Fungsi theta

Fungsi theta asli Jacobi Templat:Math dengan Templat:Math dan dengan nome Templat:Math. Konvensi adalah (Mathematica): $\begin{array}{cc}{\theta }_1(u;q)& =2q^{\frac{1}{4}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{n(n+1)}\sin (2n+1)u\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-\frac{1}{2}}{q}^{{(n+\frac{1}{2})}^2}{e}^{(2n+1)iu}\end{array}$

Dalam matematika, Fungsi theta adalah fungsi khusus dari beberapa variabel kompleks. Mereka penting di banyak bidang, termasuk teori varietas abelian dan ruang moduli, dan bentuk kuadrat. Mereka juga telah diterapkan pada teori soliton. Ketika digeneralisasi menjadi aljabar Grassmann, mereka juga muncul di teori medan kuantum.

Bentuk fungsi theta yang paling umum adalah yang terjadi dalam teori fungsi eliptik. Sehubungan dengan salah satu variabel kompleks (secara konvensional disebut Templat:Mvar), fungsi theta memiliki properti yang mengekspresikan perilakunya sehubungan dengan penambahan periode fungsi eliptik terkait, menjadikannya fungsi kuasiperiodik. Dalam teori abstrak ini berasal dari bundel garis kondisi keturunan.

Fungsi theta Jacobi

Jacobi theta 1

Jacobi theta 2

Jacobi theta 3

Jacobi theta 4

Ada beberapa fungsi yang terkait erat yang disebut fungsi jacobi theta, dan banyak sistem notasi yang berbeda dan tidak kompatibel untuk fungsi tersebut. Fungsi theta Jacobi (dinamai Carl Gustav Jacob Jacobi) merupakan fungsi yang ditentukan untuk dua variabel kompleks Templat:Mvar dan Templat:Mvar, dimana Templat:Mvar dapat berupa bilangan kompleks apa pun dan Templat:Mvar adalah rasio setengah periode, terbatas pada bidang setengah atas, yang berarti ia memiliki bagian imajiner positif. Itu diberikan oleh rumus

$\begin{array}{cc}\vartheta (z;\tau )& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (\pi i{n}^2\tau +2\pi inz)\\ & =1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(e^{\pi i\tau }\right)}^{n^2}\cos (2\pi nz)\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}{\eta }^n\end{array}$

dimana Templat:Math adalah nome dan Templat:Math. Ini adalah bentuk Jacobi. Pada Templat:Mvar, ini adalah deret Fourier untuk 1-periodik seluruh fungsi dari Templat:Mvar. Karenanya, fungsi theta adalah 1-periodik in Templat:Mvar:

$\vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).$

Ternyata juga menjadi Templat:Mvar kuasiperiodik dalam Templat:Mvar, dengan

$\vartheta (z+\tau ;\tau )=\exp [-\pi i(\tau +2z)]\vartheta (z;\tau ).$

Jadi, secara umum,

$\vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp (-\pi i{b}^2\tau -2\pi ibz)\vartheta (z;\tau )$

untuk semua bilangan bulat Templat:Mvar dan Templat:Mvar.

Fungsi theta Templat:Math dengan nomor berbeda Templat:Math. Titik hitam di gambar sebelah kanan menunjukkan caranya Templat:Mvar berubah dengan Templat:Mvar.

Fungsi theta Templat:Math dengan nomor berbeda Templat:Math. Titik hitam di gambar sebelah kanan menunjukkan caranya Templat:Mvar berubah dengan Templat:Mvar.

Fungsi pembantu

Fungsi theta Jacobi yang didefinisikan di atas terkadang dipertimbangkan bersama dengan tiga fungsi theta tambahan, dalam hal ini ditulis dengan subskrip 0 ganda:

${\vartheta }_{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )$

Fungsi bantu (atau setengah periode) ditentukan oleh

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_{01}(z;\tau )& =\vartheta (z+\frac{1}{2};\tau )\\ {\vartheta }_{10}(z;\tau )& =\exp (\frac{1}{4}\pi i\tau +\pi iz)\vartheta (z+\frac{1}{2}\tau ;\tau )\\ {\vartheta }_{11}(z;\tau )& =\exp (\frac{1}{4}\pi i\tau +\pi i(z+\frac{1}{2}))\vartheta (z+\frac{1}{2}\tau +\frac{1}{2};\tau ).\end{array}$

Notasi ini mengikuti Riemann dan Mumford; Formulasi asli Jacobi adalah dalam istilah nome Templat:Math daripada Templat:Mvar. Dalam notasi Jacobi Templat:Mvar adalah fungsi tertulis:

$\begin{array}{cc}{\theta }_1(z;q)& =-{\vartheta }_{11}(z;\tau )\\ {\theta }_2(z;q)& ={\vartheta }_{10}(z;\tau )\\ {\theta }_3(z;q)& ={\vartheta }_{00}(z;\tau )\\ {\theta }_4(z;q)& ={\vartheta }_{01}(z;\tau )\end{array}$

Definisi di atas dari fungsi Jacobi theta sama sekali tidak unik. Lihat Fungsi jacobi theta (variasi notasi) untuk pembahasan lebih lanjut.

Bila kita mengatur Templat:Math dalam fungsi theta di atas, kita mendapatkan empat fungsi dari Templat:Mvar saja, yang ditentukan pada setengah bidang atas (terkadang disebut konstanta teta.) Mak ini dapat digunakan untuk mendefinisikan berbagai bentuk modular, dan untuk mengukur kurva tertentu; khususnya, identitas Jacobi adalah

${\vartheta }_{00}(0;\tau {)}^4={\vartheta }_{01}(0;\tau {)}^4+{\vartheta }_{10}(0;\tau {)}^4$

yang merupakan kurva Fermat dari derajat empat.

Identitas Jacobi

Identitas Jacobi menggambarkan bagaimana fungsi theta berubah di bawah kelompok modular, yang dihasilkan oleh Templat:Math dan Templat:Math. Persamaan untuk transformasi pertama mudah ditemukan sejak menambahkan satu ke Templat:Mvar dalam eksponen memiliki efek yang sama seperti penjumlahan Templat:Sfrac ke Templat:Mvar (Templat:Math). Untuk yang kedua, maka

$\alpha =(-i\tau {)}^{\frac{1}{2}}\exp \left(\frac{\pi }{\tau }i{z}^2\right).$

Kemudian

$\begin{array}{cccc}{\vartheta }_{00}(\frac{z}{\tau };\frac{-1}{\tau })& =\alpha {\vartheta }_{00}(z;\tau )& {\vartheta }_{01}(\frac{z}{\tau };\frac{-1}{\tau })& =\alpha {\vartheta }_{10}(z;\tau )\\ {\vartheta }_{10}(\frac{z}{\tau };\frac{-1}{\tau })& =\alpha {\vartheta }_{01}(z;\tau )& {\vartheta }_{11}(\frac{z}{\tau };\frac{-1}{\tau })& =-i\alpha {\vartheta }_{11}(z;\tau ).\end{array}$

Fungsi theta dalam istilah nome

Alih-alih mengekspresikan fungsi theta dalam istilah Templat:Mvar dan Templat:Mvar, kita dapat mengungkapkannya dalam istilah argumen Templat:Mvar dan nome Templat:Mvar, dimana Templat:Math dan Templat:Math. Dalam bentuk ini, fungsinya menjadi

$\begin{array}{cccc}{\vartheta }_{00}(w,q)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(w^2{)}^n{q}^{n^2}& {\vartheta }_{01}(w,q)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(w^2{)}^n{q}^{n^2}\\ {\vartheta }_{10}(w,q)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(w^2{)}^{n+\frac{1}{2}}{q}^{{(n+\frac{1}{2})}^2}& {\vartheta }_{11}(w,q)& =i\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(w^2{)}^{n+\frac{1}{2}}{q}^{{(n+\frac{1}{2})}^2}.\end{array}$

Kita melihat bahwa fungsi theta juga bisa didefinisikan dalam istilah Templat:Mvar dan Templat:Mvar, tanpa referensi langsung ke fungsi eksponensial. Oleh karena itu, rumus-rumus ini dapat digunakan untuk mendefinisikan fungsi Theta di atas bidang lain di mana fungsi eksponensial mungkin tidak dapat didefinisikan di mana-mana, seperti bidang [[Bilangan p-adic|bilangan Templat:Mvar-adic]].

Wakilan integral

Fungsi Jacobi theta memiliki wakilan integral berikut:

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_{00}(z;\tau )& =-i\underset{i-\mathrm{\infty }}{\overset{i+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i\pi \tau u^2}\frac{\cos (2uz+\pi u)}{\sin (\pi u)}\mathrm{d}u;\\ {\vartheta }_{01}(z;\tau )& =-i\underset{i-\mathrm{\infty }}{\overset{i+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i\pi \tau u^2}\frac{\cos (2uz)}{\sin (\pi u)}\mathrm{d}u;\\ {\vartheta }_{10}(z;\tau )& =-i{e}^{iz+\frac{1}{4}i\pi \tau }\underset{i-\mathrm{\infty }}{\overset{i+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i\pi \tau u^2}\frac{\cos (2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin (\pi u)}\mathrm{d}u;\\ {\vartheta }_{11}(z;\tau )& =e^{iz+\frac{1}{4}i\pi \tau }\underset{i-\mathrm{\infty }}{\overset{i+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i\pi \tau u^2}\frac{\cos (2uz+\pi \tau u)}{\sin (\pi u)}\mathrm{d}u.\end{array}$

Nilai eksplisit

Lihat Yi (2004).

$\begin{array}{cc}\phi (e^{-\pi x})& =\vartheta (0;ix)={\theta }_3(0;e^{-\pi x})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x\pi n^2}\\ \phi \left(e^{-\pi }\right)& =\frac{\sqrt[4]{\pi }}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}\\ \phi \left(e^{-2\pi }\right)& =\frac{\sqrt[4]{\pi }}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}\frac{\sqrt[4]{6+4\sqrt{2}}}{2}\\ \phi \left(e^{-3\pi }\right)& =\frac{\sqrt[4]{\pi }}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}\frac{\sqrt[4]{27+18\sqrt{3}}}{3}\\ \phi \left(e^{-4\pi }\right)& =\frac{\sqrt[4]{\pi }}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}\frac{\sqrt[4]{8}+2}{4}\\ \phi \left(e^{-5\pi }\right)& =\frac{\sqrt[4]{\pi }}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}\frac{\sqrt[4]{225+100\sqrt{5}}}{5}\\ \phi \left(e^{-6\pi }\right)& =\frac{\sqrt[3]{3\sqrt{2}+3\sqrt[4]{3}+2\sqrt{3}-\sqrt[4]{27}+\sqrt[4]{1728}-4}\cdot \sqrt[8]{243{\pi }^2}}{6\sqrt[6]{1+\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}=\frac{\sqrt[4]{\pi }}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}\frac{\sqrt{\sqrt[4]{1}+\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{4}+\sqrt[4]{9}}}{\sqrt[8]{1728}}\\ \phi \left(e^{-7\pi }\right)& =\frac{\sqrt[4]{\pi }}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}\sqrt{\frac{\sqrt{13+\sqrt{7}}+\sqrt{7+3\sqrt{7}}}{14}\cdot \sqrt[8]{28}}=\frac{\sqrt[4]{\pi }}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}\frac{\sqrt[4]{7+4\sqrt{7}+5\sqrt[4]{28}+\sqrt[4]{1372}}}{\sqrt{7}}\\ \phi \left(e^{-8\pi }\right)& =\frac{\sqrt[4]{\pi }}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}\frac{\sqrt[8]{128}+\sqrt{2+\sqrt{2}}}{4}\\ \phi \left(e^{-9\pi }\right)& =\frac{\sqrt[4]{\pi }}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}\frac{(1+(1+\sqrt{3})\sqrt[3]{2-\sqrt{3}})}{3}\\ \phi \left(e^{-10\pi }\right)& =\frac{\sqrt[4]{\pi }}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}\frac{\sqrt{20+\sqrt{450}+\sqrt{500}+10\sqrt[4]{20}}}{10}\\ \phi \left(e^{-12\pi }\right)& =\frac{\sqrt[4]{\pi }}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}\frac{\sqrt{\sqrt[4]{1}+\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{4}+\sqrt[4]{9}+\sqrt[4]{18}+\sqrt[4]{24}}}{2\sqrt[8]{108}}\\ \phi \left(e^{-16\pi }\right)& =\frac{\sqrt[4]{\pi }}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}\frac{(4+\sqrt[4]{128}+\sqrt[4]{1024\sqrt[4]{8}+1024\sqrt[4]{2}})}{16}\end{array}$

Beberapa identitas deret

Dua identitas seri berikutnya dibuktikan oleh István Mező:

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_4^2(q)& =i{q}^{\frac{1}{4}}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{2k^2-k}{\vartheta }_1(\frac{2k-1}{2i}\ln q,q),\\ {\vartheta }_4^2(q)& =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{2k^2}{\vartheta }_4(\frac{k\ln q}{i},q).\end{array}$

These relations hold for all Templat:Math. Specializing the values of Templat:Mvar, we have the next parameter free sums

$\begin{array}{cc}\sqrt{\frac{\pi \sqrt{e^{\pi }}}{2}}\cdot \frac{1}{{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{3}{4}\right)}& =i\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi (k-2k^2)}{\vartheta }_1(\frac{i\pi }{2}(2k-1),e^{-\pi }),\\ \sqrt{\frac{\pi }{2}}\cdot \frac{1}{{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{3}{4}\right)}& =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\vartheta }_4(ik\pi ,e^{-\pi })}{e^{2\pi k^2}}\end{array}$

Nol dari fungsi theta Jacobi

Semua angka nol dari fungsi theta Jacobi adalah angka nol sederhana dan diberikan sebagai berikut:

$\begin{array}{cccccc}\vartheta (z,\tau )={\vartheta }_3(z,\tau )& =0& ⟺& & z& =m+n\tau +\frac{1}{2}+\frac{\tau }{2}\\ {\vartheta }_1(z,\tau )& =0& ⟺& & z& =m+n\tau \\ {\vartheta }_2(z,\tau )& =0& ⟺& & z& =m+n\tau +\frac{1}{2}\\ {\vartheta }_4(z,\tau )& =0& ⟺& & z& =m+n\tau +\frac{\tau }{2}\end{array}$

dimana Templat:Mvar, Templat:Mvar adalah bilangan bulat acak.

Kaitannya dengan fungsi zeta Riemann

Relasi

$\vartheta (0;-\frac{1}{\tau })=(-i\tau {)}^{\frac{1}{2}}\vartheta (0;\tau )$

digunakan oleh Riemann untuk membuktikan persamaan fungsional untuk fungsi zeta Riemann, dengan menggunakan transformasi Mellin

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right){\pi }^{-\frac{s}{2}}\zeta (s)=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\vartheta (0;it)-1)t^{\frac{s}{2}}\frac{\mathrm{d}t}{t}$

yang dapat ditampilkan sebagai invarian di bawah substitusi Templat:Mvar oleh Templat:Math. Integral terkait untuk Templat:Math diberikan dalam artikel di Fungsi zeta Hurwitz.

Kaitannya dengan fungsi q-gamma

Fungsi theta keempat dan dengan demikian yang lainnya juga terhubung erat ke [[Fungsi gamma-q|fungsi gamma-Templat:Mvar Jackson]] melalui relasi

${({\mathrm{\Gamma }}_{q^2}(x){\mathrm{\Gamma }}_{q^2}(1-x))}^{-1}=\frac{q^{2x(1-x)}}{{(q^{-2};q^{-2})}_{\mathrm{\infty }}^3(q^2-1)}{\vartheta }_4(\frac{1}{2i}(1-2x)\log q,\frac{1}{q}).$

Hubungan dengan fungsi eta Dedekind

Maka Templat:Math menjadi Dedekind eta function, dan argumen dari fungsi theta sebagai nome Templat:Math. Then,

$\begin{array}{cc}{\theta }_2(0,q)={\vartheta }_{10}(0;\tau )& =\frac{2{\eta }^2(2\tau )}{\eta (\tau )},\\ {\theta }_3(0,q)={\vartheta }_{00}(0;\tau )& =\frac{{\eta }^5(\tau )}{{\eta }^2\left(\frac{1}{2}\tau \right){\eta }^2(2\tau )}=\frac{{\eta }^2(\frac{1}{2}(\tau +1))}{\eta (\tau +1)},\\ {\theta }_4(0,q)={\vartheta }_{01}(0;\tau )& =\frac{{\eta }^2\left(\frac{1}{2}\tau \right)}{\eta (\tau )},\end{array}$

dan,

${\theta }_2(0,q){\theta }_3(0,q){\theta }_4(0,q)=2{\eta }^3(\tau ).$

Lihat pula Fungsi modular Weber.

Modulus elips

Modulus eliptik adalah

$k(\tau )=\frac{{\vartheta }_{10}(0,\tau {)}^2}{{\vartheta }_{00}(0,\tau {)}^2}$

dan modulus eliptik komplementernya adalah

$k^{\prime }(\tau )=\frac{{\vartheta }_{01}(0,\tau {)}^2}{{\vartheta }_{00}(0,\tau {)}^2}$

Kaitannya dengan kelompok Heisenberg

Fungsi Jacobi theta tidak berubah di bawah aksi subkelompok diskrit dari kelompok Heisenberg. Pembalikan ini disajikan dalam artikel di representasi theta dari kelompok Heisenberg.

Referensi

• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book. (for treatment of the Riemann theta)
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Dlmf
• Templat:Cite book (history of Jacobi's Templat:Mvar functions)

Bacaan lebih lanjut

• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Ackerman, M. Math. Ann. (1979) 244: 75. "On the Generating Functions of Certain Eisenstein Series Templat:Webarchive" Springer-Verlag

Harry Rauch with Hershel M. Farkas: Theta functions with applications to Riemann Surfaces, Williams and Wilkins, Baltimore MD 1974, Templat:ISBN.

Pranala luar

• Templat:Cite web