E (konstanta matematika)

Grafik persamaan $y=1/x$. Di antaranya, $e$ adalah bilangan unik yang lebih besar dari 1 yang membuat daerah yang diarsir sama dengan 1.

Templat:Sidebar with collapsible lists Bilangan $e$ adalah konstanta matematika, bernilai sekitar 2,71828, yang merupakan basis logaritma alami dan fungsi eksponensial. Selain nama tersebut, bilangan ini juga disebut sebagai bilangan Euler yang namanya diambil dari Leonhard Euler, seorang matematikawan Swiss. Walaupun demikian, hal tersebut dapat menimbulkan kebingungan dengan bilangan bernama mirip, seperti bilangan Euler (deret), dan konstanta Euler (dinotasikan $\gamma$). Di samping Euler, bilangan $e$ juga disebut sebagai konstanta Napier yang namanya diambil dari John Napier. Bilangan tersebut sendiri pertama kali ditemukan oleh Jacob Bernoulli saat ia mempelajari bunga majemuk.

Bilangan Templat:Mvar adalah salah satu bilangan terpenting dalam matematika, bilangan lainnya, antara lain 0, 1, Templat:Mvar, dan Templat:Mvar. Kelima bilangan tersebut merupakan bagian identitas Euler Templat:Math dan memainkan peran penting serta sering muncul pada berbagai bidang matematika. Sama seperti konstanta Templat:Mvar, bilangan Templat:Mvar irasional yang artinya hal tersebut tidak bisa dinyatakan sebagai pembagian antara dua bilangan bulat. Lebih lanjut, bilangan Templat:Mvar juga transenden yang artinya hal tersebut bukan solusi (pembuat nol) sebuah polinomial. Nilai bilangan Templat:Mvar hingga desimal ke-30 adalah sebagai berikut: Templat:Block indent

Definisi

Bilangan Templat:Mvar diungkapkan sebagai limit $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n,$$ ungkapan yang diperoleh saat menghitung bunga majemuk

Selain itu, bilangan tersebut juga diungkapkan sebagai deret takhingga $$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\cdots .$$Bilangan tersebut adalah angka positif khusus Templat:Mvar yang menjadikan fungsi Templat:Math bergradien 1 di titik Templat:Math.

Lebih lanjut, bilangan tersebut juga diungkapkan sebagai $$e=\exp (1),$$ dengan $\exp$ fungsi eksponesial, fungsi yang turunannya sama dengan dirinya sendiri dan memiliki nilai $\exp (0)=1.$ Oleh karena fungsi eksponensial sering dituliskan dengan $x\mapsto e^x,$ ungkapan tersebut ditulis ulang sebagai $$e=e^1.$$ Fungsi logaritma berbasis Templat:Mvar didefinisikan sebagai invers atas fungsi Templat:Math Sebagai contoh, persamaan Templat:Math memiliki invers ${\log }_{b}b=1.$ Dengan demikian, persamaan $e=e^1$ mengartikan bahwa Templat:Mvar adalah basis logaritma natural.

Bilangan Templat:Mvar juga diungkapkan sebagai integral: $$\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{dx}{x}=1.$$ Untuk bentuk lainnya, terdapat pada Templat:Slink

Sejarah

Pembahasan mengenai bilangan $e$ pertama kali diterbitkan pada tahun 1618 oleh John Napier dalam karyanya mengenai tabel lampiran logaritma. Namun, tabel tersebut tidak berisi bilangan itu sendiri, hanya daftar nilai logaritma berbasis $e$. Tabel tersebut sendiri dipercayai sebagai tulisan William Oughtred.

Bilangan $e$ pertama kali diperkenalkan oleh Jacob Bernoulli pada tahun 1683, yang mencoba mencari nilai dari ekspresi berikut (yang sama dengan $e$):

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n.$

Penggunaan konstanta yang diketahui pertama kali, diawali oleh huruf $b$ adalah dalam korespondensi dari Gottfried Leibniz hingga Christiaan Huygens pada tahun 1690 dan 1691. Leonhard Euler memperkenalkan huruf $e$ sebagai dasar untuk logaritma alami, ditulis dalam surat kepada Christian Goldbach pada tanggal 25 November 1731. Euler mulai menggunakan huruf $e$ untuk konstanta ini pada tahun 1727 atau 1728, dalam sebuah makalah yang tidak diterbitkan tentang kekuatan ledakan dalam meriam, sedangkan perkenalan pertama $e$ dalam sebuah publikasi adalah Mechanica Euler (1736). Meskipun beberapa peneliti menggunakan huruf $c$ pada tahun-tahun berikutnya, huruf $e$ lebih umum dan akhirnya menjadi standar.Templat:Citation needed

Dalam matematika, standar penulisannya adalah mengatur konstanta sebagai "$e$" yang ditulis dalam huruf miring; standar ISO 80000-2:2019 merekomendasikan penulisan konstanta ini dengan pengaturan huruf dalam gaya tegak, tetapi ini belum divalidasikan oleh komunitas ilmiah.Templat:Citation needed

Aplikasi

Bunga majemuk

Pengaruh memperoleh bunga tahunan 20% pada sebuah Templat:Nowrap investasi pada berbagai frekuensi penggabungan

Jacob Bernoulli menemukan konstanta ini pada tahun 1683, ketika mempelajari pertanyaan tentang bunga majemuk: Templat:Quote

Jika bunga dikreditkan dua kali dalam setahun, tingkat bunga untuk setiap 6 bulan akan menjadi 50%, jadi $ 1 awal dikalikan 1,5 dua kali, menghasilkan Templat:Nowrap di akhir tahun. Bunga hasil kuartalan Templat:Nowrap, dan penggabungan hasil bunga bulanan Templat:Nowrap Bila ada Templat:Math interval majemuk, bunga untuk setiap interval akan Templat:Math dan nilainya pada akhir tahun akan menjadi $1.00 × Templat:Math.

Bernoulli memperhatikan bahwa urutan ini mendekati batas (kekuatan minat) dengan nilai Templat:Math yang lebih besar dan, dengan demikian, interval penggabungan yang lebih kecil. Penggunaan bunga mingguan (Templat:Math) menghasilkan $ 2,692597 ..., sementara penggunaan bunga uang harian (Templat:Math) menghasilkan $ 2,714567 ... (sekitar dua sen lebih). Batasnya sebagai Templat:Math tumbuh besar adalah jumlah yang kemudian dikenal sebagai Templat:Mvar. Artinya, dengan penggabungan kontinu, nilai akun akan mencapai $2.7182818...

Secara lebih umum, akun yang dimulai dari $ 1 dan menawarkan tingkat bunga tahunan sebesar Templat:Math, setelah itu Templat:Math tahun, hasil dari Templat:Math dolar dengan penambahan bunga terus-menerus.

(Perhatikan di sini karena Templat:Math adalah desimal yang setara dengan suku bunga yang dinyatakan sebagai persentase, jadi untuk bunga 5%, Templat:Math.)

Percobaan-percobaan Bernoulli

Grafik probabilitas P jika Templat:Em mengamati peristiwa independen masing-masing probabilitas 1/n sesudah n Pengadilan Bernoulli, dan 1 − P  vs n ; dapat diamati bahwa ketika n meningkat, probabilitas 1/n peristiwa kebetulan tidak pernah muncul setelah n mencoba dengan cepat Templat:Nowrap

Bilangan dari Templat:Mvar itu sendiri juga memiliki aplikasi dalam teori probabilitas, dengan cara yang tidak jelas terkait dengan pertumbuhan eksponensial:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{10^6}{k}){\left(10^{-6}\right)}^k{(1-10^{-6})}^{10^6-k}.$

Secara khusus, kemungkinan hadil nol kali (Templat:Math) adalah

${(1-\frac{1}{10^6})}^{10^6}.$

yang sangat mendekati batas

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{1}{n})}^n=\frac{1}{e}.$

Distribusi normal standar

Distribusi normal dengan rata-rata nol dan deviasi standar satuan dikenal sebagai distribusi normal standar, diberikan oleh fungsi kepadatan probabilitas

$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}.$

Batasan varian unit (dan juga deviasi standar unit) menghasilkan Templat:Frac2 dalam eksponen, dan batasan luas total unit di bawah kurva $\varphi (x)$ menghasilkan faktor $1/\sqrt{2\pi }$.^[bukti] Fungsi ini simetris Templat:Math, di mana ia mencapai nilai maksimumnya $1/\sqrt{2\pi }$, dan memiliki titik belok di Templat:Math.

Kekacauan

Aplikasi lain dari Templat:Mvar, juga ditemukan sebagian oleh Jacob Bernoulli bersama dengan Pierre Raymond de Montmort, Ada dalam masalah kekacauan, juga dikenal sebagai masalah cek topi: Templat:Math tamu diundang ke pesta, dan di depan pintu, semua tamu memeriksa topi mereka dengan kepala pelayan, yang pada gilirannya menempatkan topi ke dalam Templat:Math kotak, masing-masing diberi label dengan nama satu tamu. Tapi kepala pelayan belum menanyakan identitas para tamu, jadi dia menempatkan topi ke dalam kotak yang dipilih secara acak. Masalah de Montmort adalah menemukan probabilitas bahwa tidak ada topi yang dimasukkan ke kotak yang tepat. Probabilitas ini, dilambangkan dengan $p_n$, didefinisikan sebagai:

$p_n=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{(-1{)}^n}{n!}=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}.$

Dengan Templat:Math sebagai nilai jumlah tamu cenderung tak terbatas, nilai Templat:Math akan semakin mendekati Templat:Math. Selanjutnya, banyaknya cara penempatan topi ke dalam kotak sehingga tidak ada topi yang berada di kotak yang tepat adalah Templat:Math (dibulatkan ke bilangan bulat terdekat untuk setiap bilangan positif Templat:Math).

Masalah perencanaan yang optimal

Nilai maksimum dari $\sqrt[x]{x}$ dapat diperoleh saat $x=e$. Selain itu, untuk nilai basis $b>1$, nilai maksimum dari $\frac{1}{x}{\log }_{b}x$ diperoleh saat $x=e$ (Permasalahan Steiner).

Dalam permasalahan lain, sebatang blok dengan panjang Templat:Mvar dipecah menjadi Templat:Mvar bagian yang sama. Nilai dari Templat:Mvar yang memaksimalkan produk dari panjang adalah:

$n=\lfloor \frac{L}{e}\rfloor$ atau $\lfloor \frac{L}{e}\rfloor$

Asimtotik

Angka Templat:Mvar terjadi secara alami sehubungan dengan banyak masalah yang melibatkan asimtotik. Contohnya adalah Rumus Stirling untuk asimtotik dari fungsi faktorial, di mana kedua bilangan tersebut Templat:Mvar dan [[pi|Templat:Pi]] muncul:

$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n.$

Sebagai konsekuensi,

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.$

Lihat pula

• Fungsi eksponensial
• Logaritma