Kohimpunan

Templat:Math adalah grup Templat:Nowrap, integers mod 8 sebagai tambahan. Subgrup Templat:Math hanya berisi 0 dan 4. Ada empat koset kiri dari Templat:Math: Templat:Math itself, Templat:Math, Templat:Math, dan Templat:Math (ditulis menggunakan notasi aditif karena ini adalah grup aditif). Bersama-sama mereka mempartisi seluruh grup Templat:Math menjadi set yang berukuran sama dan tidak tumpang tindih. indeksTemplat:Math is 4.

Dalam matematika, khususnya teori grup, subgrup Templat:Mvar dari grup Templat:Math dapat digunakan untuk mendekomposisi himpunan yang mendasari Templat:Mvar menjadi disjoint sama- potongan ukuran yang disebut kohimpunan. Ada dua jenis koset: kohimpunan kiri dan kohimpunan kanan. Kohimpunan (dari kedua jenis) memiliki jumlah elemen yang sama (kardinalitas) seperti halnya Templat:Mvar. Lebih lanjut, Templat:Mvar itu sendiri adalah kohimpunan, yang merupakan koset kiri dan kohimpunan kanan. Jumlah koset kiri Templat:Math di Templat:Math sama dengan jumlah koset kanan dari Templat:Math di Templat:Matematika. Nilai yang sama disebut indeks dari Templat:Math dalam bahasa Templat:Math dan biasanya dilambangkan dengan Templat:Math.

Kohimpunan adalah alat dasar dalam mempelajari grup; misalnya, mereka memainkan peran sentral dalam Teorema Lagrange yang menyatakan bahwa untuk grup hingga Templat:Math, jumlah elemen dari setiap subgrup Templat:Math dari Templat:Mvar membagi jumlah elemen Templat:Mvar. Koset dari jenis subgrup tertentu (subgrup normal) dapat digunakan sebagai elemen dari grup lain yang disebut grup hasil bagi atau grup faktor. Kohimpunan juga muncul di bidang matematika lain seperti ruang vektor dan kode koreksi kesalahan.

Definisi

Misalkan Templat:Mvar menjadi subgrup dari grup Templat:Mvar yang operasinya ditulis secara multiplikatif (penjajaran berarti menerapkan operasi grup). Diberikan elemen Templat:Math dari Templat:Mvar, 'coset kiri' dari Templat:Mvar ke Templat:Mvar adalah himpunan diperoleh dengan mengalikan setiap elemen Templat:Mvar dengan elemen tetap Templat:Mvar dari Templat:Mvar (di mana Templat:Mvar adalah faktor kiri). Dalam simbol ini adalah,

Templat:Math} untuk setiap Templat:Mvar di Templat:Mvar.

Kohimpunan kanan didefinisikan dengan cara yang sama, kecuali bahwa elemen Templat:Mvar sekarang merupakan faktor kanan, yaitu,

Templat:Math} untuk Templat:Mvar ke Templat:Mvar.

Karena Templat:Mvar bervariasi di seluruh grup, akan tampak bahwa banyak koset (kanan atau kiri) akan dihasilkan. Ini benar, tetapi kosetnya tidak semuanya berbeda. Faktanya, jika dua kohimpunan dari jenis yang sama memiliki setidaknya satu elemen yang sama, maka keduanya identik sebagai himpunan.

Jika operasi grup ditulis secara tambahan, seperti yang sering terjadi ketika grup adalah abelian, notasi yang digunakan berubah menjadi Templat:Math atau Templat:Math.

Contoh pertama

Misalkan Templat:Mvar adalah kelompok dihedral berorde enam. Elemen-elemennya dapat diwakili oleh Templat:Math}. Dalam grup ini Templat:Math dan Templat:Math. Ini adalah informasi yang cukup untuk mengisi seluruh tabel perkalian:

*	Templat:Mvar	Templat:Mvar	Templat:Math	Templat:Mvar	Templat:Mvar	Templat:Math
Templat:Mvar	Templat:Mvar	Templat:Mvar	Templat:Math	Templat:Mvar	Templat:Mvar	Templat:Math
Templat:Mvar	Templat:Mvar	Templat:Math	Templat:Mvar	Templat:Mvar	Templat:Math	Templat:Mvar
Templat:Math	Templat:Math	Templat:Mvar	Templat:Mvar	Templat:Math	Templat:Mvar	Templat:Mvar
Templat:Mvar	Templat:Mvar	Templat:Math	Templat:Mvar	Templat:Mvar	Templat:Math	Templat:Mvar
Templat:Mvar	Templat:Mvar	Templat:Mvar	Templat:Math	Templat:Mvar	Templat:Mvar	Templat:Math
Templat:Math	Templat:Math	Templat:Mvar	Templat:Mvar	Templat:Math	Templat:Mvar	Templat:Mvar

Misalkan Templat:Mvar menjadi subgrup Templat:Math}. Kohimpunan kiri (berbeda) dari Templat:Mvar adalah:

Templat:Math},

Templat:Math}, and

Templat:Math}.

Karena semua elemen Templat:Mvar sekarang telah muncul di salah satu kohimpunan ini, menghasilkan Kohimpunan lagi tidak dapat menghasilkan kohimpunan baru, karena kohimpunan baru harus memiliki unsur yang sama dengan salah satunya dan karenanya identik dengan salah satu kohimpunan ini. Contohnya, Templat:Math.

Kohimpunan kanan dari Templat:Mvar adalah:

Templat:Math},

Templat:Math} , dan

Templat:Math}.

Dalam contoh ini, kecuali untuk Templat:Mvar, tidak ada koset kiri yang juga merupakan kohimpunan kanan.

Misalkan Templat:Mvar menjadi subgrup Templat:Math}. Kohimpunan kiri dari Templat:Mvar adalah Templat:Math dan Templat:Math}. Kohimpunan kanan dari Templat:Mvar adalah Templat:Math dan Templat:Math. Dalam hal ini, setiap kohimpunan kiri dari Templat:Mvar juga merupakan kohimpunan kanan dari Templat:Mvar.

Properti

Karena Templat:Math adalah subgrup, ia berisi elemen identitas grup, dengan hasil bahwa elemen Templat:Math milik kohimpunan Templat:Math. If Templat:Math jadi milik Templat:Math Templat:Math. Jadi, setiap elemen dari Templat:Math tepat berada di satu koset kiri subgrup Templat:Math.

Identitas tersebut tepat berada di satu kohimpunan kiri atau kanan, yaitu Templat:Math. Jadi Templat:Math adalah kohimpunan kiri dan kanan dari dirinya sendiri.

Elemen Templat:Math dan Templat:Math termasuk dalam koset kiri yang sama dari Templat:Math, yaitu, Templat:Math jika dan hanya jika Templat:Math belongs to Templat:Math. Lebih lanjut bisa dikatakan di sini. Definisikan dua elemen dari Templat:Mvar, katakanlah Templat:Mvar dan Templat:Mvar, agar setara sehubungan dengan subgrup Templat:Mvar jika Templat:Math milik Templat:Mvar. Ini kemudian menjadi relasi ekivalen pada Templat:Mvar dan kelas ekivalen dari relasi ini adalah koset kiri dari Templat:Mvar. Seperti halnya himpunan kelas ekivalen, mereka membentuk partisi dari himpunan yang mendasarinya. Repsentasi kohimpunan adalah perwakilan dalam pengertian kelas kesetaraan. Satu set perwakilan dari semua koset disebut transversal. Ada jenis relasi ekivalen lain dalam sebuah grup, seperti konjugasi, yang membentuk kelas berbeda yang tidak memiliki properti yang dibahas di sini.

Pernyataan serupa berlaku untuk koset kanan.

Jika Templat:Math adalah grup abelian, maka Templat:Math untuk setiap subkelompok Templat:Math dari Templat:Math dan setiap elemen Templat:Math dari Templat:Math. Untuk kelompok umum, diberi elemen Templat:Mvar dan subgrup Templat:Math dari grup Templat:Mvar, koset kanan dari Templat:Math terkait dengan Templat:Math juga merupakan koset kiri dari subgrup konjugasi Templat:Math dengan Templat:Math, adalah, Templat:Math.

Subgrup normal

Subgrup Templat:Math dari grup Templat:Math adalah subgrup normal dari Templat:Math jika dan hanya jika untuk semua elemen Templat:Math dari Templat:Math yang sesuai, adalah, Templat:Math. Ini adalah kasus untuk subgrup Templat:Mvar pada contoh pertama di atas. Selanjutnya, kohimpunan dari Templat:Math dalam Templat:Math membentuk sebuah grup yang disebut grup hasil bagi atau grup faktor

Jika Templat:Math bukan normal di Templat:Math, kohimpunan kirinya berbeda dengan Kohimpunan kanannya. Artinya, ada Templat:Math di Templat:Math sehingga tidak ada elemen b yang memenuhi Templat:Math. Ini berarti bahwa partisi Templat:Mvar ke kohimpunan kiri Templat:Mvar adalah partisi yang berbeda dengan partisi Templat:Math ke dalam Kohimpunan kanan dari Templat:Math. Ini diilustrasikan oleh subgrup Templat:Mvar pada contoh pertama di atas. ( Beberapa kohimpunan bertepatan. Misalnya, jika Templat:Math ada di pusat dari Templat:Math, tTemplat:Math.)

Sebaliknya, jika subgrup N normal, himpunan semua kohimpunan membentuk grup yang disebut grup hasil bagi Templat:Math dengan operasi ∗ ditentukan oleh Templat:Math. Karena setiap kohimpunan kanan adalah kohimpunan kiri, maka tidak perlu membedakan "kohimpunan kiri" dari "kohimpunan kanan".

Indeks subgrup

Templat:Main Setiap koset kiri atau kanan dari Templat:Math memiliki jumlah elemen yang sama (atau kardinalitas dalam kasus tak terbatas Templat:Math) sebagai Templat:Math itu sendiri. Selain itu, jumlah koset kiri sama dengan jumlah koset kanan dan dikenal sebagai 'indeks' dari Templat:Math dalam G , ditulis Templat:Math. Teorema Lagrange memungkinkan kita untuk menghitung indeks dalam kasus di mana Templat:Math dan Templat:Mvar:

$|G|=[G:H]|H|$.

Persamaan ini juga berlaku dalam kasus di mana kelompok tidak terbatas, meskipun artinya mungkin kurang jelas.

Contoh lainnya

Bilangan bulat

Misalkan Templat:Math menjadi grup aditif dari bilangan bulat, Templat:Math dan Templat:Math subgrup Templat:Math. Maka koset dari Templat:Math dalam Templat:Math adalah tiga himpunan Templat:Math, Templat:Math, dan Templat:Math, dimana Templat:Math}. Ketiga himpunan ini mempartisi himpunan 'ℤ' , jadi tidak ada koset kanan lain dari Templat:Mvar. Karena komutivitas penambahan Templat:Math dan Templat:Math. Artinya, setiap koset kiri Templat:Mvar juga merupakan koset kanan, jadi Templat:Mvar adalah subgrup normal. (Argumen yang sama menunjukkan bahwa setiap subgrup Abelian adalah normal.)

Contoh ini dapat digeneralisasikan. Sekali lagi biarkan Templat:Math menjadi grup aditif dari bilangan bulat, Templat:Math, dan sekarang biarkan Templat:Math subgrup Templat:Math, dengan Templat:Math adalah bilangan bulat positif. Maka koset dari Templat:Math dalam Templat:Math adalah himpunan Templat:Math Templat:Math, Templat:Math, ..., Templat:Math, dimana Templat:Math}. Tidak lebih dari Templat:Math Kohimpunan, karena Templat:Math. Kohimpunan Templat:Math adalah kelas kesesuaian dari Templat:Math ke modulo Templat:Math. Subgrup Templat:Mvar normal Templat:Mvar, dan dengan demikian, dapat digunakan untuk membentuk kelompok hasil bagi Templat:Mvar kelompok bilangan bulat mod m.

Vektor

Contoh lain dari berasal dari teori ruang vektor. Unsur-unsur (vektor) ruang vektor membentuk gruo abelian di bawah penjumlahan vektor. subruang dari ruang vektor adalah subgrup dari grup ini. Untuk ruang vektor Templat:Math, subruang Templat:Math, dan vektor tetap Templat:Vec pada Templat:Math, himpunan nya

$\{\overrightarrow{x}\in V:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{w},\overrightarrow{w}\in W\}$

disebut affine subspace s, dan merupakan coset (kiri dan kanan, karena grupnya abelian). Dalam hal vektor 3 dimensi geometris, subruang affine ini adalah semua "garis" atau "bidang" paralel ke subruang, yang merupakan garis atau bidang yang melewati titik asal. Misalnya, perhatikan bidang ℝ². Jika Templat:Mvar adalah garis melalui asal Templat:Mvar, maka Templat:Mvar adalah subgrup dari grup abelian ℝ². Jika Templat:Mvar masuk ℝ², maka kohimpunan Templat:Math adalah garis Templat:Mvar sejajar dengan Templat:Mvar dan melewati Templat:Mvar.

Matriks

Misalkan Templat:Mvar adalah kelompok matriks perkalian,

$G=\{\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ b& 1\end{array}\right]:a,b\in ℝ,a\ne 0\},$

dan subgrup Templat:Mvar dari Templat:Mvar,

$H=\{\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ c& 1\end{array}\right]:c\in ℝ\}.$

Untuk elemen tetap dari Templat:Mvar pertimbangkan kohimpunan kiri

$\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ b& 1\end{array}\right]H=& \{\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ b& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ c& 1\end{array}\right]:c\in ℝ\}\\ =& \{\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ b+c& 1\end{array}\right]:c\in ℝ\}\\ =& \{\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ d& 1\end{array}\right]:d\in ℝ\}.\end{array}$

Artinya, koset kiri terdiri dari semua matriks di Templat:Mvar yang memiliki entri kiri atas yang sama. Subgrup ini Templat:Mvar normal di Templat:Mvar, tetapi subgrup

$T=\{\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& 1\end{array}\right]:a\in ℝ-\{0\}\}$

tidak normal pada Templat:Mvar.

Sebagai orbit dari tindakan grup

Subgrup Templat:Mvar dari grup Templat:Mvar bisa digunakan untuk mendefinisikan aksi dari Templat:Mvar pada Templat:Mvar di dua cara alami. tindakan kanan, Templat:Math diberikan oleh Templat:Math atau tindakan kiri, Templat:Math diberikan oleh Templat:Math. orbit dari Templat:Mvar di bawah aksi kanan adalah kohimpunan kiri Templat:Mvar, sedangkan orbit di bawah aksi kiri adalah kohimpunan kanan Templat:Mvar.

Sejarah

Konsep koset berasal dari karya Galois tahun 1830-31. Dia memperkenalkan notasi tetapi tidak memberikan nama untuk konsep tersebut. Istilah "co-set" muncul untuk pertama kalinya pada tahun 1910 dalam makalah oleh G. A. Miller di Quarterly Journal of Mathmatics (vol. 41, p. 382). Berbagai istilah lain telah digunakan termasuk jerman Nebengruppen (Weber) dan grup konjugasi (Burnside).

Galois prihatin dengan menentukan kapan persamaan polinomial tertentu dapat diselesaikan dari radikal. Sebuah alat yang dia kembangkan adalah dengan mencatat bahwa subkelompok Templat:Mvar dari sekelompok permutasi Templat:Mvar menginduksi dua dekomposisi Templat:Mvar (apa yang kita sekarang kohimpunan kiri dan kanan). Jika dekomposisi ini bertepatan, yaitu jika koset kiri sama dengan kohimpunan kanan, lalu ada cara untuk mengurangi masalah menjadi salah satu dengan mengerjakan Templat:Mvar, bukan Templat:Mvar. Camille Jordan dalam komentarnya tentang karya Galois pada tahun 1865 dan 1869 menguraikan ide-ide ini dan mendefinisikan subkelompok normal seperti yang telah kita bahas di atas, meskipun dia tidak menggunakan istilah ini.

Lihat pula

• Heap
• Pencacahan kohimpunan

Referensi

• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation

Bacaan lebih lanjut

• Templat:Citation

Pranala luar

• Templat:MathWorld
• Templat:MathWorld
• Templat:MathWorld
• Templat:Springer
• Templat:PlanetMath
• Illustrated examples
• Templat:Cite web