Produk setengah langsung

Templat:Short description Templat:Group theory sidebar

Dalam matematika, khususnya dalam teori grup, konsep produk setengah langsung adalah generalisasi dari produk langsung. Ada dua konsep yang terkait erat dari produk setengah langsung:

produk setengah langsung dalam adalah cara tertentu di mana grup dapat terdiri dari dua subgrup, salah satunya adalah subgrup normal.
produk setengah langsung luar adalah cara untuk membangun grup baru dari dua grup tertentu dengan menggunakan produk Kartesius sebagai himpunan dan operasi perkalian tertentu.

Seperti halnya produk langsung, terdapat persamaan alami antara produk semidirect bagian dalam dan luar, dan keduanya biasa disebut hanya sebagai "produk setengah langsung".

Untuk grup hingga, teorema Schur-Zassenhaus memberikan kondisi yang cukup untuk keberadaan dekomposisi sebagai produk semidirect (juga dikenal sebagai membelah ekstensi).

Definisi produk setengah langsung bagian dalam

Diberikan grup Templat:Math dengan elemen identitas Templat:Math, sebuah subgrup Templat:Math , dan subgrup normal Templat:Math, pernyataan berikut ini setara:

Templat:Math adalah produk dari subgrup, Templat:Math, dan subgrup ini memiliki persimpangan yang sepele: Templat:Math.
Untuk Templat:Math, pada Templat:Math dan Templat:Math sebagai Templat:Math.
Untuk Templat:Math, pada Templat:Math dan Templat:Math sebagai Templat:Math.
Komposisi Templat:Math dari embedding natural Templat:Math dengan proyeksi alami Templat:Math adalah isomorfisme antara Templat:Math dan grup hasil bagi Templat:Math.
Terdapat homomorfisme Templat:Math itu adalah identitas pada Templat:Math dan yang kernel adalah Templat:Math. Dengan kata lain, ada urutan yang tepat terpisah

1 \to N \to G \to H \to 1

grup (yang juga dikenal sebagai ekstensi grup dari

N

by

H

).

Jika salah satu dari pernyataan ini berlaku (dan karenanya semuanya berlaku, dengan kesetaraannya), kami mengatakan Templat:Math adalah produk setengah langsung dari Templat:Math dan Templat:Math, ditulis

G = N ⋊ H

atau

G = H ⋉ N,

atau bahwa Templat:Math split over Templat:Math; satu juga mengatakan bahwa Templat:Math adalah setengah langsung dari Templat:Math yang bekerja pada Templat:Math, atau bahkan produk setengah langsung dari Templat:Math dan Templat:Math. Untuk menghindari ambiguitas, disarankan untuk menentukan subgrup yang normal.

Hasilkali setengah langsung dalam dan luar

Pertama-tama mari kita pertimbangkan produk semidirect bagian dalam. Dalam kasus ini, untuk grup $G$ , pertimbangkan subgrup normalnya Templat:Math dan subgrup Templat:Math (belum tentu normal). Asumsikan bahwa kondisi pada daftar di atas tahan. Karena Templat:Math menunjukkan grup dari semua automorfisme dari Templat:Math, yang merupakan grup dalam komposisi. Bangun homomorfisme grup Templat:Math didefinisikan dengan konjugasi Templat:Math untuk semua Templat:Math di Templat:Math dan Templat:Math pada Templat:Math. Ekspresi Templat:Math sering ditulis sebagai Templat:Math untuk singkatnya. Dengan cara ini kita dapat membuat grup $G^{'} = (N, H)$ dengan operasi grup didefinisikan sebagai $(n_{1}, h_{1}) \cdot (n_{2}, h_{2}) = (n_{1} φ (h_{1}) (n_{2}), h_{1} h_{2}) = (n_{1} φ_{h_{1}} (n_{2}), h_{1} h_{2})$ dari Templat:Math pada Templat:Math dan Templat:Math in Templat:Math. Subkelompok Templat:Math dan Templat:Math menentukan isomorfisme Templat:Math hingga, seperti yang akan kita tunjukkan nanti. Dengan cara ini, kita bisa membuat grup Templat:Math dari subgrupnya. Konstruksi semacam ini disebut produk setengah langsung bagian dalam'.

Sekarang mari kita pertimbangkan hasil kali setengah langsung luar. Diberikan dua grup apa saja Templat:Math dan Templat:Math dan satu kelompok homomorfisme Templat:Math, kita bisa membuat grup Templat:Math, disebut produk setengah langsung luar dari Templat:Math dan Templat:Math sehubungan dengan Templat:Math, defined as follows:^[1] Templat:Bulleted list

Mendefinisikan grup di mana elemen identitasnya adalah Templat:Math dan kebalikan dari elemen Templat:Math adalah Templat:Math. Templat:Math membentuk subkelompok normal isomorfik menjadi Templat:Math, sementara Templat:Math membentuk subkelompok isomorfik ke Templat:Math. Grup lengkap adalah produk setengah-langsung dari dua subgrup tersebut dalam pengertian yang diberikan sebelumnya.

Sebaliknya, misalkan kita diberi grup Templat:Math dengan subgrup normal Templat:Math dan subgrup Templat:Math, sedemikian rupa sehingga setiap elemen Templat:Math dari Templat:Math dapat ditulis secara unik dalam bentuk Templat:Math di mana Templat:Math terletak di Templat:Math dan Templat:Math ada di Templat:Math. Maka Templat:Math jadilah homomorfisme (tertulis Templat:Math) given by

φ_{h} (n) = h n h^{- 1}

untuk Templat:Math.

Maka Templat:Math isomorfik pangkat semidirect Templat:Math. Isomorfisme Templat:Math didefinisikan dengan baik oleh Templat:Math karena keunikan dekomposisi Templat:Math.

Di Templat:Math, kami punya

(n_{1} h_{1}) (n_{2} h_{2}) = n_{1} h_{1} n_{2} (h_{1}^{- 1} h_{1}) h_{2} = (n_{1} φ_{h_{1}} (n_{2})) (h_{1} h_{2})

Jadi, untuk Templat:Math dan Templat:Math maka

\begin{matrix} λ (a b) & = λ (n_{1} h_{1} n_{2} h_{2}) = λ (n_{1} φ_{h_{1}} (n_{2}) h_{1} h_{2}) = (n_{1} φ_{h_{1}} (n_{2}), h_{1} h_{2}) = (n_{1}, h_{1}) ∙ (n_{2}, h_{2}) \\ = λ (n_{1} h_{1}) ∙ λ (n_{2} h_{2}) = λ (a) ∙ λ (b), \end{matrix}

yang membuktikan bahwa Templat:Math adalah homomorfisme. Karena Templat:Math jelas merupakan epimorfisme dan monomorfisme, maka itu memang merupakan isomorfisme. Ini juga menjelaskan definisi aturan perkalian di Templat:Math.

Produk langsung adalah kasus khusus dari produk semidirect. Untuk melihat ini, maka Templat:Math menjadi homomorfisme yang sepele (yaitu, mengirim setiap elemen Templat:Math ke automorfisme identitas Templat:Math) lalu Templat:Math adalah produk langsung Templat:Math.

Versi lemma pemisah untuk grup menyatakan bahwa grup Templat:Math isomorfik untuk produk semidirect dari dua grup Templat:Math dan Templat:Math jika dan hanya jika terdapat urutan tepat pendek

1 ⟶ N \overset{β}{⟶} G \overset{α}{⟶} H ⟶ 1

dan homomorfisme grup Templat:Math seperti yang Templat:Math, peta identitas di Templat:Math. Pada kasus ini, Templat:Math diberikan oleh Templat:Math, dimana

φ_{h} (n) = β^{- 1} (γ (h) β (n) γ (h^{- 1})) .

Contoh

Grup dihedral

Grup dihedral Templat:Math dengan Templat:Math elemen isomorfik ke produk semidirect dari grup siklik Templat:Math dan Templat:Math.^[2] Di sini, elemen non-identitas Templat:Math para Templat:Math dengan elemen pembalik; ini adalah automorfisme karena Templat:Math adalah abelian. presentasi untuk grup ini adalah:

⟨ a, b ∣ a^{2} = e, b^{n} = e, a b a^{- 1} = b^{- 1} ⟩ .

Grup siklik

Secara lebih umum, produk semidirect dari dua grup siklik Templat:Math dengan generator Templat:Math dan Templat:Math dengan generator Templat:Math diberikan oleh satu relasi ekstra, Templat:Math, dengan Templat:Math dan Templat:Math coprime; yaitu presentasi:^[2]

⟨ a, b ∣ a^{m} = e, b^{n} = e, a b a^{- 1} = b^{k} ⟩ .

Jika Templat:Math dan Templat:Math coprime, Templat:Math adalah generator Templat:Math dan Templat:Math, karenanya penyajiannya:

⟨ a, b ∣ a^{m} = e, b^{n} = e, a b a^{- 1} = b^{k^{r}} ⟩

memberikan gruo isomorfik ke yang sebelumnya.

Grup dasar dari lubang Klein

Grup fundamental dari lubang Klein dapat disajikan dalam bentuk

⟨ a, b ∣ a b a^{- 1} = b^{- 1} ⟩ .

dan oleh karena itu merupakan produk setengah langsung dari kelompok bilangan bulat, Templat:Math, dengan Templat:Math. Homomorfisme yang sesuai Templat:Math diberikan oleh Templat:Math.

Matriks segitiga atas

Grup $𝕋_{n}$ dari atas matriks segitiga Templat:Clarify dengan bukan nol determinan, yaitu dengan entri bukan nol pada diagonal, memiliki dekomposisi menjadi perkalian setengah langsung $𝕋_{n} ≅ 𝕌_{n} ⋊ 𝔻_{n}$ ^[3] dimana $𝕌_{n}$ adalah subkelompok matriks dengan hanya $1$ pada diagonal, yang disebut kelompok matriks satuan atas, dan $𝔻_{n}$ adalah subgrup dari matriks diagonal.
Grup aksi $𝔻_{n}$ pada $𝕌_{n}$ diinduksi oleh perkalian matriks. Jika kita mengatur

$A = [\begin{matrix} x_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & x_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & x_{n} \end{matrix}]$ dan $B = [\begin{matrix} 1 & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1 n} \\ 0 & 1 & a_{23} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix}]$

maka perkalian matriks adalah

A B = [\begin{matrix} x_{1} & x_{1} a_{12} & x_{1} a_{13} & \dots & x_{1} a_{1 n} \\ 0 & x_{2} & x_{2} a_{23} & \dots & x_{2} a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & x_{n} \end{matrix}] .

Ini memberikan tindakan grup yang diinduksi $m : 𝔻_{n} \times 𝕌_{n} \to 𝕌_{n}$ Templat:Clarify

m (A, B) = [\begin{matrix} 1 & x_{1} a_{12} & x_{1} a_{13} & \dots & x_{1} a_{1 n} \\ 0 & 1 & x_{2} a_{23} & \dots & x_{2} a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix}] .

Sebuah matriks dalam $𝕋_{n}$ dapat diwakili oleh matriks dalam $𝕌_{n}$ dan $𝔻_{n}$ . Karenanya $𝕋_{n} ≅ 𝕌_{n} ⋊ 𝔻_{n}$ .

Grup isometri pada bidang

Grup Euklides dari semua gerakan kaku (isometri) dari pesawat (peta Templat:Math sedemikian rupa sehingga jarak Euclidean antara Templat:Math dan Templat:Math sama dengan jarak antara Templat:Math dan Templat:Math untuk semua Templat:Math dan Templat:Math di Templat:Math) isomorfik ke produk semidirect dari grup abelian Templat:Math (yang menjelaskan terjemahan) dan grup Templat:Math dari ortogonal Templat:Math matriks (yang mendeskripsikan rotasi dan refleksi yang menjaga asal tetap). Menerapkan terjemahan dan kemudian rotasi atau refleksi memiliki efek yang sama seperti menerapkan rotasi atau refleksi terlebih dahulu dan kemudian terjemahan oleh vektor terjemahan yang diputar atau dipantulkan (yaitu menerapkan konjugasi dari terjemahan aslinya). Ini menunjukkan bahwa kelompok terjemahan adalah subkelompok normal dari grup Euklides, bahwa grup Euklides adalah produk setengah langsung dari kelompok terjemahan dan Templat:Math, dan bahwa homomorfisme yang sesuai Templat:Math diberikan oleh perkalian matriks: Templat:Math.

Grup ortogonal O(n)

Grup ortogonal Templat:Math dari semua ortogonal riil Templat:Math matriks (secara intuitif himpunan dari semua rotasi dan refleksi dari Templat:Math - ruang dimensi yang menjaga asal tetap) isomorfik ke produk semidirect grup Templat:Math (terdiri dari semua matriks ortogonal dengan determinan Templat:Math, secara intuitif rotasi ruang dimensi Templat:Math) dan Templat:Math. Jika kami mewakili Templat:Math sebagai kelompok perkalian matriks Templat:Math, di mana Templat:Math adalah refleksi dari Templat:Math ruang dimensi yang menjaga asal tetap (yaitu, matriks ortogonal dengan determinan Templat:Math mewakili involusi), maka Templat:Math diberikan oleh Templat:Math untuk H pafa Templat:Math dan Templat:Math in Templat:Math. Dalam kasus non-sepele (Templat:Math bukanlah identitas) ini berarti bahwa Templat:Math adalah operasi konjugasi oleh refleksi (dalam ruang 3 dimensi sumbu rotasi dan arah rotasi digantikan oleh "bayangan cermin" mereka).

Grup kristalografi

Dalam kristalografi, kelompok ruang dari kristal terpecah sebagai hasilkali setengah langsung dari kelompok titik dan kelompok terjemahan jika dan hanya jika kelompok ruangnya adalah simorfis. Kelompok ruang non-simorfik memiliki kelompok titik yang bahkan tidak terdapat sebagai bagian dari kelompok ruang, yang bertanggung jawab untuk banyak komplikasi dalam analisis mereka.^[4]

Bukan contoh

Ada banyak grup yang tidak dapat diekspresikan sebagai produk semi langsung dari grup namun berisi subgrup normal non-trivial. Tentu saja, setiap grup sederhana tidak dapat dinyatakan sebagai produk semi-langsung, tetapi ada beberapa contoh balasan yang umum juga. Perhatikan bahwa meskipun tidak setiap grup $G$ dapat diekspresikan sebagai ekstensi terpisah dari $H$ oleh $A$ , ternyata kelompok seperti itu dapat disematkan ke dalam produk karangan bunga $A ≀ H$ oleh teorema embedding universal.

Z₄

Grup siklik

ℤ_{4}

bukan grup sederhana karena memiliki subgrup orde 2, yaitu

{0, 2} ≅ ℤ_{2}

adalah subkelompok dan hasil bagi mereka adalah

ℤ_{2}

, jadi ada ekstensi

$0 \to ℤ_{2} \to ℤ_{4} \to ℤ_{2} \to 0$

If the extension was split, then the group

G

in

$0 \to ℤ_{2} \to G \to ℤ_{2} \to 0$

would be isomorphic to

ℤ_{2} \times ℤ_{2}

.

Q₈

Grup dari delapan angka empat

{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k}

where

i j k = - 1

and

i^{2} = j^{2} = k^{2} = - 1

, adalah contoh lain dari grup^[5] yang memiliki subkelompok non-sepele namun masih belum terpecah. Misalnya, subgrup yang dibuat oleh

i

bersifat isomorfik

ℤ_{4}

dan normal. Ini juga memiliki subkelompok pesanan

2

yang dihasilkan oleh

- 1

. Ini berarti

Q_{8}

harus menjadi ekstensi terpisah

$0 \to ℤ_{4} \to Q_{8} \to ℤ_{2} \to 0$

yang tidak bisa terjadi. Hal ini dapat ditunjukkan dengan menghitung kelompok kohomologi kelompok pertama

ℤ_{2}

dengan koefisien dalam

ℤ_{4}

, begitu

H^{1} (ℤ_{2}, ℤ_{4}) ≅ ℤ / 2

dan mencatat dua kelompok dalam ekstensi ini

ℤ_{2} \times ℤ_{4}

dan grup dihedral

D_{8}

. Tapi, karena tidak satu pun dari grup ini isomorfik dengan

Q_{8}

, grup quaternion tidak dipisahkan. Tidak adanya isomorfisme ini dapat diperiksa dengan mencatat ekstensi trivial adalah abelian sedangkan

Q_{8}

adalah non-abelian, dan mencatat satu-satunya subgrup normal adalah

ℤ_{2}

dan

ℤ_{4}

, tetapi

Q_{8}

memiliki tiga subgrup isomorfik

ℤ_{4}

.

Notasi

Biasanya produk semidirect dari grup Templat:Math yang bekerja pada grup Templat:Math (dalam banyak kasus dengan konjugasi sebagai subgrup dari grup yang sama) dilambangkan dengan Templat:Math atau Templat:Math. Namun, beberapa sumberTemplat:Which boleh menggunakan simbol ini dengan arti yang berlawanan. Dalam kasus tindakan Templat:Math harus dibuat eksplisit, salah satunya juga menulis Templat:Math. Salah satu cara berpikir tentang Templat:Math simbol adalah kombinasi dari simbol untuk subkelompok normal (Templat:Math) dan simbol untuk hasil kali (Templat:Math). Barry Simon, dalam bukunya tentang teori representasi kelompok,^[6] menggunakan notasi yang tidak biasa $N Ⓢ_{φ} H$ untuk produk semidirect.

Unicode mencantumkan empat varian:^[7]

	Nilai	MathML	Deskripsi Unicode
⋉	U+22C9	ltimes	PRODUK KIRI SEMIDIRECT FAKTOR NORMAL
⋊	U+22CA	rtimes	PRODUK KANAN SEMIDIRECT FAKTOR NORMAL
⋋	U+22CB	lthree	SEMIDIREK PRODUK KIRI
⋌	U+22CC	rthree	PRODUK SEMIDIRECT KANAN

Di sini deskripsi Unicode dari simbol waktu mengatakan "faktor normal benar", berbeda dengan arti biasanya dalam praktik matematika.

Dalam LaTeX, perintah \rtimes dan \ltimes menghasilkan karakter yang sesuai.

Lihat pula

Aljabar Affine Lie
Konstruksi Grothendieck, konstruksi kategoris yang menggeneralisasi produk semidirect
Holomorph
Lie aljabar semidirect sum
Produk setengah sub
Produk karangan bunga
Produk Zappa–Szép

Catatan

Templat:Reflist

Referensi

Templat:Refimprove

R. Brown, Topology and groupoids, Booksurge 2006. Templat:Isbn

[1] Templat:Cite book

[mac-lane-2] 2,0 ^2,1 Templat:Cite book

[3] Templat:Cite book

[4] Templat:Cite web Templat:Pranala mati

[5] Templat:Cite web

[Simon1996-6] Templat:Cite book

[7] Lihat unicode.org

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Produk setengah langsung

Daftar isi

Definisi produk setengah langsung bagian dalam

Hasilkali setengah langsung dalam dan luar

Contoh

Grup dihedral

Grup siklik

Grup dasar dari lubang Klein

Matriks segitiga atas

Grup isometri pada bidang

Grup ortogonal O(n)

Grup kristalografi

Bukan contoh

Z₄

Q₈

Notasi

Lihat pula

Catatan

Referensi

Menu navigasi

Produk setengah langsung

Definisi produk setengah langsung bagian dalam

Hasilkali setengah langsung dalam dan luar

Contoh

Grup dihedral

Grup siklik

Grup dasar dari lubang Klein

Matriks segitiga atas

Grup isometri pada bidang

Grup ortogonal O(n)

Grup kristalografi

Bukan contoh

Z4

Q8

Notasi

Lihat pula

Catatan

Referensi

Menu navigasi

Pencarian

Z₄

Q₈