Deret Taylor

Seiring dengan meningkatnya orde, polinomial Taylor mendekati fungsi yang dihampirinya. Gambar ini menunjukkan $\sin x$ (in black) and hampiran Taylor, polinomial orde 1, 3, 5, 7, 9, 11 and 13.

Fungsi eksponensial (warna biru), dan jumlahan suku ke n+1 awal deret Taylornya di titik 0 and (warna merah).

Deret Taylor dalam matematika adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polinomial Taylor. Deret Taylor mendapat nama dari matematikawan Inggris Brook Taylor. Bila deret tersebut terpusat di titik nol, deret tersebut dinamakan sebagai deret Maclaurin, dari nama matematikawan Skotlandia Colin Maclaurin

Definisi

Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks f(x) yang terdiferensialkan takhingga dalam sebuah pemetaan sebuah bilangan riil atau kompleks a adalah deret pangkat

$f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots$

yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$

dengan n! melambangkan faktorial n dan f ⁽ⁿ⁾(a) melambangkan nilai dari turunan ke-n dari f pada titik a. Turunan kenol dari f didefinisikan sebagai f itu sendiri, dan Templat:Nowrap dan 0! didefinisikan sebagai 1.

Dalam kasus khusus di mana a = 0, deret ini disebut juga sebagai Deret Maclaurin.

Kesalahan perkiraan dan konvergensi

Fungsi sinus (biru) sangat dekat dengan polinomial Taylor derajat 7 (merah muda) untuk periode penuh yang berpusat pada titik asal.

Polinomial Taylor untuk Templat:Math hanya memberikan perkiraan yang akurat dalam rentang tersebut Templat:Math. Untuk Templat:Math, Polinomial Taylor dengan derajat yang lebih tinggi memberikan perkiraan yang lebih buruk.

Perkiraan Taylor untuk Templat:Math (black). Untuk Templat:Math, perkiraannya berbeda.

Gambar di sebelah kanan adalah perkiraan yang akurat dari Templat:Math sekitar intinya Templat:Math. Kurva merah muda adalah polinomial derajat tujuh:

$\sin \left(x\right)\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}.$

Kesalahan dalam perkiraan tersebut tidak lebih dari nilai Templat:Math. Secara khusus, untuk nilai Templat:Math, kesalahannya kurang dari 0.000003.

Sebaliknya, ditampilkan juga gambar dari fungsi logaritma natural pada nilai Templat:Math dan beberapa polinomial Taylor di sekitar nilai Templat:Math. Perkiraan tersebut menyatu dengan fungsi dari Templat:Math; di luar wilayah tersebut polinomial Taylor derajat yang lebih tinggi berada lebih buruk perkiraan untuk fungsi tersebut. Hal tersebut mirip dengan Fenomena anak tangga.Templat:Citation needed

Masalah yang terjadi saat mendekati fungsi dengan nilai Templat:Mvar Pada Polinomial Taylor dari derajat disebut sisa atau residual dan dilambangkan dengan fungsinya Templat:Math. Teorema Taylor dapat digunakan untuk mendapatkan batasan ukuran sisanya.

Secara umum, deret Taylor sama sekali tidak perlu menggunakan konvergen. Dan sebenarnya himpunan fungsi dengan deret Taylor konvergen adalah himpunan kecil di ruang Fréchet dari fungsi mulus. Dan bahkan jika deret Taylor memiliki fungsi Templat:Mvar konvergen, batasnya secara umum tidak perlu sama dengan nilai fungsinya Templat:Math. Misalnya Fungsi

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-\frac{1}{x^2}}& \text{if }x\ne 0\\ 0& \text{if }x=0\end{array}$

Secara lebih umum, setiap urutan bilangan real atau kompleks dapat muncul sebagai koefisien dalam deret Taylor dari fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata, konsekuensi dari lemma Borel. Akibatnya, radius konvergensi deret Taylor bisa menjadi nilai nol. Bahkan ada fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata yang deret Taylor-nya memiliki radius konvergensi 0 di mana-mana.

Generalisasi

Namun demikian, ada generalisasi dari deret Taylor yang konvergen ke nilai fungsi itu sendiri untuk setiap terikat dari fungsi kontinu pada nilai Templat:Math, menggunakan kalkulus beda hingga. Secara khusus, seseorang memiliki teorema berikut, karena Einar Hille, bahwa untuk apa saja Templat:Math,

$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n}{n!}\frac{{\mathrm{\Delta }}_h^{n}f(a)}{h^n}=f(a+t).$

Darimana nilai Templat:Math adalah Templat:Mvar Pada operator perbedaan hingga dengan ukuran langkah Templat:Mvar. Deret tersebut persis seperti deret Taylor, kecuali perbedaan yang terbagi muncul sebagai pengganti diferensiasi: deret ini secara formal mirip dengan deret Newton. Saat fungsinya Templat:Mvar bersifat analitik di Templat:Mvar, istilah dalam deret bertemu dengan istilah deret Taylor, dan dalam pengertian ini menggeneralisasi deret Taylor biasa.

Secara umum, untuk urutan tak terbatas apa pun Templat:Math, identitas deret pangkat berikut berlaku:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{u^n}{n!}{\mathrm{\Delta }}^n{a}_i=e^{-u}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{u^j}{j!}{a}_{i+j}.$

Jadi secara khusus,

$f(a+t)=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }{e}^{-\frac{t}{h}}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}f(a+jh)\frac{{\left(\frac{t}{h}\right)}^j}{j!}.$

Hukum jumlah besar menyiratkan bahwa identitas memegang.

Daftar seri Maclaurin dari beberapa fungsi umum

Templat:See also Beberapa ekspansi penting seri Maclaurin menyusul. Semua perluasan tersebut valid untuk argumen yang kompleks Templat:Mvar.

Fungsi eksponensial

Fungsi eksponensial Templat:Math (berwarna biru), dan jumlah dari yang pertama Templat:Math persyaratan seri Taylor-nya di 0 (merah).

Fungsi eksponensial pada $e^x$ (dengan basis [[e (matematika)|Templat:Mvar]]) memiliki deret Maclaurin

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$.

Hal tersebut menyatu untuk nilai Templat:Mvar.

Logaritma natural

Logaritma natural (dengan basis [[e (matematika)|Templat:Mvar]]) memiliki deret Maclaurin

$\begin{array}{cc}\ln (1-x)& =-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots ,\\ \ln (1+x)& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots .\end{array}$

Deret geometris

Deret geometris dan turunannya memiliki deret Maclaurin

$\begin{array}{cc}\frac{1}{1-x}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n\\ \frac{1}{(1-x{)}^2}& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{x}^{n-1}\\ \frac{1}{(1-x{)}^3}& =\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n-1)n}{2}{x}^{n-2}.\end{array}$

Semuanya konvergen untuk $|x|<1$. Ini adalah kasus khusus dari of binomial series diberikan di bagian selanjutnya.

Deret Binomial

Deret Binomial adalah deret pangkat

$(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n$

yang koefisiennya adalah koefisien binomial umum

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})=\prod _{k=1}^n\frac{\alpha -k+1}{k}=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}.$

(Jika Templat:Math, produk ini adalah produk kosong dan memiliki nilai 1.) Menyatu $|x|<1$ untuk bilangan real atau kompleks apa pun Templat:Mvar.

Darimana nilai Templat:Math, ini pada dasarnya adalah deret geometri tak hingga yang disebutkan di bagian sebelumnya. Kasus khusus Templat:Math dan Templat:Math berikan fungsi akar kuadrat dan pembalikan:

$\begin{array}{cc}(1+x{)}^{\frac{1}{2}}& =1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{16}{x}^3-\frac{5}{128}{x}^4+\frac{7}{256}{x}^5-\dots ,\\ (1+x{)}^{-\frac{1}{2}}& =1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}{x}^2-\frac{5}{16}{x}^3+\frac{35}{128}{x}^4-\frac{63}{256}{x}^5+\dots .\end{array}$

Jika hanya suku linier yang dipertahankan, ini disederhanakan menjadi perkiraan binomial.

Perkiraan dalam fungsi

Fungsi trigonometri

Fungsi trigonometri biasa dan inversnya memiliki deret Maclaurin berikut:

$\begin{array}{cccccc}\sin x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}& & =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots & & \text{for all }x\\ \cos x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}& & =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots & & \text{for all }x\\ \tan x& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}{x}^{2n-1}& & =x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots & & \text{for }|x|<\frac{\pi }{2}\\ \sec x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{E}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}& & =1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\cdots & & \text{for }|x|<\frac{\pi }{2}\\ \arcsin x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}& & =x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots & & \text{for }|x|\le 1\\ \arccos x& =\frac{\pi }{2}-\arcsin x\\ & =\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}& & =\frac{\pi }{2}-x-\frac{x^3}{6}-\frac{3x^5}{40}-\cdots & & \text{for }|x|\le 1\\ \arctan x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}& & =x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots & & \text{for }|x|\le 1,x\ne \pm i\end{array}$

Semua sudut diekspresikan dalam radian. Angka-angka Templat:Math muncul dalam perluasan Templat:Math adalah angka Bernoulli. Hal itu Templat:Math dalam perluasan Templat:Math adalah nomor Euler.

Fungsi hiperbolik

Fungsi hiperbolik memiliki deret Maclaurin yang terkait erat dengan deret untuk fungsi trigonometri yang sesuai:

$\begin{array}{cccccc}\sinh x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}& & =x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots & & \text{for all }x\\ \cosh x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}& & =1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots & & \text{for all }x\\ \tanh x& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}{4}^n(4^n-1)}{(2n)!}{x}^{2n-1}& & =x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots & & \text{for }|x|<\frac{\pi }{2}\\ \mathrm{arsinh}x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}& & & & \text{for }|x|\le 1\\ \mathrm{artanh}x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}& & & & \text{for }|x|\le 1,x\ne \pm 1\end{array}$

Angka-angka Templat:Math muncul di seri untuk Templat:Math adalah angka Bernoulli.

Deret Taylor sebagai definisi

Templat:Sect-stub Secara klasik, fungsi aljabar s didefinisikan oleh persamaan aljabar, dan fungsi transendental s (termasuk yang dibahas di atas) ditentukan oleh beberapa properti yang mendukungnya, seperti persamaan diferensial. Misalnya, fungsi eksponensial adalah fungsi yang sama dengan turunannya sendiri di mana-mana, dan mengasumsikan nilai 1 di asalnya. Namun, seseorang dapat mendefinisikan fungsi analitik dengan deret Taylor-nya.

Deret Taylor dalam beberapa variabel

Deret Taylor juga dapat digeneralisasikan ke fungsi lebih dari satu variabel dengan

$\begin{array}{cc}T(x_1,\dots ,x_d)& =\sum _{n_1=0}^{\mathrm{\infty }}\cdots \sum _{n_d=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(x_1-a_1{)}^{n_1}\cdots (x_d-a_d{)}^{n_d}}{n_1!\cdots n_d!}\left(\frac{{\partial }^{n_1+\cdots +n_d}f}{\partial x_1^{n_1}\cdots \partial x_d^{n_d}}\right)(a_1,\dots ,a_d)\\ & =f(a_1,\dots ,a_d)+\sum _{j=1}^d\frac{\partial f(a_1,\dots ,a_d)}{\partial x_j}(x_j-a_j)+\frac{1}{2!}\sum _{j=1}^d\sum _{k=1}^d\frac{{\partial }^{2}f(a_1,\dots ,a_d)}{\partial x_j\partial x_k}(x_j-a_j)(x_k-a_k)\\ & +\frac{1}{3!}\sum _{j=1}^d\sum _{k=1}^d\sum _{l=1}^d\frac{{\partial }^{3}f(a_1,\dots ,a_d)}{\partial x_j\partial x_k\partial x_l}(x_j-a_j)(x_k-a_k)(x_l-a_l)+\cdots \end{array}$

Dari contoh di atas, untuk suatu fungsi $f(x,y)$ yang bergantung pada dua variabel, Templat:Mvar dan Templat:Mvar, seri Taylor ke urutan kedua tentang intinya Templat:Math is

$f(a,b)+(x-a)f_x(a,b)+(y-b)f_y(a,b)+\frac{1}{2!}((x-a{)}^2{f}_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b{)}^2{f}_{yy}(a,b))$

di mana subskrip menunjukkan masing-masing turunan parsial.

Ekspansi deret Taylor orde dua dari fungsi nilai skalar lebih dari satu variabel dapat ditulis secara kompak sebagai

$T(𝐱)=f(𝐚)+(𝐱-𝐚{)}^{𝖳}Df(𝐚)+\frac{1}{2!}(𝐱-𝐚{)}^{𝖳}\{D^{2}f(𝐚)\}(𝐱-𝐚)+\cdots ,$

Darimana Templat:Math adalah gradien dari nilai Templat:Mvar dievaluasi pada Templat:Math dan Templat:Math adalah matriks Hessian. Menerapkan notasi multi-indeks deret Taylor untuk beberapa variabel menjadi

$T(𝐱)=\sum _{|\alpha |\ge 0}\frac{(𝐱-𝐚{)}^{\alpha }}{\alpha !}\left({\mathrm{\partial }}^{\alpha }f\right)(𝐚),$

yang harus dipahami sebagai versi multi-indeks yang masih lebih disingkat dari persamaan pertama paragraf ini, dengan analogi penuh untuk kasus variabel tunggal.

Contoh

Pendekatan deret Taylor orde dua (berwarna oranye) dari suatu fungsi Templat:Math di sekitar asalnya.

Untuk menghitung ekspansi deret Taylor orde dua di sekitar titik Templat:Math dari fungsi tersebut

$f(x,y)=e^x\ln (1+y),$

yang pertama menghitung semua turunan parsial yang diperlukan:

$\begin{array}{cc}{f}_x& =e^x\ln (1+y)\\ f_y& =\frac{e^x}{1+y}\\ f_{xx}& =e^x\ln (1+y)\\ f_{yy}& =-\frac{e^x}{(1+y{)}^2}\\ f_{xy}& =f_{yx}=\frac{e^x}{1+y}.\end{array}$

Mengevaluasi turunan ini di asalnya akan menghasilkan koefisien Taylor

$\begin{array}{cc}{f}_x(0,0)& =0\\ f_y(0,0)& =1\\ f_{xx}(0,0)& =0\\ f_{yy}(0,0)& =-1\\ f_{xy}(0,0)& =f_{yx}(0,0)=1.\end{array}$

Mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus umum

$T(x,y)=f(a,b)+(x-a)f_x(a,b)+(y-b)f_y(a,b)+\frac{1}{2!}((x-a{)}^2{f}_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b{)}^2{f}_{yy}(a,b))+\cdots$

menghasilkan

$\begin{array}{cc}T(x,y)& =0+0(x-0)+1(y-0)+\frac{1}{2}(0(x-0{)}^2+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0{)}^2)+\cdots \\ & =y+xy-\frac{y^2}{2}+\cdots \end{array}$

Setelah Templat:Math bersifat analitik Templat:Math, kita punya

$e^x\ln (1+y)=y+xy-\frac{y^2}{2}+\cdots ,|y|<1.$

Contoh

Deret Maclaurin untuk setiap polinomial adalah polinomial itu sendiri.

Deret Maclaurin untuk Templat:Nowrap merupakan deret geometri

$1+x+x^2+x^3+\cdots$

maka deret Taylor untuk x⁻¹ pada Templat:Nowrap adalah

$1-(x-1)+(x-1{)}^2-(x-1{)}^3+\cdots .$

Dengan melakukan integrasi deret Maclaurin di atas, dapat dihitung deret Maclaurin untuk Templat:Nowrap, di mana log melambangkan logaritma natural:

$-x-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4-\cdots$

dan deret Taylor yang bersangkutan untuk log(x) pada Templat:Nowrap adalah

$(x-1)-\frac{1}{2}(x-1{)}^2+\frac{1}{3}(x-1{)}^3-\frac{1}{4}(x-1{)}^4+\cdots ,$

dan lebih umum, deret Taylor yang bersangkutan untuk log(x) pada suatu a = x₀ adalah:

$\log (x_0)+\frac{1}{x_0}(x-x_0)-\frac{1}{x_0^2}\frac{(x-x_0{)}^2}{2}+\cdots .$

Deret Taylor untuk fungsi eksponensial e^x pada a = 0 adalah

$1+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots =1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}.$

Ekspansi di atas berlaku karena derivatif e^x terhadap x juga adalah e^x dan e⁰ sama dengan 1. Ini menyisakan elemen Templat:Nowrap pada numerator dan n! pada denominator untuk setiap elemen dalam jumlah tak terhingga.

Lihat pula

• Teorema Taylor
• Deret pangkat
• Teorema nilai purata

Referensi

• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation

Pranala luar

• Templat:MathWorld
• Taylor Series Representation Module by John H. Mathews
• "Discussion of the Parker-Sochacki Method Templat:Webarchive"
• minea.org
• Another Taylor visualisation Templat:Webarchive - where you can choose the point of the approximation and the number of derivatives
• Taylor series revisited for numerical methods pada Numerical Methods for the STEM Undergraduate