Faktorion

Dalam teori bilangan, faktorion pada suatu basis bilangan $b$ adalah bilangan asli yang sama dengan jumlah faktorial dari angka-angkanya. Clifford A. Pickover memperkenalkan istilah faktorion.

Definisi

Katakan $n$ adalah bilangan asli. Untuk basis $b>1$, kita tentukan jumlah faktorial dari digit-digit $n$, ${\mathrm{SFD}}_b:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$, sekiranya:

${\mathrm{SFD}}_b(n)=\sum _{i=0}^{k-1}{d}_i!.$

Di mana $k=\lfloor {\log }_{b}n\rfloor +1$ adalah jumlah digit bilangan pada basis $b$, $n!$ adalah faktorial dari $n$ dan

$d_i=\frac{nmod{b}^{i+1}-nmod{b}^i}{b^i}$

adalah nilai dari digit ke-$i$ bilangan tersebut. Bilangan asli $n$ tergolong $b$ - faktorion jika bilangannya menjadi titik tetap untuk ${\mathrm{SFD}}_b$, yaitu jika ${\mathrm{SFD}}_b(n)=n$. $1$ dan $2$ adalah titik tetap untuk seluruh basis $b$, dan dengan demikian merupakan faktor trivial untuk setiap $b$, dan keseluruhan faktor lainnya adalah faktor nontrivial .

Contoh: 145 pada basis $b=10$ adalah faktorion karena $145=1!+4!+5!$ .

Untuk $b=2$, jumlah faktorial dari digit-digit tersebut hanya karena banyaknya angka $k$ pada basis 2 karena $0!=1!=1$ .

Suatu bilangan asli $n$ adalah faktorion sosiabel apabila ia merupakan titik periodik ${\mathrm{SFD}}_b$, Di mana ${\mathrm{SFD}}_b^k(n)=n$ untuk bilangan bulat positif $k$, dan membentuk siklus periode $k$ . Suatu faktor adalah faktor sosiabel dengan nilai $k=1$, dan faktor amisabel adalah faktor yang sosiabel dengan nilai $k=2$ .

Semua bilangan asli $n$ adalah poin praperiodik untuk ${\mathrm{SFD}}_b$, apa pun dasarnya sebab semua bilangan asli berbasis $b$ dengan digit-digit $k$ menghasilkan $b^{k-1}\le n\le (b-1)!(k)$ .Tapi, jika $k\ge b$, maka $b^{k-1}>(b-1)!(k)$ untuk $b>2$, jadi apapun $n$ akan menghasilkan $n>{\mathrm{SFD}}_b(n)$ hingga $n<b^b$. Ada banyak bilangan asli yang kurang dari $b^b$, oleh karena itu bilangan tersebut pasti mencapai titik periodik atau titik tetap kurang dari $b^b$, dan menjadikan ia titik praperiodik. Dan untuk $b=2$, jumlah digit $k\le n$ untuk bilangan apa pun, sekali lagi, menjadikan ia titik praperiodik. Dan ini juga berarti bahwasanya ada beberapa faktor dan siklus yang dibatasi untuk suatu basis $b$ .

${\mathrm{SFD}}_b^i(n)$ perlu jumlah iterasi $i$ untuk mencapai titik tetap ${\mathrm{SFD}}_b$ fungsi persistensi $n$, dan tak terdefinisi apabila tidak pernah mencapai titik tetap.

Faktorion Templat:Math

b = ( k − 1)!

Katakan $k$ adalah bilangan bulat positif dan basis bilangan $b=(k-1)!$. Oleh sebab itu:

• $n_1=kb+1$ adalah faktorion ${\mathrm{SFD}}_b$ untuk semua $k.$ 

• $n_2=kb+2$ adalah faktorion ${\mathrm{SFD}}_b$ untuk semua $k$ .

Faktorion

$k$	$b$	$n_1$	$n_2$
4	6	41	42
5	24	51	52
6	120	61	62
7	720	71	72

b = k ! − k +1

Katakan $k$ adalah bilangan bulat positif dan basis $b=k!-k+1$. Oleh sebab itu:

• $n_1=b+k$ adalah faktorion ${\mathrm{SFD}}_b$ untuk semua $k$ .

Tabel faktorion dan siklus Templat:Math

Basis $b$ mewakilkan semua angka.

Basis $b$	Faktorion nontrivial ( $n\ne 1$, $n\ne 2$ )	Siklus
2	$\varnothing$	$\varnothing$
3	$\varnothing$	$\varnothing$
4	13	3 → 12 → 3
5	144	$\varnothing$
6	41, 42	$\varnothing$
7	$\varnothing$	36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36
8	$\varnothing$	3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175
9	62558
10	145, 40585	871 → 45361 → 871 872 → 45362 → 872