Geometri aljabar

Permukaan Togliatti ini adalah permukaan aljabar derajat lima. Gambar tersebut mewakili sebagian dari lokus aslinya.

Geometri aljabar merupakan cabang matematika yang mempelajari akar dari suatu suku banyak. Dalam kajian modern, digunakan berbagai alat dari aljabar abstrak seperti aljabar komutatif dan teori kategori. Studi geometri aljabar dilakukan dengan mengonstruksi suatu objek matematika (misalnya, skema dan sheaf) lalu kemudian meninjau hubungannya dengan struktur yang sudah dikenal. Berbagai alat ini dibuat untuk membantu memahami permasalahan mendasar terkait geometri.

Salah satu objek fundamental dalam studi geometri aljabar adalah varietas aljabarik yang merupakan manifestasi geometris dari akar suatu sistem suku banyak. Dari struktur ini, dapat dikaji berbagai kurva aljabarik seperti garis, parabola, elips, kurva eliptik dan lain-lain.

Geometri aljabar merupakan salah satu topik sentral dalam matematika dengan berbagai topik terkait seperti analisis kompleks, topologi, teori bilangan, teori kategori, dan lain-lain.

Geometri aljabar menempati tempat sentral dalam matematika modern dan memiliki beberapa hubungan konseptual dengan berbagai bidang seperti analisis kompleks, topologi dan teori bilangan. Awalnya studi tentang sistem persamaan polinomial dalam beberapa variabel, subjek geometri aljabar dimulai di mana pemecahan persamaan berhenti, ini mengarah ke beberapa daerah terdalam dalam semua matematika, baik secara konseptual maupun dalam istilah teknik.

Pada abad ke-20, geometri aljabar terpecah menjadi beberapa subdaerah.

• Arus utama geometri aljabar dikhususkan untuk mempelajari titik-titik kompleks dari varietas aljabar dan lebih umum lagi pada titik-titik dengan koordinat dalam bidang tertutup aljabar.
• Geometri aljabar real adalah ilmu yang mempelajari titik-titik real dari suatu ragam aljabar.
• Geometri Diofantin dan, secara lebih umum, geometri aritmetika adalah studi tentang titik varietas aljabar dengan koordinat di bidang yang tidak tertutup secara aljabar dan terjadi di teori bilangan aljabar, seperti bidang bilangan rasional, bidang bilangan, bidang terbatas, bidang fungsi, dan bilangan p-adik.
• Sebagian besar teori singularitas dikhususkan untuk singularitas varietas aljabar.
• Geometri aljabar komputasi adalah area yang muncul di persimpangan geometri aljabar dan aljabar komputer, dengan munculnya komputer. Ini terutama terdiri dari algoritme desain dan perangkat lunak pengembangan untuk mempelajari sifat dari varietas aljabar yang diberikan secara eksplisit.

Banyak perkembangan arus utama geometri aljabar di abad ke-20 terjadi dalam kerangka aljabar abstrak, dengan peningkatan penekanan ditempatkan pada sifat "intrinsik" dari varietas aljabar yang tidak bergantung pada cara tertentu untuk menanamkan varietas dalam ruang koordinat ambien; ini paralel dengan perkembangan dalam topologi, diferensial dan geometri kompleks. Salah satu pencapaian utama geometri aljabar abstrak ini adalah Grothendieck pada teori skema yang memungkinkan salah satunya untuk menggunakan teori gemal untuk mempelajari varietas aljabar dengan cara yang sangat mirip dengan penggunaannya dalam studi lipatan diferensial dan analitik. Ini diperoleh dengan memperluas pengertian titik: Dalam geometri aljabar klasik, titik dari varietas afin dapat diidentifikasi, melalui Hilbert Nullstellensatz, dengan ideal maksimal dari gelanggang koordinat, sedangkan titik dari skema afin yang sesuai adalah semua ideal utama dari gelanggang ini. Ini berarti bahwa titik dari skema seperti itu dapat berupa titik biasa atau subvarietas. Pendekatan ini juga memungkinkan penyatuan bahasa dan alat geometri aljabar klasik, terutama berkaitan dengan titik kompleks, dan teori bilangan aljabar. Bukti Wiles dari konjektur lema yang disebut Teorema terakhir Fermat adalah contoh kekuatan pendekatan ini.

Pengertian dasar

Angka nol dari polinomial simultan

Bola dan lingkaran miring

Dalam geometri aljabar klasik, objek utama yang menarik adalah kumpulan kumpulan polinomial yang hilang, artinya himpunan semua titik yang secara bersamaan memenuhi satu atau lebih persamaan polinomial. Misalnya, dua dimensi pada bola dengan jari-jari 1 dalam tiga dimensi dalam Ruang Euklides ${ℝ}^3$ dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik $(x,y,z)$ dengan

$x^2+y^2+z^2-1=0.$

Lingkaran "miring" pafd ${ℝ}^3$ dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik $(x,y,z)$ yang memenuhi dua persamaan polinomial

$x^2+y^2+z^2-1=0,$

$x+y+z=0.$

Varietas afin

Pertama kita mulai dengan bidang $k$. Dalam geometri aljabar klasik, bidang ini selalu berupa bilangan kompleks $ℂ$, tetapi banyak dari hasil yang sama benar jika kita mengasumsikan bahwa $k$ saja tertutup secara aljabar. Kita menganggap ruang afin dari dimensi $n$ atas $k$, dilambangkan ${𝐀}^n(k)$ (atau lebih sederhananya ${𝐀}^n$, ketika $k$ jelas dari konteksnya). Ketika salah satunya menetapkan sistem koordinat, salah satunya dapat mengidentifikasi ${𝐀}^n(k)$ dengan $k^n$. Tujuan tidak bekerja dengan $k^n$ adalah untuk menekankan bahwa salah satunya "melakukan" sesuatu dengan struktur ruang vektor pada $k^n$.

Fungsi $f:{𝐀}^n\to {𝐀}^1$ dikatakan sebagai polinomial (atau regular) jika dapat ditulis dengan polinomial, yaitu jika pada polinomial $p$ maka $k[x_1,\dots ,x_n]$ merupakan $f(M)=p(t_1,\dots ,t_n)$ untuk titik $M$ dengan koordinat $(t_1,\dots ,t_n)$ di ${𝐀}^n$. Sifat suatu fungsi menjadi polinomial (atau beraturan) tidak bergantung pada pilihan sistem koordinat di ${𝐀}^n$.

Ketika sistem koordinat dipilih, fungsi beraturan pada $n$ sebagai ruang afin dapat diidentifikasi dengan gelanggang fungsi polinomial dalam variabel $n$ pada $k$. Oleh karena itu, himpunan fungsi beraturan pada ${𝐀}^n$ adalah sebuah gelanggang yang dilambangkan $k[{𝐀}^n]$.

Kita mengatakan bahwa polinomial lenyap pada suatu titik jika mengevaluasinya pada titik tersebut menghasilkan nol. Misalkan $S$ adalah kumpulan polinomial masuk $k[{𝐀}^n]$. Himpunan lenyap dari $S$ atau himpunan nol adalah himpunan $V(S)$ dari semua titik di Aⁿ di mana setiap polinomial pada $S$. Secara simbolis,

$V(S)=\{(t_1,\dots ,t_n)\mid p(t_1,\dots ,t_n)=0\text{ untuk semua }p\in S\}.$

Bagian dari ${𝐀}^n$ yang mana adalah $V(S)$, untuk suatu $S$, disebut himpunan aljabar. $V$ adalah singkatan dari varietas (jenis himpunan aljabar tertentu akan didefinisikan di bawah).

Jawaban untuk pertanyaan pertama disediakan dengan memperkenalkan topologi Zariski, sebuah topologi aktif ${𝐀}^n$ yang himpunan tertutupnya adalah himpunan aljabar, dan yang secara langsung mencerminkan struktur aljabar $k[{𝐀}^n]$. Kemudian $U=V(I(U))$ adalah $U$ bagian himpunan aljabar atau ekuivalen dengan himpunan tertutup Zariski. Jawaban untuk pertanyaan kedua diberikan oleh Hilbert's Nullstellensatz. Dalam salah satu bentuknya, dikatakan demikian $I(V(S))$ adalah radikal dari ideal yang dihasilkan oleh $S$. Dalam bahasa yang lebih abstrak, ada koneksi Galois, yang memunculkan dua operator penutupan; mereka dapat diidentifikasi, dan secara alami memainkan peran dasar dalam teori; contoh diuraikan pada koneksi Galois.

Untuk berbagai alasan kita mungkin tidak selalu ingin bekerja dengan seluruh ideal yang sesuai dengan himpunan aljabar $U$. Teorema dasar Hilbert menyiratkan bahwa ideal dalam $k[{𝐀}^n]$ selalu terbangkit hingga.

Beberapa penulis tidak membuat perbedaan yang jelas antara himpunan aljabar dan varietas dan menggunakan varietas taktereduksi untuk membuat perbedaan bila diperlukan.

Fungsi beraturan

Sama seperti fungsi kontinu adalah peta alami pada ruang topologi dan fungsi mulus adalah peta alami pada manifold diferensial, terdapat kelas fungsi alami pada himpunan aljabar, yang disebut fungsi beraturan atau fungsi polinomial . fungsi beraturan pada himpunan aljabar $V$ yang terdapat di ${𝐀}^n$ adalah batasan untuk $V$ dari fungsi beraturan di ${𝐀}^n$. Untuk himpunan aljabar yang ditentukan pada bidang bilangan kompleks, fungsi beraturannya adalah mulus dan genap analitik.

Mungkin tampak membatasi secara tidak wajar untuk mensyaratkan bahwa fungsi beraturan selalu diperluas ke ruang sekitar, tetapi sangat mirip dengan situasi pada normal ruang topologi, dimana Teorema keberadaan Tietze menjamin bahwa fungsi kontinu pada himpunan bagian tertutup selalu meluas ke ruang topologi sekitar.

Seperti halnya fungsi beraturan pada ruang afin, fungsi beraturan pada $V$ membentuk sebuah gelanggang, yang kita nyatakan dengan $k[V]$. Gelanggang ini disebut koordinat gelanggang dari $V$ .

Geometri aljabar real

Geometri aljabar real adalah ilmu yang mempelajari titik-titik real dari varietas aljabar.

Fakta bahwa bidang bilangan real adalah bidang terurut tidak dapat diabaikan dalam studi semacam itu. Misalnya, kurva persamaan $x^2+y^2-a=0$ adalah lingkaran jika $a>0$, tetapi tidak memiliki titik real jika $a<0$. Oleh karena itu, geometri aljabar real tidak hanya mempelajari varietas aljabar real, tetapi telah digeneralisasikan untuk mempelajari himpunan semi-aljabar, yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan polinomial dan pertidaksamaan polinomial. Misalnya, cabang dari persamaan hiperbola $xy-1=0$ bukan ragam aljabar, tetapi himpunan semi-aljabar yang didefinisikan oleh $xy-1=0$ dan $x>0$ atau oleh $xy-1=0$ dan $x+y>0$.

Salah satu masalah yang menantang dari geometri aljabar real adalah masalah keenam belas Hilbert yang takterpecahkan: Tentukan posisi masing-masing yang mungkin untuk oval dari kurva bidang taksingular.

Geometri aljabar komputasi

Basis Gröbner

Templat:Bagian kosong

Kompleksitas asimtotik vs. efisiensi praktis

Algoritme umum dasar dari geometri komputasi memiliki kasus terburuk eksponensial ganda kompleksitas. Lebih tepatnya, jika $d$ adalah derajat maksimal dari polinomial masukan dan $n$ jumlah variabel, kompleksitasnya paling banyak. $d^{2^{cn}}$ untuk beberapa konstanta $c$, dan, untuk beberapa masukan, paling tidak kompleksitasnya $d^{2^{c^{\prime }n}}$ untuk konstanta $c^{\prime }$ lainnya.

Selama 20 tahun terakhir abad ke-20, berbagai algoritme telah diperkenalkan untuk menyelesaikan sub-masalah tertentu dengan kompleksitas yang lebih baik. Sebagian besar algoritme ini memiliki kompleksitas $d^{O(n^2)}$.Templat:Citation needed

Di antara algoritme ini yang memecahkan submasalah dari masalah yang dipecahkan oleh basis Gröbner, salah satunya dapat mengutip pengujian jika varietas afin kosong dan menyelesaikan sistem polinomial takhomogen. Algoritme semacam itu jarang diterapkan karena, pada sebagian besar entri Algoritme F4 dan F5 Faugère memiliki efisiensi praktis yang lebih baik dan mungkin kompleksitas yang serupa atau lebih baik (mungkin karena evaluasi kompleksitas algoritma dasar Gröbner pada kelas entri tertentu adalah tugas yang sulit yang telah dilakukan hanya dalam beberapa kasus khusus).

Algoritme utama geometri aljabar real yang memecahkan masalah yang diselesaikan dengan CAD berhubungan dengan topologi himpunan semi-aljabar. Salah satunya mungkin mengutip menghitung jumlah komponen yang terhubung, menguji jika dua titik berada dalam komponen yang sama atau menghitung stratifikasi Whitney dari himpunan aljabar real . Mereka memiliki kompleksitas $d^{O(n^2)}$, tetapi konstanta yang terlibat oleh notasi $O$ begitu tinggi sehingga menggunakannya untuk memecahkan masalah taktrivial yang secara efektif diselesaikan oleh CAD, tidak mungkin bahkan jika salah satunya dapat menggunakan semua daya komputasi yang ada. Oleh karena itu, algoritme ini belum pernah diimplementasikan dan ini merupakan area penelitian aktif untuk mencari algoritme yang memiliki kompleksitas asimtotik yang baik dan efisiensi praktis yang baik.

Lihat pula

• Statistik aljabar
• Geometri diferensial
• Geometri kompleks
• Aljabar geometri
• Glosarium geometri aljabar klasik
• Teori irisan
• Terbitan penting dalam geometri aljabar
• Daftar permukaan aljabar
• Geometri aljabar takkomutatif
• Teori Diffieti
• Geometri aljabar diferensial
• Geometri aljabar real
• Aljabar taklinear

Daftar pustaka

• Templat:Cite book

Bacaan lebih lanjut

Beberapa buku teks klasik yang mendahului skema

• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book

Modern textbooks that do not use the language of schemes

• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book

Textbooks in computational algebraic geometry

• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book

Textbooks and references for schemes

• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book

Pranala luar

• Dasar-dasar Geometri Aljabar oleh Ravi Vakil, 808 pp. Templat:Webarchive
• Geometri aljabar di PlanetMath
• Terjemahan bahasa Inggris dari buku teks van der Waerden Templat:Webarchive
• Templat:Cite web
• The Stacks Project Templat:Webarchive, sebuah buku teks open source dan referensi bekerja pada tumpukan aljabar dan geometri aljabar