Transpos

Matriks A^T sebagai hasil transpos dari A dapat dicari dengan merefleksikan setiap elemennya sepanjang diagonal utamanya. Mengulangi langkah ini pada matriks hasil transpos akan menghasilkan matriks dengan setiap elemen kembali ke posisi awalnya.

Dalam aljabar linear, transpos dari sebuah matriks adalah operator yang membalikkan posisi matriks sepanjang diagonal utamanya; dengan kata lain, operator ini menukar setiap baris dan kolom pada matriks Templat:Math, menjadi kolom dan baris matriks baru, yang umum dikenal sebagai Templat:Math. transpos dari sebuah matriks diperkenalkan pada tahun 1858 oleh matematikawan Inggris Arthur Cayley.

Transpos dari sebuah matriks

Definisi

Transpos dari sebuah matriks Templat:Math, yang dinyatakan sebagai Templat:Math, Templat:Math, Templat:Math, $A^{⊺}$, Templat:Math, Templat:Math, Templat:Math, atau Templat:Math, dapat dibentuk dengan tiga cara berikut:

1. Merefleksikan Templat:Math sepanjang diagonal utamanya untuk mendapatkan Templat:Math;
2. Menulis setiap baris dari Templat:Math sebagai kolom dari Templat:Math;
3. Menulis setiap kolom dari Templat:Math sebagai baris dari Templat:Math.

Secara lebih formal, elemen baris ke-Templat:Mvar dan kolom ke-Templat:Mvar dari Templat:Math adalah elemen baris ke-Templat:Mvar dan kolom ke-Templat:Mvar dari Templat:Math:

${\left[{𝐀}^{\mathrm{T}}\right]}_{ij}={\left[𝐀\right]}_{ji}.$

Jika Templat:Math adalah matriks berukuran Templat:Math, maka matriks Templat:Math berukuran Templat:Math.

Untuk kasus matriks persegi, notasi Templat:Math juga dapat menyatakan pangkat Templat:Math dari matriks Templat:Math. Untuk menghindari kerancuan ini, banyak penulis menggunakan tika atas kiri, yakni, mereka menulis transpos sebagai Templat:Math. Notasi ini menguntungkan karena tanda kurung tidak diperlukan untuk operasi yang melibatkan perpangkatan, karena Templat:Math: menulis Templat:Math tidak menimbulkan kerancuan.

Artikel ini menghindari kerancuan tersebut dengan tidak pernah menggunakan simbol Templat:Math sebagai nama variabel.

Terdapat beberapa definisi matriks yang melibatkan transpos:

Nama matriks	Kondisi	Definisi
Simetrik	${𝐀}^{\mathrm{T}}=𝐀$	Matriks persegi dengan hasil transposnya berupa dirinya sendiri
Skew-symmetric	${𝐀}^{\mathrm{T}}=-𝐀$	Matriks persegi dengan hasil transposnya sama dengan negatif dari dirinya sendiri
Hermite	${𝐀}^{\mathrm{T}}=\overline{𝐀}$	Matriks persegi dengan setiap elemen hasil transposnya adalah konjugat kompleks dari elemen pada posisi yang sama. Hal ini sama dengan mengatakan matriks persegi tersebut sama dengan transpos konjugatnya.
Ortogonal	${𝐀}^{\mathrm{T}}={𝐀}^{-1}$	Matriks persegi dengan hasil transposnya sama dengan invers dirinya sendiri
Uniter	${𝐀}^{\mathrm{T}}=\overline{{𝐀}^{-1}}$	Matriks persegi dengan hasil transposnya sama dengan invers konjugat dari dirinya sendiri.

Contoh

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]$

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$

Sifat

Misal Templat:Math dan Templat:Math adalah matriks dan Templat:Mvar adalah sebuah skalar. Berikut adalah beberapa sifat dari operator transpos:Templat:Ordered list

Hasil kali

Jika matriks Templat:Math berukuran Templat:Math dan Templat:Math adalah transposnya, maka hasil perkalian matriks antara keduanya menghasilkan dua matriks persegi: Templat:Math yang berukuran Templat:Math dan Templat:Math yang berukuran Templat:Math. Lebih lanjut, kedua matriks ini simetrik. Elemen-elemen pada hasil perkalian matriks Templat:Math adalah hasil kali dalam baris dari Templat:Math dengan kolom dari Templat:Math. Namun karena kolom pada Templat:Math adalah baris pada Templat:Math, setiap elemen di Templat:Math adalah hasil kali dalam dua baris matriks Templat:Math. Jika Templat:Mvar adalah elemen di matriks hasil perkalian, nilainya berasal dari baris ke-Templat:Mvar dan ke-Templat:Mvar di Templat:Math. Nilai elemen Templat:Mvar juga didapatkan dari kedua baris yang sama, sehingga Templat:Math, dan menyebabkan Templat:Math simetris. Dengan alasan yang serupa, hasil perkalian Templat:Math juga matriks simetris.

Bukti yang lebih cepat mengenai kesimetrisan matriks Templat:Math didapatkan dari fakta transpos matriks tersebut adalah dirinya sendiri:

${\left(𝐀{𝐀}^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{T}}={\left({𝐀}^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{T}}{𝐀}^{\mathrm{T}}=𝐀{𝐀}^{\mathrm{T}}.$

Implementasi transpos matriks di komputer

Ilustrasi dua cara mengakses matriks di memori komputer.

Di komputer, kita dapat menghindari melakukan transpos matriks secara eksplisit di memori cukup dengan mengakses data dalam urutan yang berbeda. Sebagai contoh, pustaka untuk aljabar linear, seperti BLAS, umumnya menyediakan pilihan untuk menyatakan sebuah matriks perlu dibaca dalam urutan operasi transpos, untuk menghindari perpindahan data yang tidak diperlukan.

Namun, ada beberapa keadaan yang mengharuskan atau menguntungkan untuk melakukan transpos matriks secara eksplisit di memori. Sebagai contoh, matriks yang disimpan dalam row-major order, memiliki baris matriks yang contiguous di memori, namun kolom matriksnya tidak. Jika matriks banyak melakukan operasi yang melibat kolom-kolom, sebagai contoh algoritme transformasi Fourier cepat, melakukan transpos matriks agar kolom-kolomnya contiguous mungkin dapat meningkatkan peformanya karena memory locality yang tinggi.

Idealnya, kita mengharapkan operasi transpos dilakukan dengan menggunakan penyimpanan sementara yang sedikit. Hal ini berujung pada permasalahan melakukan transpos matriks berukuran n × m in-place, dengan O(1) penyimpanan sementara yang jauh lebih kecil daripada mn. Pada kasus n ≠ m, hal ini melibatkan permutasi elemen-elemen matriks yang rumit dan tidak mudah diterapkan secara in-place. Karena hal itu, metode transpos matriks in-place yang efisien banyak diteliti pada bidang ilmu komputer mulai pada akhir tahun 1950-an. Beberapa algoritme telah dikembangkan dalam hal tersebut.

Daftar pustaka

• Templat:Bourbaki Algebra I Chapters 1-3 Springer
• Templat:Citation.
• Templat:Cite book
• Templat:Schaefer Wolff Topological Vector Spaces
• Templat:Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels
• Templat:Cite book

Pranala luar

• Gilbert Strang (Spring 2010) Linear Algebra dari MIT Open Courseware