberapa kasus, matriks tersebut mungkin memiliki invers kiri atau invers kanan. Jika matriks $𝐀$ berukuran $m\times n$ dengan rank $n$ (nilai $n\le m$), maka $𝐀$ memiliki invers kiri. Invers kiri ini adalah sebuah matriks $𝐁$ berukuran $n\times m$ yang memenuhi hubungan $𝐁𝐀={𝐈}_n.$ Sedangkan jika rank matriks $𝐀$ adalah $m$ (nilai $m\le n$), maka $𝐀$ memiliki invers kanan; yakni sebuah matriks $𝐁$ berukuran $n\times m$ yang memenuhi hubungan $𝐀𝐁={𝐈}_m.$

Sifat

Teorema matriks terbalikkan

Sifat keterbalikkan sebuah matriks berhubungan erat dengan banyak sifat lain yang dimiliki matriks tersebut. Misalkan $𝐀$ adalah matriks persegi berukuran $n\times n$, dengan entri-entri adalah elemen dari suatu lapangan $K$ (misalnya, lapangan bilangan real $ℝ$). Semua pernyataan berikut ekuivalen, dalam artian antara matriks $𝐀$ memenuhi semua pernyataan, atau matriks $𝐀$ tidak memenuhi satupun pernyataan yang ada.

• Matriks $𝐀$ terbalikkan. Dengan kata lain, matriks $𝐀$ memiliki sebuah invers (atau tidak singular).
• Ada sebuah matriks $𝐁$ berukuran $n\times n$ yang memenuhi $𝐀𝐁=𝐁𝐀={𝐈}_n$
• Matriks $𝐀$ dapat diubah menjadi matriks identitas ${𝐈}_n$ lewat serangkaian operasi baris elementer, atau lewat serangkaian operasi kolom elementer.
• Matriks $𝐀$ dapat dinyatakan sebagai perkalian (dengan jumlah terhingga) matriks-matriks elementer
• Matriks $𝐀$ memiliki $n$ posisi pivot. Posisi pivot adalah nilai 1 pertama sebuah baris pada matriks bentuk eselon baris tereduksi (reduced row echelon form).
• Persamaan $𝐀𝐱=\mathrm{𝟎}$ hanya memiliki solusi trivial, yakni $𝐱=\mathrm{𝟎}$
• Persamaan $𝐀𝐱=𝐛$ tepat memiliki satu solusi, untuk semua $𝐛\in K^n$
• Transformasi linear $𝐱\mapsto 𝐀𝐱$ adalah sebuah bijeksi dari $K^n$ ke $K^n$
• Kernel dari $𝐀$ trivial; dengan kata lain hanya mengandung vektor nol sebagai elemennya, sehingga $\mathrm{Ker}(𝐀)=\{\mathrm{𝟎}\}$
• Determinan dari $𝐀$ sama dengan 0.
• Bilangan 0 bukan nilai eigen dari matriks $𝐀$
• Rank $𝐀$ penuh; dengan kata lain, $\mathrm{Rank}𝐀=n$
• Kolom-kolom dari $𝐀$ saling bebas linear. Ini mengartikan tidak mungkin menyatakan sebuah kolom matriks $𝐀$ sebagai kombinasi penjumlahan kolom-kolom yang lain.
• Span dari kolom-kolom matriks $𝐀$ adalah $K^n$. Artinya, himpunan semua kombinasi linear dari kolom-kolom $𝐀$ akan sama dengan $K^n$
• Ruang kolom dari matriks $𝐀$ adalah $K^n$. Ruang kolom adalah ruang vektor yang dibentuk oleh kolom-kolom matriks $𝐀$
• Kolom-kolom matriks $𝐀$ membentuk sebuah basis bagi $K^n$
• Transpos dari $𝐀$, yakni matriks ${𝐀}^{\text{T}}$ juga terbalikkan. Hal ini mengartikan baris-baris dari matriks $𝐀$ juga memenuhi sifat-sifat yang sama dengan kolom-kolom matriks.
• Matriks $𝐀$ memiliki invers kiri (yakni matriks $𝐁$ sehingga $𝐁𝐀=𝐈$) dan invers kanan (yakni matriks $𝐂$ sehingga $𝐀𝐂=𝐈$). Lebih lanjut, nilai kedua invers tersebut sama, $𝐁=𝐂={𝐀}^{-1}$

Hubungan dengan adjugat

Adjugat dari suatu matriks $𝐀$ dapat digunakan untuk mencari invers dari $𝐀$, dengan menggunakan hubungan:

Jika $𝐀$ memiliki invers, maka

${𝐀}^{-1}=\frac{1}{\det (𝐀)}\mathrm{adj}(𝐀).$

Sifat-sifat lain

Selain sifat-sifat pada bagian-bagian sebelumnya, matriks $𝐀$ berukuran $n\times n$ yang terbalikkan juga memiliki beberapa sifat berikut:

• $({𝐀}^{-1}{)}^{-1}=𝐀$;
• $(k𝐀{)}^{-1}=k^{-1}{𝐀}^{-1}$ untuk sembarang skalar $k$ yang tidak sama dengan 0;
• $({𝐀}^{\text{T}}{)}^{-1}=({𝐀}^{-1}{)}^{\text{T}}$;
• $\det ({𝐀}^{-1})=\frac{1}{\det ({𝐀}^{-1})}$;
• Untuk sembarang matriks $𝐁$ yang dapat dibalik dan yang berukuran sama dengan $𝐀$, akan berlaku $(𝐀𝐁{)}^{-1}={𝐁}^{-1}{𝐀}^{-1}$. Hal ini dapat diperumum untuk kasus matriks-matriks ${𝐀}_1,\dots ,{𝐀}_k$ berukuran $n\times n$ dan dapat dibalik, yang akan memiliki hubungan $$({𝐀}_1{𝐀}_2\cdots {𝐀}_{k-1}{𝐀}_k{)}^{-1}={𝐀}_k^{-1}{𝐀}_{k-1}^{-1}\cdots {𝐀}_2^{-1}{𝐀}_1^{-1}$$
• Jika $𝐀$ memiliki kolom-kolom yang saling ortonormal, maka $(𝐀𝐱{)}^{+}={𝐱}^{+}{𝐀}^{-1}$; dengan ${}^{+}$ menyatakan invers Moore–Penrose dan $𝐱$ adalah vektor;

Pranala luar

• Templat:Springer
• Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas di Google books
• The Matrix Cookbook