Bentuk modular

Dalam matematika, bentuk modular adalah fungsi analitik (kompleks) pada setengah bidang atas yang memenuhi suatu persamaan fungsional berkaitan dengan tindakan grup dari grup modular, dan juga memenuhi kondisi pertumbuhan tertentu. Oleh karena itu, walaupun teori bentuk modular dapat dijelaskan dengan analisis kompleks, tetapi peranan paling penting bentuk modular terdapat pada bidang teori bilangan. Bentuk modular muncul di area lain, seperti topologi aljabar, kemasan bola, dan teori dawai.

Fungsi modular adalah fungsi yang invarian terhadap aksi grup modular di setengah bidang atas, tetapi dengan syarat Templat:Math holomorfik di bidang setengah atas diganti menjadi meromorfik di bidang atas (artinya, holomorfik di mana-mana, kecuali di titik-titik yang saling terisolasi satu sama lain; titik-titik ini merupakan pole).

Teori bentuk modular adalah kasus khusus dari teori bentuk automorfik. Bentuk automorfik merupakan fungsi yang didefinisikan pada grup Lie yang bertransformasi dengan "baik" jika diberikan aksi oleh grup diskret tertentu, analog dengan aksi grup modular ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})\subset {\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)$ pada bentuk modular.

Penggunaan istilah "bentuk modular" sebagai deskripsi sistematis terhadap teori bentuk modular diinisiasi Hecke.

Setiap bentuk modular memiliki representasi Galois yang terasosiasi dengan bentuk modular tersebut.

Definisi umum bentuk modular

Misalkan

$\mathrm{\Gamma }\subset {\text{SL}}_2(\mathbb{Z})$

merupakan subgrup dengan indeks berhingga, atau biasa disebut sebagai grup aritmetika. Secara umum, bentuk modular tingkat

$\mathrm{\Gamma }$

dengan bobot

$k$

adalah fungsi holomorfik

$f:\mathscr{H}\to ℂ$

dengan

$\mathscr{H}=\{z\in ℂ:\mathrm{I}\mathrm{m}(z)>0\}$

(setengah bidang atas) yang memenuhi dua syarat berikut:

1. (Kondisi automorfik) Untuk setiap $\gamma \in \mathrm{\Gamma }$, berlaku persamaan $f(\gamma (z))=(cz+d{)}^{k}f(z)$

2. (Kondisi pertumbuhan) Untuk setiap

$\gamma \in {\text{SL}}_2(\mathbb{Z})$

, fungsi

$(cz+d{)}^{-k}f(\gamma (z))$

terbatas seiring

$\text{Im}(z)\to \mathrm{\infty }$

dengan

$\gamma (z)=\frac{az+b}{cz+d}$

untuk setiap matriks

$\gamma =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\text{SL}}_2(\mathbb{Z}).$

Dengan demikian, untuk setiap matriks

${\gamma }_1,{\gamma }_2\in {\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})$

, komposisi fungsi

$({\gamma }_1\circ {\gamma }_2)(z)$

direpresentasikan oleh perkalian matriks

${\gamma }_1{\gamma }_2$

. Selain itu, disebut bentuk taring (cusp form) jika memenuhi kondisi pertumbuhan berikut:

3. (Kondisi cuspidal) Untuk setiap

$\gamma \in {\text{SL}}_2(\mathbb{Z})$

, fungsi

$(cz+d{)}^{-k}f(\gamma (z))\to 0$

seiring

$\text{im}(z)\to \mathrm{\infty }$

Sebagai bagian dari bundel garis

Bentuk modular juga dapat dipandang sebagai bagian dari bundel garis tertentu pada varietas modular. Untuk sembarang grup aritmetika

$\mathrm{\Gamma }\subset {\text{SL}}_2(\mathbb{Z})$

, suatu bentuk modular tingkat

$\mathrm{\Gamma }$

dengan bobot

$k$

dapat didefinisikan sebagai elemen

$f\in H^0(X_{\mathrm{\Gamma }},{\omega }^{\otimes k})=M_k(\mathrm{\Gamma })$

dimana

$\omega$

adalah bundel garis kanonikal pada kurva modular

$X_{\mathrm{\Gamma }}=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }(\mathscr{H}\cup {\mathbb{P}}^1(\mathbb{Q}))$

Dimensi ruang bentuk modular ini dapat dihitung dengan menggunakan Teorema Riemann–Roch. Bentuk modular klasik untuk

$\mathrm{\Gamma }={\text{SL}}_2(\mathbb{Z})$

adalah bagian dari bundel garis pada moduli stack kurva eliptik.

Bentuk modular untuk SL(2, Z)

Definisi standar

Bentuk modular dengan bobot Templat:Mvar untuk grup modular

$\text{SL}(2,𝐙)=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)|a,b,c,d\in 𝐙,ad-bc=1\}$

adalah fungsi kompleks Templat:Math pada setengah bidang atas Templat:Math yang memenuhi tiga kondisi berikut:

1. Fungsi Templat:Math holomorfik pada Templat:Math.
2. Untuk setiap Templat:Math dan setiap matriks anggota Templat:Math, berlaku:

   $f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=(cz+d{)}^{k}f(z)$

3. Fungsi Templat:Math terbatas seiring Templat:Math.

Catatan:

• Bobot Templat:Mvar yang digunakan biasanya bilangan bulat positif.
• Untuk sembarang bilangan ganjil Templat:Mvar, hanya fungsi nol yang memenuhi syarat kedua. Dengan demikian, tidak ada bentuk modular dengan bobot ganjil untuk grup Templat:Math selain nol.
• Kondisi ketiga biasanya disebut sebagai fungsi Templat:Math "holomorfik di titik taring (cusp)". Justifikasi penggunaan istilah ini akan dijelaskan di bawah. Secara eksplisit, kondisi ini mensyaratkan ada $M,D>0$ sedemikian sehingga jika $\mathrm{Im}(z)>M⟹|f(z)|<D$, yang berarti fungsi $f$ terbatas pada daerah di atas suatu garis horizontal di bidang kompleks.
• Jika kondisi kedua diterapkan pada dua matriks berikut

$S=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),T=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),$ maka dihasilkan dua persamaan berikut

$f(-\frac{1}{z})=z^{k}f(z),f(z+1)=f(z).$

Karena matriks Templat:Mvar dan matriks Templat:Mvar membangun grup modular Templat:Math, kondisi kedua di atas ekuivalen dengan terpenuhinya hanya kedua persamaan ini.

• Karena Templat:Math, bentuk modular adalah fungsi periodik, dengan periode Templat:Math, sehingga memiliki deret Fourier.

Definisi via kekisi atau kurva eliptik

Bentuk modular juga dapat didefinisikan sebagai fungsi F dari himpunan kekisi di Templat:Math ke himpunan bilangan kompleks yang memenuhi ketiga kondisi berikut:

1. Untuk sembarang konstan Templat:Mvar tidak nol, jika kekisi Templat:Math yang dibangkitkan oleh Templat:Mvar dan variabel Templat:Mvar, maka Templat:Math adalah fungsi analitik dari Templat:Mvar.
2. Jika Templat:Mvar adalah bilangan kompleks tidak nol dan Templat:Math adalah kekisi yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen kekisi Templat:Math oleh Templat:Mvar, maka Templat:Math, dengan Templat:Mvar adalah suatu konstanta (biasanya bilangan bulat positif) yang disebut bobot dari bentuk modular.
3. Modulus dari Templat:Math terbatas atas, jika modulus dari elemen terkecil tidak nol dari kekisi Templat:Math memiliki batas bawah yang positif.

Definisi ini ekuivalen dengan definisi standar bentuk modular. Ide utama yang digunakan untuk membuktikan ekuivalensi kedua definisi di atas adalah sebagai berikut: dari kondisi kedua, nilai fungsi Templat:Mvar pada kekisi Templat:Math, untuk suatu Templat:Math, menentukan nilai fungsi Templat:Mvar pada keseluruhan paruh atas bidang kompleks

Contoh

I. Deret Eisenstein

Contoh termudah dari bentuk modular adalah deret Eisenstein. Untuk setiap bilangan genap Templat:Math, Templat:Math didefinisikan sebagai deret dari Templat:Math dengan indeks Templat:Mvar bergerak pada semua vektor tak nol pada kekisi Templat:Math:

$G_k(\mathrm{\Lambda })=\sum _{0\ne \lambda \in \mathrm{\Lambda }}{\lambda }^{-k}.$

Maka Templat:Mvar adalah bentuk modular dengan bobot Templat:Mvar. Untuk Templat:Math, berlaku

$G_k(\mathrm{\Lambda })=G_k(\tau )=\sum _{(0,0)\ne (m,n)\in {𝐙}^2}\frac{1}{(m+n\tau {)}^k},$

dan

$\begin{array}{cc}{G}_k(-\frac{1}{\tau })& ={\tau }^k{G}_k(\tau ),\\ G_k(\tau +1)& =G_k(\tau ).\end{array}$

Syarat Templat:Math diperlukan untuk menjamin deret konvergen; andaikan Templat:Mvar ganjil maka suku Templat:Math dan suku Templat:Math saling mengeliminasi satu sama lain pada deret, sehingga deretnya menjadi fungsi nol.

II. Fungsi theta pada kekisi unimodular genap

Kekisi unimodular genap Templat:Mvar pada Templat:Math adalah kekisi yang dibangkitkan oleh Templat:Mvar vektor yang membentuk kolom-kolom suatu matriks dengan determinan 1 dan memenuhi kuadrat panjang setiap vektor di Templat:Mvar adalah bilangan genap. Fungsi theta

${\vartheta }_L(z)=\sum _{\lambda \in L}{e}^{\pi i\Vert \lambda {\Vert }^{2}z}$

konvergen jika Im(z) > 0, dan merupakan bentuk modular dengan bobot Templat:Math dari identitas deret Poisson. Konstruksi kekisi unimodular genap tidaklah mudah, namun berikut salah satu caranya: misalkan Templat:Mvar adalah bilangan asli kelipatan 8 and tinjau semua vektor Templat:Mvar di Templat:Math sedemikian sehingga Templat:Math memiliki koordinat bilangan bulat, yang semuanya genap atau semua ganjil, dan jumlah semua koordinat pada Templat:Mvar adalah bilangan genap. Misalkan kekisi ini sebagai Templat:Mvar. Jika Templat:Math, kekisi ini dibangkitkan oleh akar-akar pada sistem akar yang biasa disebut E₈. Karena hanya terdapat satu bentuk modular dengan bobot 8 up to perkalian skalar,

${\vartheta }_{L_8\times L_8}(z)={\vartheta }_{L_{16}}(z),$

walaupun kekisi Templat:Math dan Templat:Math tidaklah similar. John Milnor mengamati bahwa tori berdimensi 16 yang diperoleh melalui topologi hasil bagi Templat:Math dengan kekisi Templat:Math dan dengan kekisi Templat:Math adalah contoh dua manifold Riemann kompak yang isospektral, namun tidak isometrik. (lihat Hearing the shape of a drum.)

III. Diskriminan modular

Fungsi eta Dedekind didefinisikan sebagai

$\eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^n),q=e^{2\pi iz}.$

Maka, diskriminan modular Templat:Math adalah bentuk modular dengan bobot 12. Kehadiran angka 24 pada fungsi ini memiliki kaitan dengan dimensi kekisi Leech yang adalah 24. Konjektur Ramanujan-Petersson mengklaim bahwa nilai mutlak dari koefisien Templat:Mvar untuk setiap bilangan prima Templat:Mvar pada ekspansi fungsi Templat:Math sebagai deret pangkat dalam q tidak melebihi Templat:Math. Hal ini dibuktikan oleh Eichler, Shimura, Kuga, Ihara, dan Pierre Deligne sebagai akibat dari bukti Deligne konjektur Weil, yang dibuktikan mengakibatkan konjektur Ramanujan-Petersson.

Contoh kedua dan ketiga memberikan petunjuk mengenai hubungan antara bentuk modular dan pertanyaan klasik pada teori bilangan, seperti representasi bilangan oleh bentuk kuadratik dan fungsi partisi. Hubungan konseptual yang penting antara bentuk modular dan teori bilangan diilustrasikan oleh operator Hecke, yang juga menghubungkan antara bentuk modular dan teori representasi.

Fungsi modular

Ketika bobot $k$ bernilai 0, dapat ditunjukkan menggunakan teorema Liouville bahwa satu-satunya bentuk modular adalah fungsi konstan. Namun, jika syarat holomorfik di setengah bidang atas diganti menjadi meromorfik di setengah bidang atas, maka kita mendapati gagasan fungsi modular. Sebuah fungsi $f:\mathscr{H}\to ℂ$ disebut modular jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat berikut:

1. Fungsi $f$ meromorfik di himpunan terbuka setengah bidang atas $\mathscr{H}$.
2. Untuk matriks $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ pada [[grup modular | grup modular Templat:Math]], $f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=f(z)$.
3. Seperti yang ditunjukkan di atas, kondisi kedua menyiratkan bahwa $f$ adalah periodik, dan karenanya memiliki deret Fourier. Kondisi ketiga adalah bahwa deret ini berbentuk

$f(z)=\sum _{n=-m}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{2i\pi nz}.$

Ini sering ditulis dalam istilah $q=\exp (2\pi iz)$ (the kuadrat dari nome), sebagai:

$f(z)=\sum _{n=-m}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{q}^n.$

Ini juga disebut sebagai ekspansi-q dari$f$. Koefisien $a_n$ dikenal sebagai koefisien Fourier dari $f$, dan bilangan $m$ disebut tingkat kutub $f$ di $i\mathrm{\infty }$. Kondisi ini disebut "meromorfik di taring", artinya banyaknya bilangan bulat $n<0$ sedemikian sehingga $a_n\ne 0$ adalah berhingga, sehingga ekspansi-q terbatas di bawah, dan ini mengakibatkan fungsi $f$ meromorfik pada $q=0$.

Cara lain untuk menyatakan definisi fungsi modular adalah dengan menggunakan kurva elips: setiap kisi Λ menentukan kurva elips C/Λ lebih C; dua kisi berpadanan dengan dua kurva elips yang isomorfik jika dan hanya jika salah satu kisi diperoleh dari kisi yang lain dengan mengalikan kisi tersebut oleh suatu bilangan kompleks bukan nol Templat:Mvar. Dengan demikian, fungsi modular juga dapat dianggap sebagai fungsi meromorfik pada himpunan kelas isomorfisme kurva elips. Misalnya, invarian-j j(z) dari kurva elips, dipandang sebagai fungsi pada himpunan semua kurva elips, adalah fungsi modular. Secara lebih konseptual, fungsi modular juga dapat dipandang sebagai fungsi pada ruang moduli dari kelas isomorfisma kurva elips kompleks.

Bentuk modular f yang lenyap di Templat:Math (dengan kata lain, Templat:Math, atau lenyap di Templat:Math) disebut bentuk taring (cusp form atau spitzenform dalam bahasa Jerman). Bilangan bulat positif n terkecil sedemikian sehingga Templat:Math adalah tingkat nol dari f di Templat:Math.

Unit modular adalah fungsi modular yang kutub dan nolnya hanya ada di titik-titik taring.

Bentuk modular untuk grup yang lebih umum

Syarat persamaan fungsional dari f yang sehubungan dengan pemetaan $z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}$ dapat diringankan dengan mengharuskan persamaan fungsi ini terpenuhi hanya untuk matriks dalam grup yang lebih kecil daripada Templat:Math.

Permukaan Riemann G\H^∗

MisalkanTemplat:Mvar adalah subgrup dari Templat:Math yang memiliki indeks berhingga. GrupTemplat:Mvar beraksi pada H dengan cara yang sama seperti Templat:Math. Ruang topologi hasil bagi G\H dapat ditampilkan sebagai ruang Hausdorff. Ruang ini tidak kompak, tetapi dapat dikompakkan dengan menambahkan sejumlah berhingga titik yang disebut katup (cusps). Ini adalah titik-titik di batas H, yaitu di Q∪{∞}, sedemikian rupa sehingga ada elemen parabolik dari Templat:Mvar (matriks dengan teras ± 2) yang menetapkan titik pada batas H. Ini menghasilkan ruang topologi yang kompak G\H^∗. Terlebih lagi, topologi kompak ini dapat diberikan struktur permukaan Riemann, yang memungkinkan konsep fungsi holomorfik dan meromorfik didefinisikan pada ruang G\H^∗.

Salah satu contoh subgrup Templat:Math yang paling penting adalah subgrup kongruensi. Untuk setiap bilangan bulat positif N, berikut ini beberapa contoh subgrup kongruensi:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_0(N)& =\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \text{SL}(2,𝐙):c\equiv 0(\mathrm{mod}N)\}\\ \mathrm{\Gamma }(N)& =\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \text{SL}(2,𝐙):c\equiv b\equiv 0,a\equiv d\equiv 1(\mathrm{mod}N)\}.\end{array}$

Untuk G = Γ₀(N) atau Templat:Math, ruang G\H dan G\H^∗ masing-masing dilambangkan Y₀(N) dan X₀(N) dan Y(N), X(N).

Geometri dari G\H^∗, seperti genus dari G\H^∗, dapat dipahami dengan mempelajari domain fundamental untuk G. Domain fundamental untuk G adalah subhimpunan D ⊂ H sedemikian sehingga D melalui setiap orbit dari aksiTemplat:Mvar pada H tepat satu kali dan penutupan D melalui semua orbit.

Definisi

Bentuk modular untuk Templat:Mvar dengan bobot k adalah fungsi pada H yang memenuhi persamaan fungsional di atas untuk semua matriks di Templat:Mvar, yang holomorfik di H, dan di semua taring (cusp) dari Templat:Mvar. Seperti sebelumnya, bentuk modular yang lenyap di semua taring dari grup Templat:Mvar disebut bentuk taring (cusp form) untuk grup Templat:Mvar. Ruang vektor kompleks dari bentuk modular dan bentuk taring untuk grup Templat:Mvar masing-masing dilambangkan dengan Templat:Math dan Templat:Math. Seperti sebelumnya, sfungsi meromorfik pada G\H^∗ disebut fungsi modular untuk Templat:Mvar. Jika G = Γ₀(N), bentuk modular/taring dan fungsi modular untuk grup Templat:Mvar disebut sebagai bentuk modular/taring dan fungsi modular tingkat N. Jika Templat:Math, ini sama dengan bentuk modular yang telah didefinisikan sebelumnya.

Konsekuensi

Teori pada permukaan Riemann dapat diterapkan pada G\H^∗ untuk memeroleh informasi lebih jauh mengenai bentuk modular dan fungsi modular. Sebagai contoh, ruang vektor Templat:Math dan Templat:Math berdimensi hingga, dan dimensi kedua ruang ini dapat dihitung dengan menggunakan teorema Riemann-Roch melalui geometri dari aksi-Templat:Mvar pada H. Contohnya,

${\dim }_{𝐂}{M}_k(\text{SL}(2,𝐙))=\{\begin{array}{cc}\lfloor k/12\rfloor & k\equiv 2(\mathrm{mod}12)\\ \lfloor k/12\rfloor +1& \text{lainnya}\end{array}$

dengan $\lfloor \cdot \rfloor$ merepresentasikan fungsi bilangan bulat terbesar/fungsi floor dan $k$ bernilai genap.

Fungsi modular membentuk lapangan fungsi pada permukaan Riemann, dan sehingga membentuk lapangan dengan derajat transendental satu (atas lapangan C). Jika fungsi modular f bukan fungsi 0, maka dapat ditunjukkan bahwa banyaknya nol dari fungsi f sama dengan banyaknya kutub dari fungsi f pada penutup (closure) dari daerah fundamental R_Γ. Lapangan fungsi modular tingkat N (N ≥ 1) dibangkitkan oleh fungsi j(z) dan j(Nz).

Bundel garis

Pencarian fungsi modular dapat dianalogikan dengan pencarian fungsi pada ruang proyektif P(V): dalam konteks ruang proyektif, idealnya fungsi F pada ruang vektor V merupakan polinomial dalam koordinat v ≠ 0 pada V dan memenuhi persamaan F(cv) = F(v) untuk semua c yang tidak nol. Sayangnya, fungsi polinomial dengan sifat demikian hanyalah fungsi konstanta. Jika kita memperbolehkan fungsi F memiliki penyebut yang juga merupakan polinomial, maka kesamaan tersebut dipenuhi oleh fungsi yang merupakan rasio dari dua polinomial homogen dengan derajat sama. Atau, fungsi F tetap dapat dimisalkan sebagai polinomial namun dengan syarat kebergantungan terhadap c yang lebih longgar, yaitu F(cv) = c^kF(v) untuk suatu nilai Templat:Mvar. Solusi dari kesamaan tersebut adalah polinomial homogen berderajat Templat:Mvar. Untuk setiap nilai k, fungsi-fungsi F yang memenuhi F(cv) = c^kF(v) membentuk ruang vektor berdimensi hingga. Di sisi lain, jika kita memisalkan fungsi F sebagai fungsi yang memenuhi F(cv) = c^kF(v) untuk suatu nilai Templat:Mvar, pembilang dan penyebut yang digunakan untuk mengkonstruksi fungsi rasional yang merupakan fungsi pada ruang proyektif P(V) dapat dicari.

Mengingat polinomial homogen sebenarnya bukanlah fungsi pada P(V), wajar saja jika ada yang bertanya mengenai bagaimana cara menginterpretasikan fungsi polinomial homogen secara geometris. Dari geometri aljabar, polinomial homogen dapat dipandang sebagai sections dari sebuah sheaf (atau bisa juga bundel garis untuk kasus ini). Hal yang serupa juga berlaku untuk bentuk modular.

Penggunaan perspektif bentuk modular sebagai sections dari bundel garis pada ruang moduli dari kurva eliptik memiliki keuntungannya tersendiri.

Gelanggang bentuk modular

Templat:Main Untuk subgrup Templat:Math dari Templat:Math, gelanggang bentuk modular adalah gelanggang bertingkat yang dihasilkan oleh bentuk modular dari Templat:Math. Dengan kata lain, jika Templat:Math adalah gelanggang bentuk modular dari bobot Templat:Mvar, maka gelanggang bentuk modular dari Templat:Math adalah gelanggang bertingkat $M(\mathrm{\Gamma })=\underset{k>0}{⨁}{M}_k(\mathrm{\Gamma })$.

Gelanggang bentuk modular tingkat subgrup kongruensi dari Templat:Math dibangkitkan secara berhingga. Hal ini dibuktikan oleh Pierre Deligne dan Michael Rapoport. Jika subgrup kongruensi memiliki bentuk modular berbobot ganjil bukan nol, gelanggang bentuk modular dibangkitkan oleh bentuk modular dengan bobot paling besar 6 dan hubungan antara pembangkit memiliki bobot paling besar 12. Sebaliknya, jika semua bentuk modular berbobot ganjil tingkat subgrup kongruensi adalah 0, maka batas atas bobot pembangkit dan hubungan antara pembangkit adalah 5 dan 10.

Secara lebih umum, ada rumus untuk batas bobot pembangkit gelanggang bentuk modular dan hubungannya untuk sembarang grup Fuchsian.

Sejarah

Templat:Unreferenced section Teori bentuk modular dikembangkan dalam empat periode: pertama dalam kaitannya dengan teori fungsi eliptik, pada paruh pertama abad kesembilan belas; kemudian oleh Felix Klein dan lainnya menjelang akhir abad kesembilan belas sebagai konsep bentuk automorfik dipahami (untuk satu variabel); kemudian oleh Erich Hecke dari sekitar tahun 1925; dan kemudian di tahun 1960-an, karena kebutuhan teori bilangan dan perumusan teorema modularitas secara khusus memperjelas bahwa bentuk-bentuk modular memiliki kaitan yang kuat dengan teori bilangan.

Referensi

• Templat:Citation. Chapter VII provides an elementary introduction to the theory of modular forms.
• Templat:Citation
• Templat:Citation. Provides a more advanced treatment.
• Templat:Citation. Provides an introduction to modular forms from the point of view of representation theory.
• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation