Turunan parsial

Artikel ini dalam proses penambahan

Dalam matematika, turunan parsial sebuah fungsi matematika peubah banyak adalah turunannya terhadap salah satu peubah (variabel) dengan peubah lainnya dipertahankan (konstan). Ini dibedakan dengan turunan total, yang membolehkan semua variabelnya untuk berubah. Turunan parsial berguna dalam bidang kalkulus vektor dan geometri diferensial

Turunan parsial sebuah fungsi f terhadap variabel x dituliskan oleh berbagai sumber rujukan sebagai

$f_x^{\prime },f_x,{\partial }_{x}f,\text{ atau}\frac{\partial f}{\partial x}.$

Lambang turunan parsial ∂ adalah huruf bundar, diturunkan namun berbeda dengan huruf Yunani delta, dan dibedakan dengan notasi turunan total d (dan dari huruf ð)

Pengantar

Jika Templat:Math adalah fungsi lebih dari satu variabel. Misalnya,

$z=f(x,y)=x^2+xy+y^2.$

grafik dari fungsi tersebut merumuskan permukaan pada Ruang Euclides. Untuk setiap titik pada permukaan ini terdapat jumlah garis pinggir tidak terbatas. Antiturunan parsial salah satu garis yang ditemukannya kemiringan. Biasanya, garis yang paling terkenal adalah garis yang sejajar dengan $xz$, dan yang sejajar dengan Templat:Math.

Dengan cara mencari turunan dari persamaan sambil mengasumsikan $y$ adalah konstan, kami menemukan bahwa kemiringan $f$ pada intinya $(x,y)$ adalah, sebagai berikut:

$\frac{\partial z}{\partial x}=2x+y.$

Jadi $(1,1)$, dengan substitusi, kemiringan adalah 3. Oleh karena itu,

$\frac{\partial z}{\partial x}=3$

Contoh

• Tentukan turunan kedua dari $z=f(x,y)=x^2+xy+y^2$!

$f(x,y)=x^2+xy+y^2$

Turunan pertama

$f(x,y)=x^2+xy+y^2$

$f_x(x,y)=2x+y$

$f_y(x,y)=x+2y$

Turunan kedua

$f_x(x,y)=2x+y$

$f_{xx}(x,y)=2$

$f_{xy}(x,y)=1$

$f_y(x,y)=x+2y$

$f_{yy}(x,y)=2$

$f_{yx}(x,y)=1$

• Tentukan turunan kedua dari $z=f(x,y)=x^2+xy+y^3$!

$f(x,y)=x^2+xy+y^3$

Turunan pertama

$f(x,y)=x^2+xy+y^3$

$f_x(x,y)=2x+y$

$f_y(x,y)=x+3y^2$

Turunan kedua

$f_x(x,y)=2x+y$

$f_{xx}(x,y)=2$

$f_{xy}(x,y)=1$

$f_y(x,y)=x+3y^2$

$f_{yy}(x,y)=6y$

$f_{yx}(x,y)=1$

Lihat pula

• Operator d'Alembertian
• Curl (matematika)

Pranala luar

• Templat:Springer
• Partial Derivatives at MathWorld

Templat:Matematika-stub