Medan hingga
Dalam matematika, medan berhingga (disebut juga medan Galois dari matematikawan Evariste Galois) adalah medan yang berisi elemen berjumlah berhingga. Seperti medan lainnya, medan berhingga adalah himpunan yang memiliki operasi pertambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang didefinisikan dan memenuhi aturan tertentu. Contoh umum medan berhingga adalah bilangan bulat mod Templat:Var serif dengan Templat:Var serif adalah bilangan prima.
Medan berhingga adalah dasar dalam beberapa bidang matematika dan ilmu komputer, termasuk teori bilangan, geometri aljabar, teori Galois, geometri berhingga, kriptografi, dan teori kode.
Sifat-sifat
Medan berhingga adalah himpunan berhingga yang termasuk medan, yakni bahwa pertambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian (kecuali pembagian dengan nol) terdefinisi dan memenuhi aturan tertentu yang dikenal sebagai aksioma medan.
Jumlah elemen dalam medan berhingga disebut derajat atau ukuran. Medan berhingga berderajat Templat:Var serif ada jika dan hanya jika derajat Templat:Var serif adalah perpangkatan prima Templat:Math dengan Templat:Var serif adalah bilangan prima dan Templat:Var serif adalah bilangan bulat positif. Dalam bidang berderajat Templat:Math, penambahan elemen apa pun sebanyak Templat:Var serif akan menghasilkan nol, yaitu karakteristik medan itu ialah Templat:Math.
Bila Templat:Math, semua medan berderajat Templat:Var serif isomorfik.[1] Terlebih lagi, suatu medan tidak dapat memiliki dua submedan berhingga dengan derajat yang sama. Semua medan dengan derajat yang sama dapat dituliskan sebagai , Templat:Math, atau Templat:Math dengan GF singkatan dari Galois field (medan Galois).[2]
Contoh medan berhingga paling sederhana adalah medan berderajat prima: untuk setiap bilangan prima Templat:Math, medan prima berderajat Templat:Var serif yang disimbolkan dengan Templat:Math, Templat:Math, , atau Templat:Math dapat disusun dari bilangan bulat modulus Templat:Math.
Referensi
Daftar pustaka
- Templat:Cite journal
- Templat:Cite journal
- Templat:Cite book
- Templat:Cite book
- Templat:Cite book
- Templat:Cite book
- Templat:SpringerEOM
- ↑ Templat:Citation
- ↑ Notasi terakhir dikenalkan oleh E. H. Moore pada tahun 1893 dalam International Mathematical Congress yang diselenggarakan di Chicago (Mullen dan Panario, 2013: 10).