Teorema Lagrange (teori grup)

G adalah grup $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$, bilangan bulat mod 8 sebagai tambahan. Subkelompok H hanya berisi 0 dan 4, dan bersifat isomorfik $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Ada empat koset kiri H: H itu sendiri, 1 + H, 2 + H, dan 3 + H (ditulis menggunakan notasi aditif karena ini adalah grup aditif). Bersama-sama mereka mempartisi seluruh grup G menjadi set yang berukuran sama dan tidak tumpang tindih. Jadi indeks [G: H] adalah 4.

Teorema Lagrange, dalam teori grup, bagian dari matematika, menyatakan bahwa jika Templat:Mvar adalah subgrup dari grup terbatas Templat:Mvar, maka urutan dari Templat:Mvar membagi urutan Templat:Mvar (urutan grup adalah jumlah elemen yang dimilikinya). Teorema ini dinamai Joseph-Louis Lagrange. Varian berikut juga mengidentifikasi rasio $|G|/|H|$, sebagai indeks Templat:Math, didefinisikan sebagai jumlah kohimpunan kiri dari Templat:Mvar dalam Templat:Mvar. Templat:Math theorem Varian ini berlaku meskipun Templat:Mvar tidak terbatas, asalkan $|G|$, $|H|$, dan Templat:Math ditafsirkan sebagai bilangan kardinal.

Bukti

Coset kiri dari Templat:Mvar di Templat:Mvar adalah kelas ekivalen dari hubungan ekivalen tertentu pada Templat:Mvar: khusus, panggil Templat:Mvar dan Templat:Mvar di Templat:Mvar setara jika ada Templat:Mvar di Templat:Mvar sedemikian rupa sehingga Templat:Math. Oleh karena itu koset kiri membentuk partisi dari Templat:Mvar. Setiap koset kiri Templat:Math memiliki kardinalitas yang sama dengan Templat:Mvar karena $x\mapsto ax$ mendefinisikan kebijaksanaan $H\to aH$ (the inverse is $y\mapsto a^{-1}y$). Jumlah koset kiri adalah indeks Templat:Math. Dengan tiga kalimat sebelumnya,

$\left|G\right|=[G:H]\cdot \left|H\right|.$

Ekstensi

Teorema Lagrange dapat diperluas ke persamaan indeks antara tiga subgrup Templat:Mvar. Templat:Math theorem Templat:Math proof Jika kita ambil Templat:Math (Templat:Mvar adalah elemen identitas dari Templat:Mvar), lalu Templat:Math dan Templat:Math. Oleh karena itu kita dapat memulihkan persamaan aslinya Templat:Math.

Aplikasi

Konsekuensi dari teorema ini adalah bahwa urutan elemen apa pun Templat:Mvar dari grup berhingga (yaitu bilangan bulat positif terkecil Templat:Mvar dengan Templat:Math, di mana Templat:Mvar adalah elemen identitas grup) membagi urutan grup itu, karena urutan Templat:Mvar sama dengan urutan subgrup siklik dihasilkan dari Templat:Mvar. Jika grup memiliki elemen Templat:Mvar, maka grup akan mengikuti

$a^n=e\text{.}$

Ini dapat digunakan untuk membuktikan teorema kecil Fermat dan generalisasinya, Teorema Euler. Kasus-kasus khusus ini telah diketahui jauh sebelum teorema umum dibuktikan.

Teorema ini juga menunjukkan bahwa setiap kelompok orde utama adalah siklik dan sederhana. Hal ini pada gilirannya dapat digunakan untuk membuktikan teorema Wilson, bahwa jika Templat:Mvar adalah bilangan prima maka Templat:Mvar adalah faktor dari $(p-1)!+1$.

Teorema Lagrange juga dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa ada banyak bilangan prima yang tak terhingga: jika ada bilangan prima terbesar Templat:Mvar, kemudian pembagi prima Templat:Mvar dari bilangan Mersenne $2^p-1$ akan menjadi sedemikian rupa sehingga urutan Templat:Math dalam grup perkalian $(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}{)}^{*}$ (lihat aritmatika modular) membagi urutan $(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}{)}^{*}$, yaitu $q-1$. Karenanya Templat:Math, bertentangan dengan asumsi bahwa Templat:Mvar adalah bilangan prima terbesar.

Keberadaan subkelompok dengan urutan tertentu

Teorema Lagrange memunculkan pertanyaan sebaliknya, apakah setiap pembagi urutan suatu kelompok adalah urutan dari suatu subgrup. Ini tidak berlaku secara umum: diberi grup terbatas G dan pembagi d dari |G|, belum tentu ada subgrup G dengan urutan d . Contoh terkecil adalah A₄ (grup bergantian dengan derajat 4), yang memiliki 12 elemen tetapi tidak ada subgrup berorde 6.

"Kebalikan dari Teorema Lagrange "(CLT) grup adalah grup berhingga dengan properti bahwa untuk setiap pembagi dari urutan grup, ada subkelompok dari urutan. Diketahui bahwa grup CLT harus solvable dan setiap grup selesaikan adalah grup CLT. Namun, terdapat grup yang dapat dipecahkan yang bukan CLT (misalnya, A ₄ ) dan grup CLT yang tidak dapat diselesaikan (misalnya, S _{4 </ sub>, kelompok simetris derajat 4).}

Ada sebagian percakapan dalam teorema Lagrange. Untuk kelompok umum, Teorema Cauchy menjamin keberadaan suatu unsur, dan karenanya dari subkelompok siklik, dengan urutan bilangan prima apa pun yang membagi urutan grup. Teorema Sylow memperluas hal ini hingga keberadaan subkelompok ordo yang sama dengan pangkat maksimal bilangan prima apa pun yang membagi ordo grup. Untuk grup yang dapat dipecahkan, Teorema Hall menegaskan keberadaan subgrup ordo yang sama dengan pembagi kesatuan mana pun dari urutan grup (yaitu, coprime pembagi untuk itu

Contoh kebalikan dari kebalikan dari teorema Lagrange

Kebalikan dari teorema Lagrange menyatakan bahwa jika Templat:Mvar adalah pembagi dari urutan grup Templat:Mvar, maka terdapat subgrup dimana Templat:Math.

Jika memeriksa grup bergantian Templat:Math, himpunan genap permutasi sebagai subgrup dari Grup simetris Templat:Math.

Templat:Math.

Templat:Math jadi pembaginya adalah Templat:Math. Asumsikan sebaliknya bahwa terdapat subgrup Templat:Mvar pada Templat:Math dengan Templat:Math.

Misalkan Templat:Mvar menjadi subgrup non-cyclic dari Templat:Math yang disebut [[Klein empat grup] ].

Templat:Math.

Maka Templat:Math. Karena Templat:Mvar dan Templat:Mvar adalah subgrup dari Templat:Math, Templat:Mvar juga merupakan subgrup dari Templat:Math.

Dari teorema Lagrange, urutan Templat:Mvar harus membagi Templat:Math dan Templat:Math, urutan Templat:Mvar dan {{mvar | V} } masing-masing. Dua bilangan bulat positif yang membagi Templat:Math dan Templat:Math adalah Templat:Math dan Templat:Math. Begitu Templat:Math atau Templat:Math.

Menganggap Templat:Math, menjadi Templat:Math. Jika Templat:Mvar tidak berbagi elemen apa pun dengan Templat:Mvar, maka 5 elemen di Templat:Mvar selain Elemen identitas Templat:Mvar harus menjadi dari bentuk Templat:Math dimana Templat:Math adalah elemen berbeda di Templat:Math.

Karena setiap elemen bentuk Templat:Math kuadrat adalah Templat:Math, dan Templat:Math, any element of Templat:Mvar dalam bentuk Templat:Math harus dipasangkan dengan kebalikannya. Secara khusus, 5 elemen yang tersisa dari Templat:Mvar harus berasal dari pasangan elemen yang berbeda di Templat:Math yang tidak ada di Templat:Mvar. Hal ini tidak mungkin karena pasangan elemen harus genap dan tidak dapat berjumlah hingga 5 elemen. Jadi, asumsi Templat:Math salah, jadi Templat:Math.

Kemudian, Templat:Math dimana Templat:Math, Templat:Mvar harus dalam bentuk Templat:Math dimana Templat:Mvar adalah elemen yang berbeda dari Templat:Math. Empat elemen lainnya dalam Templat:Mvar adalah siklus dengan panjang 3.

Perhatikan bahwa coset dihasilkan oleh subgrup grup adalah partisi dari grup. Koset yang dihasilkan oleh subgrup tertentu bisa identik satu sama lain atau disjoint. Indeks subgrup dalam satu grup Templat:Math adalah jumlah koset yang dihasilkan oleh subkelompok itu. Karena Templat:Math and Templat:Math, Templat:Mvar akan menghasilkan dua koset kiri, yang satu sama dengan Templat:Mvar dan yang lainnya, Templat:Mvar, yang panjangnya 6 dan menyertakan semua elemen di Templat:Math tidak termasuk Templat:Mvar.

Karena hanya ada 2 koset berbeda yang dihasilkan oleh Templat:Mvar, maka Templat:Mvar harus normal. Karena, Templat:Math. Secara khusus, ini benar untuk Templat:Math. Karena Templat:Math.

Tanpa kehilangan keumuman, asumsikan Templat:Math. Kemudian Templat:Math. Bertransformasi kembali, kita dapatkan Templat:Math. Karena Templat:Mvar berisi semua transposisi terputus-putus dalam Templat:Math, Templat:Math. Hence, Templat:Math.

Karena Templat:Math, kami telah menunjukkan bahwa ada elemen ketiga di Templat:Mvar. Tapi sebelumnya kami berasumsi seperti itu Templat:Math, jadi kami memiliki kontradiksi.

Oleh karena itu, asumsi awal kita bahwa ada subgrup berorde 6 tidak benar dan akibatnya tidak ada subgrup orde 6 pada Templat:Math dan kebalikan dari teorema Lagrange belum tentu benar. Q.E.D.

Sejarah

Lagrange tidak membuktikan teorema Lagrange dalam bentuk umumnya. Ia menyatakan, dalam artikelnya tentangRéflexions sur la résolution algébrique des équations, bahwa jika polinomial dalam variabel Templat:Mvar variabelnya diubah dalam semua cara Templat:Math, jumlah polinomial berbeda yang diperoleh selalu merupakan faktor dari Templat:Math. (Misalnya, jika variabel Templat:Mvar, Templat:Mvar, dan Templat:Mvar diubah dalam 6 kemungkinan cara dalam polinomial Templat:Math maka kami mendapatkan total 3 polinomial berbeda: Templat:Math. Perhatikan bahwa 3 adalah faktor 6.) Banyaknya polinomial tersebut adalah indeks dalam grup simetris Templat:Math dari subkelompok Templat:Mvar dari permutasi yang mempertahankan polinomial. (Misalnya Templat:Math, subgrup Templat:Mvar pada Templat:Math berisi identitas dan transposisi Templat:Math.) So the size of Templat:Mvar membagi Templat:Math. Dengan perkembangan kelompok abstrak kemudian, hasil Lagrange pada polinomial ini diakui untuk memperluas teorema umum tentang kelompok hingga yang sekarang menyandang namanya.

Dalam miliknya Disquisitiones Arithmeticae pada tahun 1801, Carl Friedrich Gauss membuktikan teorema Lagrange untuk kasus khusus $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{*}$, kelompok perkalian bilangan bulat bukan nol modulo Templat:Mvar, dengan Templat:Mvar adalah bilangan prima. In 1844, Augustin-Louis Cauchy proved Lagrange's theorem for the symmetric group Templat:Math.

Camille Jordan akhirnya membuktikan teorema Lagrange untuk kasus grup permutasi mana pun pada tahun 1861.

Referensi

• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation

Pranala luar

• Templat:MathWorld