Peta (matematika)

Fungsi adalah sebuah jenis peta, misalnya hubungan antara empat bangun berwarna dalam himpunan X ke warnanya di himpunan Y

Dalam matematika, peta sering digunakan sebagai sinonim dari fungsi, tetapi bisa juga berarti konsep yang lebih umum. Awalnya, ini adalah singkatan dari istilah pemetaan, yang biasanya mengacu kepada tindakan menerapkan sebuah fungsi ke elemen-elemen domainnya. Terminologi ini tidak sepenuhnya ditetapkan, karena pada umumnya tidak didefinisikan secara formal, dan bisa dianggap sebuah jargon. Istilah ini mungkin berasal dari generalisasi proses membuat peta geografis, yang dilakukan dengan memetakan permukaan Bumi ke selembar kertas.

Peta bisa jadi merupakan fungsi atau morfisme, meskipun keduanya memiliki beberapa kesamaan. Istilah peta bisa digunakan untuk membedakan jenis-jenis fungsi yang istimewa, misalnya homomorfisme. Contohnya, peta linear adalah sebuah homomorfisme dari ruang vektor, sedangkan istilah fungsi linear bisa jadi punya makna yang sama. Dalam teori kategori, peta bisa berarti sebuah morfisme, yang merupakan generalisasi dari konsep fungsi. Terkadang, istilah transformasi juga bisa digunakan untuk makna yang sama. Terdapat beberapa penggunaan yang lebih jarang dalam logika dan teori graf.

Peta sebagai fungsi

Dalam banyak cabang matematika, istilah peta digunakan dalam artian sebuah fungsi, terkadang dengan sifat spesifik yang penting untuk cabang tersebut. Contohnya, "peta" adalah sebuah "fungsi kontinu" dalam topologi, sebuah "transformasi linear" dalam aljabar linear, dll.

Beberapa pengarang, contohnya Serge Lang, menggunakan "fungsi" hanya untuk peta yang kodomainnya merupakan sebuah himpunan bilangan (sebuah subhimpunan dari R atau C), dan menggunakan istilah pemetaan untuk fungsi yang lebih umum.

Berbagai jenis peta merupakan subjek dari teori-teori penting, di antaranya adalah homomorfisme dalam aljabar abstrak, isometri dalam geometri, operator dalam analisis dan representasi dalam teori grup.

Peta sebagai morfisme

Dalam teori kategori, "peta" biasanya digunakan sebagai sinonim dari "morfisme" atau "anak panah", dan sifatnya lebih umum daripada "fungsi". Contohnya, sebuah morfisme $f:X\to Y$ dalam sebuah kategori konkret (morfisme yang bisa dianggap sebagai fungsi) membawa informasi tentang domain ($X$ yang merupakan sumber morfisme) dan kodomainnya ($Y$ yang merupakan tujuan). Dalam definisi fungsi $f:X\to Y$ yang sering digunakan, $f$ adalah subhimpunan dari $X\times Y$ yang terdiri dari semua pasangan $(x,f(x))$ untuk $x\in X$. Dalam artian ini, fungsi tidak membawa informasi tentang himpunan $Y$ yang digunakan sebagai kodomain; hanya jangkauan $f(X)$ yang ditentukan oleh fungsi.