Ruang Banach

Dalam matematika, lebih khusus lagi dalam analisis fungsional, Ruang Banach adalah ruang vektor bernorma lengkap. Jadi, ruang Banach adalah ruang vektor dengan metrik yang memungkinkan penghitungan panjang vektor dan jarak antara vektor dan lengkap dalam arti bahwa barisan Cauchy vektor selalu konvergen ke limit yang didefinisikan dengan baik yang ada di dalam ruang.

Spasi Banach dinamai menurut ahli matematika Polandia Stefan Banach, yang memperkenalkan konsep ini dan mempelajarinya secara sistematis pada 1920–1922 bersama dengan Hans Hahn dan Eduard Helly.^[1] Maurice René Fréchet adalah orang pertama yang menggunakan istilah "ruang Banach" dan Banach pada gilirannya kemudian menciptakan istilah "Ruang Fréchet."Templat:Sfn Ruang Banach awalnya tumbuh dari studi ruang fungsi oleh Hilbert, Fréchet, and Riesz di awal abad ini. Ruang Banach memainkan peran sentral dalam analisis fungsional. Di bidang lain analisis, ruang yang diteliti sering kali merupakan ruang Banach.

Basis Schauder

Templat:Main

Basis Schauder dalam ruang Banach Templat:Mvar adalah urutan Templat:Math vektor di X dengan properti untuk setiap vektor Templat:Mvar di Templat:Mvar, ada skalar yang didefinisikan secara unik Templat:Math tergantung pada Templat:Mvar, seperti itu

x = \sum_{n = 0}^{\infty} x_{n} e_{n}, yaitu x = \lim_{n} P_{n} (x), P_{n} (x) : = \sum_{k = 0}^{n} x_{k} e_{k} .

Ruang banach dengan basis Schauder harus dapat dipisahkan, karena himpunan kombinasi linier hingga yang dapat dihitung dengan koefisien rasional (katakanlah) padat.

Ini mengikuti dari Teorema Banach–Steinhaus bahwa pemetaan linier Templat:Mathsecara seragam dibatasi oleh beberapa konstanta Templat:Mvar. Maka Templat:Math menunjukkan fungsi koordinat yang menetapkan ke setiap Templat:Mvar di Templat:Mvar koordinat Templat:Math dari Templat:Mvar dalam ekspansi di atas. Mereka disebut fungsi biorthogonal. Ketika vektor basis memiliki norma Templat:Math, koordinat berfungsi Templat:Math bersila Templat:Math di rangkap dua dari Templat:Mvar.

Sebagian besar ruang terpisah klasik memiliki basis eksplisit. Sistem Haar Templat:Math adalah dasar untuk Templat:Math. sistem trigonometri adalah basis dalam Templat:Math adalah Templat:Math. Sistem Schauder adalah dasar di ruang Templat:Math.^[2] Pertanyaan apakah aljabar disk Templat:Math berdasar^[3] tetap terbuka selama lebih dari empat puluh tahun, sampai Bočkarev menunjukkan pada tahun 1974 bahwa Templat:Math mengakui dasar yang dibangun dari Sistem Franklin.^[4]

Karena setiap vektor Templat:Mvar dalam ruang Banach Templat:Mvar dengan basis adalah batas dari Templat:Math, dengan Templat:Math dari pangkat hingga dan berbatas seragam, spasi Templat:Mvar memenuhi properti aproksimasi terbatas. Contoh pertama oleh Enflo dari spasi yang gagal properti aproksimasi adalah pada saat yang sama contoh pertama dari spasi Banach yang dapat dipisahkan tanpa basis Schauder.^[5]

Robert C. James mencirikan refleksivitas di ruang Banach dengan dasar: ruang Templat:Mvar dengan basis Schauder bersifat refleksif jika dan hanya jika basisnya adalah menyusut dan lengkap terbatas.^[6] Dalam hal ini, fungsi biorthogonal membentuk dasar dari rangkap Templat:Mvar.

Produk Tensor

Templat:Main

Misalkan Templat:Mvar dan Templat:Mvar menjadi dua ruang vektor-Templat:Math. Produk tensor Templat:Math dari Templat:Mvar dan Templat:Mvar adalah ruang vektor-Templat:Math dengan Templat:Mvar dengan pemetaan bilinear Templat:Math yang memiliki sifat universal berikut:

Jika Templat:Math adalah setiap pemetaan bilinear menjadi a ruang vektor-Templat:Math pada Templat:Math, lalu ada pemetaan linear yang unik Templat:Math dirumu Templat:Math.

Gambar di bawah Templat:Mvar pasangan Templat:Math pada Templat:Math dilambangkan dengan Templat:Math, dan disebut tensor sederhana. Setiap elemen Templat:Mvar dengan Templat:Math adalah jumlah terbatas tensor sederhana tersebut.

Ada berbagai norma yang dapat ditempatkan pada hasil kali tensor ruang vektor yang mendasarinya, antara lain norma silang proyektif dan norma silang injeksi yang diperkenalkan oleh A. Grothendieck pada tahun 1955.^[7]

Secara umum, hasil kali tensor ruang komplek tidak kompleks lagi. Saat bekerja dengan ruang Banach, biasanya dikatakan bahwa produk tensor proyektif^[8] dari dua ruang Banach Templat:Mvar dan Templat:Mvar adalah penyelesaian $X {\hat{\otimes}}_{π} Y$ dari hasil kali tensor aljabar Templat:Math dilengkapi dengan norma tensor proyektif, dan juga untuk produk tensor injektor ^[9] $X {\hat{\otimes}}_{ε} Y$ . Grothendieck secara khusus membuktikan bahwa^[10]

\begin{matrix} C (K) {\hat{\otimes}}_{ε} Y & ≃ C (K, Y), \\ L^{1} ([0, 1]) {\hat{\otimes}}_{π} Y & ≃ L^{1} ([0, 1], Y), \end{matrix}

di mana Templat:Mvar adalah ruang Hausdorff yang padat, Templat:Math ruang Banach fungsi kontinu dari Templat:Mvar ke Templat:Mvar dan Templat:Math ruang fungsi yang dapat diukur dan diintegrasikan Bochner dari Templat:Math hingga Templat:Mvar, dan di mana isomorfisme adalah isometrik. Dua isomorfisme di atas adalah ekstensi masing-masing dari peta yang mengirimkan tensor Templat:Math to the vector-valued function Templat:Math.

Produk Tensor dan properti aproksimasi

Misalkan Templat:Mvar menjadi spasi Banach. Produk tensor $X^{'} {\hat{\otimes}}_{ε} X$ diidentifikasi secara isometrik dengan penutupan di Templat:Math dari himpunan operator peringkat terbatas. Jika Templat:Mvar memiliki properti aproksimasi, penutupan ini bertepatan dengan spasi operator kompak pada Templat:Mvar.

Untuk setiap ruang Banach Templat:Mvar, ada norma alami Templat:Math peta linear

Y {\hat{\otimes}}_{π} X \to Y {\hat{\otimes}}_{ε} X

diperoleh dengan memperluas peta identitas produk tensor aljabar. Grothendieck menghubungkan masalah perkiraan dengan pertanyaan apakah peta ini satu-ke-satu jika Templat:Mvar adalah rangkap dari Templat:Mvar. Tepatnya, untuk setiap ruang Banach Templat:Mvar, peta

X^{'} {\hat{\otimes}}_{π} X ⟶ X^{'} {\hat{\otimes}}_{ε} X

bersifat satu-ke-satu jika dan hanya jika Templat:Mvar memiliki properti aproksimasi.^[11]

Grothendieck menduga bahwa $X {\hat{\otimes}}_{π} Y$ dan $X {\hat{\otimes}}_{ε} Y$ harus berbeda Templat:Mvar dan Templat:Mvar adalah ruang Banach berdimensi tak hingga. Hal ini dibantah oleh Gilles Pisier pada tahun 1983.^[12] Pisier membangun ruang Banach berdimensi tak hingga Templat:Mvar maka $X {\hat{\otimes}}_{π} X$ and $X {\hat{\otimes}}_{ε} X$ adalah sama. Lebih lanjut, seperti contoh Enflo's, spasi ini Templat:Mvar adalah ruang "buatan tangan" yang gagal memiliki properti aproksimasi. Di sisi lain, Szankowski membuktikan bahwa ruang klasik Templat:Math tidak memiliki properti aproksimasi.^[13]

Beberapa hasil klasifikasi

Penokohan ruang Hilbert di antara ruang Banach

Kondisi yang diperlukan dan cukup agar norma spasi Banach Templat:Mvar dikaitkan dengan hasil kali dalam adalah identitas jajaran genjang:

\forall x, y \in X : ‖ x + y ‖^{2} + ‖ x - y ‖^{2} = 2 (‖ x ‖^{2} + ‖ y ‖^{2}) .

Ini mengikuti, misalnya, bahwa ruang Lebesgue Templat:Math adalah ruang Hilbert hanya jika Templat:Math. Jika identitas ini terpenuhi, produk dalam terkait diberikan oleh identitas polarisasi. Dalam kasus skalar nyata, ini memberikan:

⟨ x, y ⟩ = \frac{1}{4} (‖ x + y ‖^{2} - ‖ x - y ‖^{2}) .

Untuk skalar kompleks, tentukan produk dalam Templat:Math-linear di Templat:Mvar, antilinear di Templat:Mvar, identitas polarisasi dirumuskan:

⟨ x, y ⟩ = \frac{1}{4} (‖ x + y ‖^{2} - ‖ x - y ‖^{2} + i (‖ x + i y ‖^{2} - ‖ x - i y ‖^{2})) .

Untuk melihat bahwa hukum jajaran genjang cukup, kita mengamati dalam kasus nyata bahwa Templat:Math adalah simetris, dan dalam kasus yang kompleks, ia memenuhi properti Simetri Hermitian dan Templat:Math. Hukum jajaran genjang menyiratkan bahwa Templat:Math adalah aditif di Templat:Mvar. Oleh karena itu, ia linier di atas rasio, sehingga linier oleh kontinuitas.

Beberapa karakterisasi ruang isomorfik (bukan isometrik) ke ruang Hilbert tersedia. Hukum jajaran genjang dapat diperpanjang hingga lebih dari dua vektor, dan diperlemah dengan diperkenalkannya pertidaksamaan dua sisi dengan konstanta Templat:Math: Kwapień membuktikan bahwa jika

c^{- 2} \sum_{k = 1}^{n} {‖ x_{k} ‖}^{2} \leq {Ave}_{\pm} {‖ \sum_{k = 1}^{n} \pm x_{k} ‖}^{2} \leq c^{2} \sum_{k = 1}^{n} {‖ x_{k} ‖}^{2}

untuk bilangan bulat Templat:Mvar dan semua famili vektor Templat:Math, maka ruang Banach Templat:Mvar isomorfik ke ruang Hilbert.^[14] Maka, Templat:Math menunjukkan rata-rata selama Templat:Math kemungkinan pilihan tanda Templat:Math. Dalam artikel yang sama, Kwapień membuktikan bahwa validitas Teorema Parseval yang bernilai Banach untuk transformasi Fourier mencirikan ruang Banach isomorfik ke ruang Hilbert.

Lindenstrauss dan Tzafriri membuktikan bahwa ruang Banach di mana setiap subruang linier tertutup saling melengkapi (yaitu, kisaran proyeksi linier yang dibatasi) isomorfik ke ruang Hilbert.^[15] Buktinya bersandar pada Teorema Dvoretzky tentang penampang Euklides benda cembung simetris terpusat berdimensi tinggi. Dengan kata lain, teorema Dvoretzky menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat Templat:Mvar, setiap ruang bernorma berdimensi-hingga, dengan dimensi yang cukup besar dibandingkan dengan Templat:Mvar, berisi subruang yang hampir isometrik dengan ruang Euklides berdimensi Templat:Mvar.

Klasifikasi metrik

Jika $T : X \to Y$ adalah isometri dari ruang Banach $X$ ke ruang Banach $Y$ (dengan $X$ dan $Y$ adalah ruang vektor berakhir $𝐑$ ), lalu Teorema Mazur-Ulam menyatakan bahwa $T$ harus berupa transformasi affine. Secara khusus, jika $T (0_{X}) = 0_{Y}$ , ini $T$ memetakan nol dari $X$ ke nol dari $Y$ , kemudian $T$ harus linear. Hasil ini menyiratkan bahwa metrik dalam ruang Banach, dan lebih umum lagi dalam ruang bernorma, sepenuhnya menangkap struktur liniernya.

Klasifikasi topologi

Ruang Banach berdimensi hingga bersifat homeomorfik sebagai ruang topologi, jika dan hanya jika memiliki dimensi yang sama dengan ruang vektor nyata.

Teorema Anderson–Kadec (1965–66) proves^[16] that any two infinite-dimensional separable Banach spaces are homeomorphic as topological spaces. Kadec's theorem was extended by Torunczyk, who proved^[17] bahwa dua ruang Banach bersifat homeomorfik jika dan hanya jika keduanya memiliki karakter kerapatan yang sama, kardinalitas minimum dari himpunan bagian padat.

Contoh

Templat:Main Glosarium simbol:

Templat:Math;
Templat:Mvar adalah ruang Hausdorff komplek;
Templat:Mvar adalah interval tertutup dan berbatas Templat:Math;
Templat:Math adalah bilangan riil dengan Templat:Math maka Templat:Math
Templat:Math adalah aljabar sigma dari himpunan;
Templat:Math adalah aljabar himpunan (untuk spasi yang hanya memerlukan aditif hingga, seperti ruang ba);
Templat:Mvar adalah ukuran dengan variasi Templat:Math.

	Ruang ganda	Refleksif	selesai secara berurutan lemah	Norma	Catatan
Classical Banach spaces
[[Ruang Euklides\|Templat:Math]]	Templat:Math	Templat:Yes	Templat:Yes	$‖ x ‖_{2} = {(\sum_{i = 1}^{n} \| x_{i} \|^{2})}^{1 / 2}$	Ruang Euklides
[[Ruang Lp\|Templat:Math]]	Templat:Math	Templat:Yes	Templat:Yes	$‖ x ‖_{p} = {(\sum_{i = 1}^{n} \| x_{i} \|^{p})}^{\frac{1}{p}}$
[[Ruang Lp\|Templat:Math]]	Templat:Math	Templat:Yes	Templat:Yes	$‖ x ‖_{\infty} = \max \nolimits_{1 \leq i \leq n} \| x_{i} \|$
[[Ruang Lp\|Templat:Math]]	Templat:Math	Templat:Yes	Templat:Yes	$‖ x ‖_{p} = {(\sum_{i = 1}^{\infty} \| x_{i} \|^{p})}^{\frac{1}{p}}$
[[Ruang Lp\|Templat:Math]]	Templat:Math	Templat:No	Templat:Yes	$‖ x ‖_{1} = \sum_{i = 1}^{\infty} \| x_{i} \|$
[[L-tak hingga\|Templat:Math]]	[[ba space\|Templat:Math]]	Templat:No	Templat:No	$‖ x ‖_{\infty} = \sup \nolimits_{i} \| x_{i} \|$
[[ruang c\|Templat:Mvar]]	Templat:Math	Templat:No	Templat:No	$‖ x ‖_{\infty} = \sup \nolimits_{i} \| x_{i} \|$
[[Ruang urutan (matematika)\|Templat:Math]]	Templat:Math	Templat:No	Templat:No	$‖ x ‖_{\infty} = \sup \nolimits_{i} \| x_{i} \|$	Isomorfik tetapi bukan isometrik ke Templat:Mvar.
[[ruang bv\|Templat:Math]]	Templat:Math	Templat:No	Templat:Yes	$‖ x ‖_{b v} = \| x_{1} \| + \sum_{i = 1}^{\infty} \| x_{i + 1} - x_{i} \|$	Isometrik isomorfik ke Templat:Math.
[[ruang bv\|Templat:Math]]	Templat:Math	Templat:No	Templat:Yes	$‖ x ‖_{b v_{0}} = \sum_{i = 1}^{\infty} \| x_{i + 1} - x_{i} \|$	Templat:Math.
[[ruang bs\|Templat:Math]]	[[ruang ba\|Templat:Math]]	Templat:No	Templat:No	$‖ x ‖_{b s} = \sup \nolimits_{n} \| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \|$	Isometrically isomorphic to Templat:Math.
[[bs space\|Templat:Math]]	Templat:Math	Templat:No	Templat:No	$‖ x ‖_{b s} = \sup \nolimits_{n} \| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \|$	Isometrically isomorphic to [[c space\|Templat:Mvar]].
[[ba space\|Templat:Math]]	[[ba space\|Templat:Math]]	Templat:No	Templat:No	$‖ f ‖_{B} = \sup \nolimits_{x \in X} \| f (x) \|$
[[Continuous functions on a compact Hausdorff space\|Templat:Math]]	[[ba space\|Templat:Math]]	Templat:No	Templat:No	$‖ x ‖_{C (X)} = \max \nolimits_{x \in X} \| f (x) \|$
[[ba space\|Templat:Math]]	?	Templat:No	Templat:Yes	$‖ μ ‖_{b a} = \sup \nolimits_{A \in Σ} \| μ \| (A)$
[[ba space\|Templat:Math]]	?	Templat:No	Templat:Yes	$‖ μ ‖_{b a} = \sup \nolimits_{A \in Σ} \| μ \| (A)$	A closed subspace of Templat:Math.
[[ba space\|Templat:Math]]	?	Templat:No	Templat:Yes	$‖ μ ‖_{b a} = \sup \nolimits_{A \in Σ} \| μ \| (A)$	A closed subspace of Templat:Math.
[[Lp space\|Templat:Math]]	Templat:Math	Templat:Yes	Templat:Yes	$‖ f ‖_{p} = {(\int \| f \|^{p} d μ)}^{\frac{1}{p}}$
[[Lp space\|Templat:Math]]	Templat:Math	Templat:No	Templat:Yes	$‖ f ‖_{1} = \int \| f \| d μ$	The dual is Templat:Math if Templat:Mvar is [[σ-finite measure\|Templat:Mvar-finite]].
[[Bounded variation\|Templat:Math]]	?	Templat:No	Templat:Yes	$‖ f ‖_{B V} = V_{f} (I) + \lim \nolimits_{x \to a^{+}} f (x)$	Templat:Math is the total variation of Templat:Math
[[Bounded variation\|Templat:Math]]	?	Templat:No	Templat:Yes	$‖ f ‖_{B V} = V_{f} (I)$	Templat:Math consists of Templat:Math functions such that $\lim \nolimits_{x \to a^{+}} f (x) = 0$
[[Absolutely continuous function\|Templat:Math]]	Templat:Math	Templat:No	Templat:Yes	$‖ f ‖_{B V} = V_{f} (I) + \lim \nolimits_{x \to a^{+}} f (x)$	Isomorphic to the Sobolev space Templat:Math.
[[Continuously differentiable\|Templat:Math]]	[[Ba space\|Templat:Math]]	Templat:No	Templat:No	$‖ f ‖ = \sum_{i = 0}^{n} \sup \nolimits_{x \in [a, b]} \| f^{(i)} (x) \|$	Isomorphic to Templat:Math, essentially by Taylor's theorem.

Templat:Clear

Turunan

Beberapa konsep turunan dapat didefinisikan di ruang Banach. Lihat artikel di Turunan Fréchet dan Turunan Gateaux untuk detailnya. Derivatif Fréchet memungkinkan perluasan konsep dari turunan total ke ruang Banach. Turunan Gateaux memungkinkan perpanjangan turunan arah ke konveks lokal ruang vektor topologis. Diferensiasi Fréchet adalah kondisi yang lebih kuat daripada daya diferensiasi Gateaux. Kuasi-turunan adalah generalisasi turunan terarah lain yang menyiratkan kondisi yang lebih kuat, tetapi kondisi yang lebih lemah dari diferensiasi Fréchet.

Generalisasi

Beberapa ruang penting dalam analisis fungsional, misalnya ruang dari semua fungsi yang sering kali terdiferensiasi tanpa batas R → R, atau ruang dari semua distribusi pada R, lengkap tetapi bukan ruang vektor bernorma dan karenanya bukan ruang Banach. Dalam ruang Fréchet yang satu masih memiliki metrik lengkap, sementara ruang-LF adalah ruang vektor seragam lengkap yang muncul sebagai batas ruang Fréchet.

Lihat pula

Templat:Annotated link

Referensi

Templat:Reflist

Bibliografi

Pranala luar

Templat:Commonscat

Templat:Ruang Banach Templat:Analisis Fungsional Templat:Authority control

↑ Templat:Harvnb
↑ Lihat Templat:Harvtxt p. 3.
↑ pertanyaan muncul p. 238, §3 dalam buku Banach, Templat:Harvtxt.
↑ lihat S. V. Bočkarev, "Keberadaan basis dalam ruang fungsi analitik dalam disk, dan beberapa properti sistem Franklin". (Rusia) Mat. Sb. (N.S.) 95 (137) (1974), 3–18, 159.
↑ see Templat:Cite journal
↑ lihat R.C. James, "Basis dan refleksivitas ruang Banach". Ann. Matematika. (2) 52, (1950). 518–527. Lihat pula Templat:Harvtxt p. 9.
↑ lihat A. Grothendieck, "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires". Mem. Amer. Math. Soc. 1955 (1955), no. 16, 140 pp., dan A. Grothendieck, "Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques". Bol. Soc. Mat. São Paulo 8 1953 1–79.
↑ lihat bab. 2, hal. 15 in Templat:Harvtxt.
↑ lihat bab. 3, hal. 45 inci Templat:Harvtxt.
↑ lihat Contoh. 2.19, hal. 29, dan hlm. 49–50 dalam Templat:Harvtxt.
↑ see Proposition 4.6, p. 74 in Templat:Harvtxt.
↑ lihat Pisier, Gilles (1983), "Counterexamples to a conjecture of Grothendieck", Acta Math. 151:181–208.
↑ Lihat Szankowski, Andrzej (1981), "Templat:Math tidak memiliki properti aproksimasi ", Acta Math. 147: 89–108. Ryan mengklaim bahwa hasil ini karena Per Enflo, hal. 74 inci Templat:Harvtxt.
↑ lihat Kwapień, S. (1970), "A linear topological characterization of inner-product spaces", Studia Math. 38:277–278.
↑ lihat Lindenstrauss, J. and Tzafriri, L. (1971), "On the complemented subspaces problem", Israel J. Math. 9:263–269.
↑ Templat:Cite book
↑ Templat:Cite book

[1] Templat:Harvnb

[2] Lihat Templat:Harvtxt p. 3.

[3] rtanyaan muncul p. 238, §3 dalam buku Banach, Templat:Harvtxt.

[4] t S. V. Bočkarev, "Keberadaan basis dalam ruang fungsi analitik dalam disk, dan beberapa properti sistem Franklin". (Rusia) Mat. Sb. (N.S.) 95 (137) (1974), 3–18, 159.

[5] see Templat:Cite journal

[6] t R.C. James, "Basis dan refleksivitas ruang Banach". Ann. Matematika. (2) 52, (1950). 518–527. Lihat pula Templat:Harvtxt p. 9.

[7] t A. Grothendieck, "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires". Mem. Amer. Math. Soc. 1955 (1955), no. 16, 140 pp., dan A. Grothendieck, "Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques". Bol. Soc. Mat. São Paulo 8 1953 1–79.

[8] t bab. 2, hal. 15 in Templat:Harvtxt.

[9] t bab. 3, hal. 45 inci Templat:Harvtxt.

[10] t Contoh. 2.19, hal. 29, dan hlm. 49–50 dalam Templat:Harvtxt.

[11] see Proposition 4.6, p. 74 in Templat:Harvtxt.

[12] t Pisier, Gilles (1983), "Counterexamples to a conjecture of Grothendieck", Acta Math. 151:181–208.

[13] Lihat Szankowski, Andrzej (1981), "Templat:Math tidak memiliki properti aproksimasi ", Acta Math. 147: 89–108. Ryan mengklaim bahwa hasil ini karena Per Enflo, hal. 74 inci Templat:Harvtxt.

[14] t Kwapień, S. (1970), "A linear topological characterization of inner-product spaces", Studia Math. 38:277–278.

[15] t Lindenstrauss, J. and Tzafriri, L. (1971), "On the complemented subspaces problem", Israel J. Math. 9:263–269.

[16] Templat:Cite book

[17] Templat:Cite book

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

Ruang Banach

Daftar isi

Basis Schauder

Produk Tensor

Produk Tensor dan properti aproksimasi

Beberapa hasil klasifikasi

Penokohan ruang Hilbert di antara ruang Banach

Klasifikasi metrik

Klasifikasi topologi

Contoh

Turunan

Generalisasi

Lihat pula

Referensi

Bibliografi

Pranala luar

Menu navigasi

Ruang Banach

Basis Schauder

Produk Tensor

Produk Tensor dan properti aproksimasi

Beberapa hasil klasifikasi

Penokohan ruang Hilbert di antara ruang Banach

Klasifikasi metrik

Klasifikasi topologi

Contoh

Turunan

Generalisasi

Lihat pula

Referensi

Bibliografi

Pranala luar

Menu navigasi

Pencarian