Irisan (teori himpunan)

Irisan dari dua himpunan $A$ dan $B$, dinyatakan melalui lingkaran. Warna merah menyatakan anggota dari $A\cap B$.

Dalam matematika, irisan dari dua himpunan

$A$

dan

$B$

adalah himpunan yang memuat semua anggota dari

$A$

juga milik

$B$

(atau, semua anggota dari

$B$

yang juga milik

$A$

). Irisan dari kedua himpunan tersebut dinyatakan secara matematis:

$A\cap B$,

Notasi dan istilah

Irisan ditulis menggunakan simbol "∩" di antara ekspresi berupa kumpulan anggota-anggota, dalam notasi infiks. Berikut adalah contoh-contohnya:

$\{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}$

$\{1,2,3\}\cap \{1,5,10\}\cap \{1,4,9\}=\{1\}$

$\{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\mathrm{\varnothing }$

$\mathbb{Z}\cap \mathbb{N}=\mathbb{N}$

$\{x\in ℝ:x^2=1\}\cap \mathbb{N}=\{1\}$

Ketika irisan terjadi lebih dari dua himpunan (irisan yang diperumum), notasinya mirip seperti notasi Sigma, yang ditulis sebagai

$\bigcap _{i=1}^n{A}_i$.

Definisi

Templat:Multiple image Irisan dari dua himpunan $A$ dan $B$, dilambangkan dengan $A\cap B$, merupakan himpunan dari semua objek yang merupakan anggota dari kedua himpunan $A$ dan $B$. Secara matematis, ditulis

$A\cap B=\{x:x\in A\text{ dan }x\in B\}.$

Hal ini mengartikan bahwa $x$ adalah anggota dari irisan $A\cap B$ jika dan hanya jika $x$ adalah anggota dari $A$ dan anggota dari $B$. Sebagai contohː

• Irisan dari himpunan $\{1,2,3\}$ dan $\{2,3,4\}$ adalah $\{2,3\}$.
• Bilangan 9 bukanlah irisan dari himpunan bilangan prima $\{2,3,5,7,11,\dots \}$ dan himpunan bilangan ganjil $\{1,3,5,7,9,11,\dots \}$, karena 9 bukanlah bilangan prima.

Himpunan beririsan dan saling lepas

Himpunan $A$ dikatakan beririsan dengan himpunan $B$ jika terdapat $x$ yang merupakan anggota dari himpunan $A$ dan $B$.

Himpunan $A$ dan $B$ dikatakan saling lepas jika $A$ tidak beririsan dengan $B$. Penjelasan yang lebih sederhananya, kedua himpunan tersebut tidak memiliki anggota yang sama. Himpunan $A$ dan $B$ saling lepas jika irisannya adalah kosong, dilambangkan $A\cap B=\varnothing$.

Sebagai contoh, himpunan $\{1,2\}$ dan $\{3,4\}$ saling lepas, sedangkan himpunan bilangan genap beririsan dengan himpunan kelipatan dari 3 di himpunan kelipatan 6.

Sifat aljabar

Irisan dari tiga himpunan $A\cap B\cap C$

• Irisan adalah operasi yang bersifat komutatif; yaitu, untuk setiap himpunan $A$ dan $B$, berlaku:
  $A\cap B=B\cap A$.
• Irisan adalah operasi yang bersifat asosiatif; yaitu, untuk setiap himpunan $A$, $B$, dan $C$, berlaku:
  $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$.
  Berdasarkan sifat ini, penulisan lambang kurung boleh diabaikan sama sekali tanpa mengubah makna; sehingga bentuk di atas dapat ditulis sebagai $A\cap B\cap C$.
• Irisan bersifat idempoten; yakni, untuk sebarang himpunan $A$ berlaku
  $A\cap A=A$

Sifat-sifat tersebut bersesuaian dengan logika konjungsi

• Irisan bersifat distributif terhadap gabungan dan gabungan bersifat distributif terhadap irisan; yaitu, untuk setiap himpunan $A$ dan $B$, berlaku:
  $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$.
  $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$.
• Dalam semesta $U$, komplemen $A^{\complement }$ dari himpunan $A$ dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua anggota dari $U$ yang tidak termuat dalam $A$. Selanjutnya, irisan dari $A$ dan $B$ dapat ditulis sebagai komplemen dari gabungan dari komplemennya, diturunkan dengan mudah dari hukum de Morganː $$A\cap B={(A^c\cup B^c)}^c.$$

Irisan sebarang

Perumuman gagasan irisan adalah irisan sebarang kumpulan takkosong himpunan-himpunan. Jika $M$ adalah himpunan bukan kosong yang anggotanya adalah himpunan juga, maka $x$ adalah anggota dari irisan dari $M$ jika dan hanya jika untuk setiap anggota $A$ dari $M$, $x$ adalah sebuah anggota dari $A$. Secara matematis ditulisː

$(x\in \bigcap _{A\in M}A)\iff (\mathrm{\forall }A\in M,x\in A)$.

Notasi mengenai konsep terakhir ini dapat ditulis dengan berbagai cara. Sebagian pakar teori himpunan terkadang menulis $\bigcap M$, sementara yang lainnya menulis $\bigcap _{A\in M}A$. Penulisan notasi terakhir dapat diperumum menjadi $\bigcap _{i\in I}{A}_i$, yang mengacu pada irisan kumpulan $\{A_i:i\in I\}$. Dalam notasi terakhir itu, $I$ adalah himpunan takkosong, dan $A_i$ adalah sebuah himpunan dari setiap $i$ dalam $I$.

Pada sebuah kasus bahwa himpunan indeks $I$ adalah himpunan bilangan asli, notasi irisan sembarang mirip dengan notasi darab takterhingga.

$\bigcap _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$.

Notasi tersebut juga dapat ditulis $A_1\cap A_2\cap A_3\cap \dots$.

Irisan kosong

Konjungsi dari argumen dalam tanda kurung.

Konjungsi tanpa argumen adalah tautologi (bandingkan darab kosong); demikian irisan tanpa himpunan adalah semesta.

Perhatikan bahwa dalam bagian sebelumnya, kita mengecualikan kasus untuk $M$ adalah himpunan kosong ($\varnothing$). Alasannya adalah bahwa Irisan dari kumpulan $M$ didefinisikan sebagai himpunan (lihat notasi ungkapan himpunan)

$\bigcap _{A\in M}A=\{x:\mathrm{\forall }A\in M,x\in A\}.$

Jika $M$ kosong, maka tidak ada himpunan $A$ dalam $M$. Hal ini memunculkan sebuah pertanyaan: "$x$ manakah yang memenuhi syarat yang disebutkan?". Jawabannya bisa saja untuk setiap kemungkinan $x$. Ketika $M$ kosong, syarat yang disebutkan di atas merupakan sebuah contoh dari kebenaran yang hampa. Jadi, irisan dari keluarga kosong harus berupa himpunan semesta (anggota identitas untuk operasi dari irisan), namun dalam teori himpunan (Zermelo-Fraenkel) standar, himpunan semesta tidak ada.

Lihat pula

• Aljabar himpunan
• Beda setangkup
• Gabungan
• Irisan graf
• Kardinalitas
• Komplemen
• Logika konjungsi
• MinHash
• Operasi biner teriterasi
• Teori himpunan naif

Bacaan lanjutan

• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book

Pranala luar

• Weisstein, Eric W. "Intersection". MathWorld.