Aljabar sigma

Dalam matematika, khususnya dalam ilmu teori peluang dan teori ukuran, aljabar-σ pada himpunan X adalah koleksi dari subhimpunan X yang dilambangkan dengan Σ yang mengandung X itu sendiri, tertutup terhadap operasi komplemen, dan tertutup terhadap operasi gabungan hingga.

Aljabar-σ merupakan salah satu contoh dari aljabar himpunan.

Definisi

Misalkan $X$ himpunan dan $𝒫(X)$ himpunan kuasa. Keluarga bagian $\mathrm{\Sigma }\subseteq 𝒫(X)$ disebut aljabar-σ, jika memenuhi sifat-sifat:

1. $X\in \mathrm{\Sigma }$,
2. Jika $A\in \mathrm{\Sigma }$, maka $X\setminus A\in \mathrm{\Sigma }$,
3. Jika $A_1,A_2,\dots \in \mathrm{\Sigma }$, maka $\bigcup _{k\in \mathbb{N}}{A}_k\in \mathrm{\Sigma }$.

Dengan kata lain, kita punyai $\mathrm{\Sigma }$ tertutup atas operasi gabungan terhitung dan komplemen. Dalam teori ukuran, pasangan $(X,\mathrm{\Sigma })$ disebut ruang terukur.

Contoh

• Untuk suatu himpunan $X$, $\{\mathrm{\varnothing },X\}$ aljabar-σ yang terkecil dan $𝒫$ aljabar-σ yang terbesar.
• Untuk suatu ruang topologi $(X,\tau )$, aljabar Borel adalah aljabar-σ terkecil yang memuat semua himpunan dari $\tau$.