Rentang linear

Bidang yang direntang oleh vektor u dan v di R³.

Dalam aljabar linear, rentang linear atau span dari sebarang himpunan $S$ berisi vektor-vektor (yang berasal dari suatu ruang vektor) adalah himpunan semua kombinasi linear dari vektor-vektor di $S.$ Rentang linear dari $S$ umum disimbolkan dengan $\text{span}(S).$ Sebagai contoh, dua vektor yang saling bebas linear akan merentang suatu bidang. Rentang dapat dikarakterisasikan sebagai irisan dari semua subruang (vektor) yang mengandung $S,$ maupun sebagai subruang yang mengandung $S.$ Alhasil, rentang dari himpunan vektor menghasilkan suatu ruang vektor. Rentang dapat diperumum untuk matroid dan modul.

Untuk menyatakan bahwa suatu ruang vektor $V$ adalah rentang linear dari subset $S,$ beberapa pernyataan berikut umum digunakan: $S$ merentang $V,$ $S$ adalah himpunan merentang dari $V,$ $V$ direntang/dibangkitkan oleh $S,$ atau $S$ adalah pembangkit atau himpunan pembangkit dari $V.$

Definisi

Untuk sebarang ruang vektor $V$ atas lapangan $K,$ rentang dari suatu himpunan $S$ yang beranggotakan vektor-vektor (tidak harus berhingga) didefinisikan sebagai irisan $W$ dari semua subruang dari $V$ yang mengandung $S.$ Irisan $W$ disebut sebagai subruang yang direntang oleh $S,$ atau oleh vektor-vektor di $S.$ Kebalikannya, $S$ disebut himpunan merentang dari $W$, dan kita katakan $S$ merentang $W.$

Rentang dari $S$ juga dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua kombinasi linear terhingga dari vektor-vektor di $S.$ Secara matematis, ini dituliskan sebagai$$\mathrm{span}(S)=\left\{\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{𝐯}_i|k\in \mathbb{N},{𝐯}_i\in S,{\lambda }_i\in K\right\}.$$Pada kasus $S$ berukuran tak-hingga, syarat kombinasi linear yang tak-terhingga (yakni, keadaan ketika kombinasi menggunakan konsep penjumlahan tak-hingga, dengan mengasumsikan penjumlahan seperti itu dapat didefinisikan) tidak disertakan dalam definisi.

Contoh

Ruang vektor riil ${ℝ}^3$ dapat direntang oleh himpunan $\{(-1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$. Himpunan ini juga merupakan suatu basis dari ${ℝ}^3$. Jika $(-1,0,0)$ digantikan dengan $(1,0,0)$, himpunan tersebut merupakan basis standar dari ${ℝ}^3$. Contoh himpunan pembangkit lain dari ${ℝ}^3$ adalah $\{(1,2,3),(0,1,2),(-1,\frac{1}{2},3),(1,1,1)\}$, namun himpunan ini bukan basis karena bersifat bergantung linear.

Himpunan $\{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)\}$ bukan himpunan merentang dari ${ℝ}^3$, karena rentangnya adalah subruang semua vektor di ${ℝ}^3$ yang komponen terakhirnya bernilai $0.$ Subruang tersebut juga direntang oleh himpunan $\{(1,0,0),(0,1,0)\},$ karena $(1,1,0)$ adalah kombinasi linear dari $(1,0,0)$ dan $(0,1,0).$

Himpunan kosong adalah himpunan merentang dari $\{(0,0,0)\},$ karena himpunan kosong adalah subset dari semua subruang vektor yang mungkin di ${ℝ}^3,$ dan $\{(0,0,0)\}$ adalah irisan dari semua subruang tersebut.

Himpunan semua monomial $x^n,$ dengan $n$ adalah bilangan bulat non-negatif, merentang ruang polinomial.

Teorema

Kesetaraan antar definisi

Untuk sebarang ruang vektor $V$ atas lapangan $K,$ himpunan semua kombinasi linear dari subset $S$ dari $V,$ adalah subruang terkecil dari $V$ yang mengandung $S.$

Bukti. Pertama kita tunjukkan bahwa $\text{span}(S)$ adalah subruang dari $V.$ Karena $S$ adalah subset dari $V,$ kita cukup membuktikan bahwa vektor $\mathrm{𝟎}$ anggota dari $\text{span}(S),$ bahwa $\text{span}(S)$ dibawah penjumlahan, dan bahwa $\text{span}(S)$ tertutup dibawah perkalian skalar. Misalkan $S=\{{𝐯}_1,{𝐯}_2,\dots ,{𝐯}_n\}$, mudah ditunjukkan bahwa vektor nol di $V$ ada di $\text{span}(S),$ karena $\mathrm{𝟎}=0{𝐯}_1+0{𝐯}_2+\cdots +0{𝐯}_n.$ Menjumlahkan sebarang dua kombinasi linear dari $S$ akan menghasilkan kombinasi linear dari $S:$$$({\lambda }_1{𝐯}_1+\cdots +{\lambda }_n{𝐯}_n)+({\mu }_1{𝐯}_1+\cdots +{\mu }_n{𝐯}_n)=({\lambda }_1+{\mu }_1){𝐯}_1+\cdots +({\lambda }_n+{\mu }_n){𝐯}_n,$$dengan semua ${\lambda }_i,{\mu }_i\in K$, dan mengalikan sebarang kombinasi linear dari $S$ dengan sebarang skalar $c\in K$ akan menghasilkan kombinasi linear dari $S:$ $$c({\lambda }_1{𝐯}_1+\cdots +{\lambda }_n{𝐯}_n)=c{\lambda }_1{𝐯}_1+\cdots +c{\lambda }_n{𝐯}_n.$$Alhasil, $\text{span}(S)$ adalah subruang dari $V.$

Misalkan $W$ adalah subruang $V$ yang mengandung $S.$ Perhatikan bahwa $S\subseteq \mathrm{span}S,$ karena semua ${𝐯}_i$ merupakan kombinasi linear dari $S$ (secara langsung). Karena $W$ tertutup dibawah penjumlahan dan perkalian skalar, maka setiap kombinasi linear ${\lambda }_1{𝐯}_1+\cdots +{\lambda }_n{𝐯}_n$ harus berada di $W.$ Akibatnya, $\text{span}(S)$ terkandung di semua subruang dari $V$ yang mengandung $S.$ Lebih lanjut, irisan semua subruang tersebut, yakni subruang terkecil, sama dengan himpunan semua kombinasi linear dari $S.$

Kardinalitas himpunan merentang setidaknya sebesar himpunan bebas linear

Sebarang himpunan $S$ yang merentang ruang vektor $V$ harus memiliki anggota setidaknya sebanyak jumlah anggota pada sebarang himpunan bebas linear dari $V.$

Bukti. Misalkan $S=\{{𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_m\}$ adalah suatu himpunan merentang dan $W=\{{𝐰}_1,\dots ,{𝐰}_n\}$ adalah himpunan vektor-vektor yang saling bebas linear di $V.$ Kita akan menunjukkan bahwa $m\ge n.$

Karena $S$ merentang $V,$ maka $S\cup \{{𝐰}_1\}$ juga harus merentang $V,$ dan ${𝐰}_1$ harus merupakan hasil kombinasi linear dari $S.$ Akibatnya $S\cup \{{𝐰}_1\}$ bergantung linear, dan kita dapat membuat satu vektor dari $S$ yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi anggota $S$ lainnya. Vektor ini tidak mungkin ${𝐰}_i$ karena $W$ bebas linear. Himpunan yang dihasilkan proses ini adalah $\{{𝐰}_1,{𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_{i-1},{𝐯}_{i+1},\dots ,{𝐯}_m\},$ yang merupakan himpunan merentang bagi $V.$ Kita ulangi proses ini sebanyak $n$ kali, yang tahap ke-$p$-nya akan menghasilkan himpunan hasil gabungan $\{{𝐰}_1,\dots ,{𝐰}_p\}$ dan $m-p$ vektor dari $S.$

Dapat dipastikan sampai tahap ke-$n$ akan selalu ada suatu ${𝐯}_i$ untuk dibuang dari $S$, akibatnya ${𝐯}_i$ setidaknya sama banyaknya dengan ${𝐰}_i$; dengan kata lain, $m\ge n.$ Untuk membuktikan hal ini, kita menggunakan bukti kontradiksi dengan menganggap $m<n.$ Saat tahap ke-$m$, kita memiliki himpunan $\{{𝐰}_1,\dots ,{𝐰}_m\}$ dan kita dapat menambahkan vektor baru ${𝐰}_{m+1}.$ Tapi karena $\{{𝐰}_1,\dots ,{𝐰}_m\}$ adalah himpunan merentang dari $V,$ vektor ${𝐰}_{m+1}$ adalah kombinasi linear dari $\{{𝐰}_1,\dots ,{𝐰}_m\}$. Ini adalah kontradiksi, karena $W$ bersifat bebas linear.

Himpunan merentang dapat disederhanakan menjadi suatu basis

Misalkan $V$ adalah ruang vektor dimensi terhingga. Sebarang himpunan vektor yang merentang $V$ dapat disederhanakan menjadi suatu basis bagi $V,$ dengan membuang vektor dari keanggotaannya jika diperlukan (maksudnya, ketika ada vektor yang bergantung linear pada vektor-vektor lainnya). Jika aksioma pemilihan berlaku, teorema ini juga berlaku untuk kasus $V$ berdimensi tak-hingga. Teorema ini juga mengartikan sebarang basis adalah himpunan merentang terkecil, ketika $V$ berdimensi hingga.

Daftar pustaka

Buku

• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.

Situs web

• Templat:Cite web
• Templat:Cite web
• Templat:Cite web

Pranala luar

• Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.
• Templat:Cite web