Ruang metrik lengkap

Templat:Short description Templat:Redirect Dalam analisis matematika, sebuah ruang metrik Templat:Mvar disebut lengkap (atau ruang Cauchy) jika setiap barisan Cauchy dari titik-titik di Templat:Mvar memiliki limit yang juga ada di Templat:Mvar atau, sebagai alternatif, jika setiap barisan Cauchy pada Templat:Mvar dengan Templat:Mvar.

Secara intuitif, suatu ruang dikatakan "lengkap" apabila tidak ada "titik yang hilang" darinya (di dalam atau di perbatasan). Misalnya, himpunan bilangan rasional tidak lengkap, karena, sebagai contoh, $\sqrt{2}$ adalah "hilang" darinya, meskipun seseorang dapat membangun suatu barisan Cauchy dari bilangan rasional yang konvergen menuju $\sqrt{2}$ itu (lihat contoh lebih lanjut di bawah). "Semua lubang" pada ruang tak lengkap itu akan selalu dapat diisi, yakni dengan membangun suatu "pelengkap" dari ruang tersebut, seperti yang dijelaskan di bawah ini.

Definisi

Suatu barisan Templat:Math dalam ruang metrik Templat:Math disebut Cauchy apabila untuk setiap positif bilangan riil Templat:Math ada bilangan bulat Templat:Mvar positif sedemikian sehingga untuk semua bilangan bulat positif Templat:Math,

Templat:Math.

Konstanta ekspansi dari suatu ruang metrik adalah batas bawah terbesar dari semua konstanta $\mu$ sedemikian sehingga apabila keluarga$\{\bar{B}(x_{\alpha },r_{\alpha })\}$ saling berisisan pasang-demi-pasang, maka irisan $\bigcap _{\alpha }\bar{B}(x_{\alpha },\mu r_{\alpha })$ tidak kosong.

Ruang metrik Templat:Math dikatan lengkap apabila salah satu kondisi yang setara berikut terpenuhi:

1. Setiap barisan Cauchy dari titik-titik diTemplat:Mvar memiliki limit yang juga ada diTemplat:Mvar
2. Setiap barisan Cauchy di Templat:Mvar konvergen menujuTemplat:Mvar (yaitu, ke beberapa titik Templat:Mvar).
3. Konstanta ekspansi Templat:Math adalah ≤ 2.
4. Setiap barisan menurun dari himpunan bagian tertutup tak kosong ditutup dari Templat:Mvar, dengan diameter cenderung ke 0, memiliki irisan tak kosong: jika Templat:Math tertutup dan tidak kosong, Templat:Math untuk Templat:Mvar, dan Templat:Math, maka Templat:Math umum untuk semua himpunan Templat:Math.

Contoh

Ruang Q dari bilangan rasional dengan metrik standar yang diberikan oleh nilai mutlak dari selisih bukanlah ruang metrik lengkap. Sebagai contoh, perhatikan barisan dengan Templat:Math dan $x_{n+1}=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}.$ Barisan ini adalah barisan bilangan rasional Cauchy, tetapi tidak konvergen menuju limit rasional apa pun: Jika deret itu memang memiliki limitTemplat:Mvar, maka dengan menyelesaikan $x=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}$, haruslah x² = 2, namun tiada bilangan rasional yang memiliki sifat ini. Namun jika barisan tersebut dianggap sebagai barisan bilangan riil, maka barisan itu konvergen ke bilangan irasional $\sqrt{2}$.

Interval buka Templat:Buka-buka, pun dengan metrik nilai mutlak, juga bukan ruang metrik lengkap. Barisan dengan Templat:Math = Templat:Sfrac adalah barisan Cauchy, tetapi tidak memiliki limit dalam ruang yang diberikan. Namun pada interval tertutup [[interval unit|Templat:Tutup-tutup]]; barisan tersebut memiliki limit dalam interval ini dan limitnya adalah nol.

Ruang R dari bilangan real dan spasi C dari bilangan kompleks (dengan metrik yang diberikan oleh nilai absolut) lengkap, dan begitu pula ruang Euklides Rⁿ, dengan metrik jarak biasa. Sebaliknya, ruang vektor bernorma berdimensi tak hingga mungkin lengkap atau tidak lengkap; yang lengkap adalah ruang Banach. Ruang CTemplat:Tutup-tutup dari fungsi bernilai riil kontinu pada interval tertutup dan terbatas adalah ruang Banach, dan ruang metrik kompleks. Namun norma supremum tidak memberikan norma pada ruang CTemplat:Buka-buka fungsi kontinu Templat:Buka-buka, karena mungkin berisi fungsi tak terbatas. Sebaliknya, dengan topologi konvergensi komplek, CTemplat:Buka-buka dapat diberikan struktur Ruang Fréchet: ruang vektor topologi cembung lokal yang topologinya dapat diinduksi oleh metrik invarian-translasi lengkap.

Ruang Q_p of bilangan p-adic selesai untuk semua bilangan prima Templat:Mvar. Ruang ini melengkapi Q dengan p -metrik adic dengan cara yang sama seperti R melengkapi Q dengan metrik biasa.

Jika Templat:Mvar adalah himpunan arbitrer, maka himpunan tersebut Templat:Math dari semua barisan di Templat:Mvar menjadi ruang metrik lengkap jika kita menentukan jarak antara barisan Templat:Math dan Templat:Math menjadi Templat:Math, dengan Templat:Mvar adalah indeks terkecilnya Templat:Math adalah berbeda dari Templat:Math, atau Templat:Math jika tidak ada indeks seperti itu. Spasi ini homeomorfik ke produk dari terhitung jumlah salinan ruang diskrit Templat:Mvar.

Manifold Riemannian kompleks disebut manifold geodesik; kelengkapan mengikuti dari teorema Hopf–Rinow.

Beberapa teorema

Setiap ruang metrik kompak merupakan ruang metrik lengkap, meskipun ruang lengkap belum perlu kompak. Faktanya, ruang metrik kompak jika dan hanya jika lengkap dan terbatas total. Ini adalah perumuman dari Teorema Heine–Borel, yang menyatakan bahwa setiap subruang tertutup dan berbatas Templat:Mvar dari Rⁿ kompleks dan karena itu lengkap.

Maka Templat:Math menjadi ruang metrik lengkap. Jika Templat:Math adalah himpunan tertutup, maka Templat:Mvar. Maka Templat:Math menjadi ruang metrik. Jika Templat:Math adalah subruang kompleks, maka Templat:Mvar tertutup.

Jika Templat:Mvar adalah himpunan dan Templat:Mvar adalah ruang metrik lengkap, maka himpunan Templat:Math dari semua fungsi terbatas f dari Templat:Mvar hingga Templat:Mvar adalah ruang metrik lengkap. Di sini kami mendefinisikan jarak dalam Templat:Math dalam hal jarak di Templat:Mvar dengan norma supremum

$d(f,g)\equiv \sup \{d[f(x),g(x)]:x\in X\}$

Jika Templat:Mvar adalah ruang topologi dan Templat:Mvar adalah ruang metrik lengkap, maka himpunan Templat:Math terdiri dari semua kontinu fungsi yang dibatasi Templat:Mvar dari Templat:Mvar hingga Templat:Mvar adalah subruang tertutup dari {{math|B(X, M).

Teorema kategori Baire mengatakan bahwa setiap ruang metrik lengkap adalah ruang Baire. Yaitu, gabungan dari terhitung banyak tempat padat himpunan bagian ruang memiliki interior kosong.

Teorema titik tetap Banach menyatakan bahwa pemetaan kontraksi pada ruang metrik lengkap mengakui titik tetap. Teorema titik tetap sering digunakan untuk membuktikan teorema fungsi invers.

Pelengkap

Untuk setiap ruang metrik M , seseorang dapat membuat ruang metrik lengkap M ′ (yang juga dilambangkan sebagai Templat:Overline), yang berisi M sebagai subruang padat. Ini memiliki sifat universal berikut: jika N adalah spasi metrik lengkap dan f adalah fungsi kontinu seragam dari M hingga N , maka ada tunggal fungsi kontinu seragam f ' dari M ′ ke N. Ruang M 'ditentukan hingga isometri oleh sifat ini (di antara semua ruang metrik lengkap yang secara isometrik mengandung M), dan disebut pelengkap dari M.

Pelengkap M dapat dibangun sebagai satu set kelas ekivalen dari barisan Cauchy di M . Untuk dua barisan Cauchy x = (x_n) dan y = (y_n) di M , kita dapat mendefinisikan jarak mereka sebagai

$d(x,y)=\underset{n}{\lim }d(x_n,y_n)$

(Batas ini ada karena bilangan real lengkap.) Ini hanya pseudometrik, belum menjadi metrik, karena dua barisan Cauchy yang berbeda mungkin memiliki jarak 0. Tapi "memiliki jarak 0" adalah relasi ekuivalen pada himpunan semua barisan Cauchy, dan himpunan kelas kesetaraan adalah ruang metrik, pelengkap dari M . Ruang asli disematkan di ruang ini melalui identifikasi elemen x dari M ' dengan kelas ekivalen barisan dalam M yang menyatu dengan x (yaitu, kelas ekivalen yang berisi barisan dengan nilai konstan x ). Ini mendefinisikan isometri ke subruang padat, seperti yang diperlukan. Perhatikan, bagaimanapun, bahwa konstruksi ini menggunakan secara eksplisit kelengkapan bilangan real, jadi pelengkap bilangan rasional membutuhkan perlakuan sedikit berbeda.

Lihat pula

• Pelengkap (aljabar)
• Templat:Annotated link
• Templat:Annotated link
• Teorema Knaster–Tarski

Referensi

• Templat:Cite book
• Kreyszig, Erwin, Introductory functional analysis with applications (Wiley, New York, 1978). Templat:ISBN
• Lang, Serge, "Real and Functional Analysis" Templat:ISBN
• Templat:Cite book