Norma (matematika)

Templat:Short description Templat:About Dalam matematika, norma adalah fungsi dari bilangan riil atau kompleks ruang vektor ke bilangan riil nonnegatif yang berperilaku dengan cara tertentu seperti jarak dari asal; peta dengan penskalaan, mematuhi bentuk dari segitiga pertidaksamaan, dan hanya nol pada titik awal. Secara khusus, jarak Euclidean vektor dari asalnya adalah sebuah norma, yang disebut norma Euclidean, atau 2-norma, yang juga dapat didefinisikan sebagai akar kuadrat dari hasil kali dalam vektor dengan dirinya sendiri.

Pseudonorma atau seminorma memenuhi dua sifat pertama dari suatu norma, tetapi mungkin nol untuk vektor lain selain asalnya. Ruang vektor dengan norma tertentu disebut ruang vektor bernorma. Dengan cara yang sama, ruang vektor dengan seminorm disebut ruang vektor seminorma .

Definisi

Diberikan ruang vektor Templat:Mvar di atas bidang Templat:Mvar dari bilangan real Templat:Math atau bilangan kompleks Templat:Math, norma pada V adalah fungsi bernilai nonnegatif Templat:Math dengan sifat berikut:

Pada Templat:Math dan Templat:Math,

1. Templat:Math (menjadi subaditif atau memenuhi segitiga pertidaksamaan ).
2. Templat:Math (menjadi absolut homogen atau diskalakan ).
3. Jika Templat:Math kemudian Templat:Math adalah vektor nol (menjadi pasti positif atau menjadi pemisah titik ).

Seminorma dengan V adalah fungsi Templat:Nowrap dengan sifat 1 dan 2 di atas.

Norma ekuivalen

Misalkan Templat:Mvar dan Templat:Mvar adalah dua norma (atau seminorma) pada ruang vektor Templat:Mvar. Kemudian Templat:Mvar dan Templat:Mvar disebut ekuivalen, jika terdapat dua konstanta nyata Templat:Mvar dan Templat:Mvar dengan Templat:Nowrap maka setiap vektor Templat:Math,

Templat:Nowrap.

Norma Templat:Mvar dan Templat:Mvar setara jika dan hanya jika mereka menginduksi topologi yang sama di Templat:Mvar. Dua norma dengan ruang berdimensi hingga adalah ekuivalen, tetapi ini tidak meluas ke ruang berdimensi tak hingga.

Notasi

Jika norma Templat:Math diberikan pada ruang vektor Templat:Mvar, maka norma vektor Templat:Math biasanya dilambangkan dengan melampirkannya dalam garis vertikal ganda: $\Vert v\Vert =p(v).$ Notasi seperti itu terkadang juga digunakan jika Templat:Mvar hanya berupa seminorma. Untuk panjang sebuah vektor dalam ruang Euclidean (yang merupakan contoh dari sebuah norma, seperti dijelaskan di bawah), notasiTemplat:Math dengan garis vertikal tunggal juga tersebar luas.

Dalam LaTeX dan bahasa markup terkait, bilah ganda notasi norma dimasukkan dengan makro \|, yang dirender sebagai $\Vert .$ Garis vertikal ganda yang digunakan untuk menunjukkan garis sejajar, operator paralel dan penambahan paralel dimasukkan dengan \parallel dan dirender sebagai $\parallel .$ Meskipun terlihat serupa, kedua makro ini tidak boleh disalahartikan sebagai \| menunjukkan braket dan \parallel menunjukkan operator. Oleh karena itu, ukuran dan ruang di sekitarnya tidak dihitung dengan cara yang sama. Demikian pula, batang vertikal tunggal dikodekan sebagai | saat digunakan sebagai braket, dan sebagai \mid saat digunakan sebagai operator.

Di Unicode, titik kode dari "garis vertikal ganda" karakter ‖ adalah U + 2016. Simbol "garis vertikal ganda" tidak sama dengan simbol "sejajar", Unicode U+2225 (∥), yang dimaksudkan untuk menunjukkan garis paralel dan operator paralel. Garis vertikal ganda juga tidak sama dengan Unicode U+01C1 (ǁ), bertujuan untuk menunjukkan klik lateral dalam linguistik.

Garis vertikal tunggal | disebut "garis vertikal", dalam Unicode dan titik kodenya adalah U+007C.

Sifat

Untuk norma p pada ruang vektor V , segitiga terbalik ketidaksamaan berlaku: untuk u dan Templat:Nowrap,

p(u ± v) ≥ |p(u) − p(v)|

Jika Templat:Math adalah peta linier kontinu antara ruang bernorma, maka norma Templat:Mvar dan norma transpos dari Templat:Mvar adalah sama.Templat:Sfn

Untuk L^p norma, kami memiliki pertidaksamaan Hölder

$|⟨x,y⟩|\le {\Vert x\Vert }_p{\Vert y\Vert }_q\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$

Kasus khusus tentang ini adalah pertidaksamaan Cauchy–Schwarz:

$|⟨x,y⟩|\le {\Vert x\Vert }_2{\Vert y\Vert }_2.$

Ilustrasi lingkaran unit dalam norma yang berbeda.

Ekuivalen

Konsep lingkaran satuan (himpunan semua vektor norma 1) berbeda dalam norma yang berbeda: untuk 1-norma, lingkaran satuan adalah persegi, untuk 2-norma (norma Euklidean), itu adalah unit terkenal lingkaran, sedangkan untuk norma tak terhingga, itu adalah persegi yang berbeda. Untuk norma p , itu adalah superellipse dengan sumbu kongruen (lihat ilustrasi yang menyertai). Karena definisi norma, lingkaran satuan harus cembung dan simetris secara terpusat (oleh karena itu, misalnya, bola satuan mungkin persegi panjang tetapi tidak boleh segitiga, dan $p\ge 1$ untuk p -norma).

Dalam kaitannya dengan ruang vektor, seminorm mendefinisikan topologi pada ruang, dan ini adalah topologi Hausdorff persis ketika seminorm dapat membedakan antara vektor yang berbeda, yang lagi-lagi setara dengan seminorm yang menjadi norma. Topologi yang didefinisikan (baik oleh norma atau seminorm) dapat dipahami baik dari segi urutan atau set terbuka. Urutan vektor $\{v_n\}$ dikatakan konvergen secara normal ke $v$, jika $\Vert v_n-v\Vert \to 0$ sebagai $n\to \mathrm{\infty }$. Secara ekuivalen, topologi terdiri dari semua himpunan yang dapat direpresentasikan sebagai gabungan dari bola terbuka. Jika Templat:Math adalah ruang bernorma maka Templat:Math maka Templat:Math.Templat:Sfn

Dua norma ‖•‖_α dan ‖•‖_β pada ruang vektor V disebut ekuivalen jika mereka menginduksi topologi yang sama, yang terjadi jika dan hanya jika ada bilangan real positif C dan D sehingga untuk semua x dalam V

$C{\Vert x\Vert }_{\alpha }\le {\Vert x\Vert }_{\beta }\le D{\Vert x\Vert }_{\alpha }.$

Misalnya, jika p > r ≥ 1 pada ${𝐂}^n$, maka

${\Vert x\Vert }_p\le {\Vert x\Vert }_r\le n^{(1/r-1/p)}{\Vert x\Vert }_p$

Khususnya,

${\Vert x\Vert }_2\le {\Vert x\Vert }_1\le \sqrt{n}{\Vert x\Vert }_2$

${\Vert x\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le {\Vert x\Vert }_2\le \sqrt{n}{\Vert x\Vert }_{\mathrm{\infty }}$

${\Vert x\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le {\Vert x\Vert }_1\le n{\Vert x\Vert }_{\mathrm{\infty }},$

That is,

${\Vert x\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le {\Vert x\Vert }_2\le {\Vert x\Vert }_1\le \sqrt{n}{\Vert x\Vert }_2\le n{\Vert x\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$

Jika ruang vektor adalah ruang nyata atau kompleks berdimensi-hingga, semua norma adalah ekuivalen. Di sisi lain, dalam kasus ruang vektor berdimensi tak hingga, tidak semua norma setara.

Norma yang setara mendefinisikan pengertian yang sama tentang kontinuitas dan konvergensi dan untuk banyak tujuan tidak perlu dibedakan. Lebih tepatnya struktur seragam yang didefinisikan oleh norma ekivalen pada ruang vektor adalah isomorfik seragam.

Lihat pula

• Templat:Annotated link
• Templat:Annotated link
• Templat:Annotated link
• Templat:Annotated link
• Templat:Annotated link
• Templat:Annotated link
• Templat:Annotated link
• Norma operator
• Templat:Annotated link
• Templat:Annotated link
• Templat:Annotated link
• Templat:Annotated link

Bibliografi

• Templat:Bourbaki Topological Vector Spaces Part 1 Chapters 1–5
• Templat:Khaleelulla Counterexamples in Topological Vector Spaces
• Templat:Narici Beckenstein Topological Vector Spaces
• Templat:Schaefer Wolff Topological Vector Spaces
• Templat:Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels
• Templat:Wilansky Modern Methods in Topological Vector Spaces