Matriks normal

Dalam matematika, suatu matriks persegi $𝐀$ dengan entri-entri kompleks dikatakan normal jika ia bersifat komutatif atas perkalian matriks dengan transpos konjugat ${𝐀}^{\ast }$; secara matematis dinyatakan sebagai ${𝐀𝐀}^{\ast }={𝐀}^{\ast }𝐀$. Konsep dari matriks normal dapat diperumum menjadi operator normal di ruang vektor bernorma berdimensi tak hingga, dan elemen normal di aljabar C*.

Definisi

Ada banyak cara yang ekuivalen untuk mendefinisikan matriks normal. Misalkan $𝐀$ adalah matriks kompleks berukuran $n\times n$, pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

1. $𝐀$ adalah matriks normal.
2. $𝐀$ dapat diagonalkan oleh suatu matriks uniter.
3. Ada suatu himpun vektor-vektor eigen dari $𝐀$ yang membangun basis ortonormal bagi ${ℂ}^n$.
4. $\Vert A𝐱\Vert =\Vert A^{\ast }𝐱\Vert$ untuk sembarang Templat:Math.
5. Norma Frobenius dari $𝐀$ dapat dihitung dari nilai-nilai eigen $𝐀$, yakni $\mathrm{tr}\left(A^{\ast }A\right)={\sum }_j{\left|{\lambda }_j\right|}^2$.
6. Bagian Hermite $\frac{1}{2}(𝐀+{𝐀}^{\ast })$ dan bagian skew-Hermitian $\frac{1}{2}(𝐀-{𝐀}^{\ast })$ dari $𝐀$ saling komutatif.
7. ${𝐀}^{\ast }$ suatu polinomial (dengan derajat maksimum $n-1$) dalam $𝐀$.
8. ${𝐀}^{\ast }=𝐀𝐔$ untuk suatu matriks uniter ${𝐀}^{\ast }=𝐀𝐔$.
9. $𝐔$ dan $𝐏$ saling komutatif, yang mengartikan kita memiliki dekomposisi kutub $𝐀=𝐔𝐏$ dengan suatu matriks uniter $𝐔$ dan suatu matriks semidefinit positif $𝐏$.
10. $𝐀$ saling komutatif dengan suatu matriks normal $𝐍$ yang nilai-nilai eigennya yang unik.
11. ${\sigma }_i=|{\lambda }_i|$ untuk semua $1\le i\le n$, dengan ${\sigma }_1\ge \dots \ge {\sigma }_n$ dan $|{\lambda }_1|\ge \dots \ge |{\lambda }_n|$ masing-masing adalah nilai-nilai singular dan nilai-nilai eigen dari $𝐀$.

Kasus khusus

Di antara matriks-matriks kompleks, semua matriks uniter, Hermite, dan skew-Hermitian bersifat normal. Serupa dengan itu, di antara matriks-matriks real, semua matriks ortogonal, simetrik, dan skew-symmetric bersifat normal. Namun, tidak semua matriks normal merupakan matriks uniter atau (skew-)Hermite. sebagai contoh,

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right]$

tidak uniter, Hermite, maupun skew-Hermitian, namun merupakan matriks normal karena

$A{A}^{\ast }=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right]=A^{\ast }A.$

Sumber

• Templat:Citation.
• Templat:Cite book

Templat:Math-stub