Ruang kompak

Berdasarkan kriteria kekompakan ruang Euklides, seperti yang dinyatakan dalam teorema Heine–Borel, interval Templat:Math bukan kompak sebab tidak ada batasnya. Interval Templat:Math bukan kompak karena interval tersebut tidak tertutup. Sedangkan interval Templat:Math kompak sebab intervalnya tertutup dan terbatas.

Dalam matematika, khususnya topologi umum, kekompakan (Templat:Lang-en) adalah sifat yang memperumum gagasan subhimpunan tertutup dan subhimpunan terbatas dari ruang Euklides. Gagasan tersebut dapat menjadi presisi dengan mengatakan tak ada "bulatan kosong" atau "titik akhir yang hilang" di dalam suatu ruang, dalam artian bahwa harus ada nilai limit dari titik di ruang. Sebagai contoh, interval Templat:Math bukan kompak sebab interval tersebut tidak punya nilai limit dari 0 dan 1, sedangkan Templat:Math kompak sebab mempunyai nilai limit dari 0 dan 1. Dengan cara yang serupa, ruang bilangan rasional $\mathbb{Q}$ bukan kompak sebab ada bulatan kosong yang tak berhingga banyaknya nilai-nilai limit dari bilangan irasional. Ruang bilangan real $ℝ$ bukan kompak sebab tidak mempunyai nilai limit dari $+\mathrm{\infty }$ dan $-\mathrm{\infty }$, tetapi garis bilangan real yang diperluas adalah kompak sebab mengandung nilai limit dari tak terhingga.

Definisi

Definisi sampul terbuka

Secara formal, ruang topologi Templat:Mvar disebut kompak jika masing-masing sampul terbuka memiliki sub-sampul terhingga. Ini mengartikan bahwa Templat:Mvar kompak jika untuk setiap koleksi Templat:Mvar dari subhimpunan dari Templat:Mvar sehingga

$X=\bigcup _{x\in C}x$,

akan ada subhimpunan terhingga Templat:Mvar dari Templat:Mvar sedemikian rupa sehingga

$X=\bigcup _{x\in F}x.$

Kekompakan himpunan bagian

Subhimpunan Templat:Mvar dari ruang topologis Templat:Mvar dikatakan kompak jika subhimpunan itu kompak sebagai subruang (dalam subruang topologi). Ini mengartikan bahwa Templat:Mvar adalah kompak jika untuk setiap koleksi sebarang Templat:Mvar dari subhimpunan terbuka dari Templat:Mvar sehingga

$K\subseteq \bigcup _{c\in C}c$,

akan ada subhimpunan terhinggaTemplat:Mvar dariTemplat:Mvar sedemikian rupa sehingga

$K\subseteq \bigcup _{c\in F}c$.

Kekompakan merupakan sifat "topologis". Ini mengaritkan bahwa jika $K\subset Z\subset Y$, dengan subhimpunan Templat:Mvar dilengkapi dengan topologi subruang, maka Templat:Mvar kompak di Templat:Mvar jika dan hanya jika Templat:Mvar kompak di Templat:Mvar.

Bibiliografi

• Templat:Citation.
• Templat:Citation.
• Templat:Springer.
• Templat:Citation (Purely analytic proof of the theorem that between any two values which give results of opposite sign, there lies at least one real root of the equation).
• Templat:Citation
• Templat:Citation.