Unsur identitas

Templat:Short descriptionDalam matematika, unsur identitas (Templat:Lang-en), atau unsur netral (Templat:Lang-en) dari operasi biner yang mengoperasi di himpunan adalah unsur hmpunan yang meninggalkan setiap elemen dari himpunan yang tidak berubah saat diterapkan dengannya. Konsep ini digunakan dalam struktur aljabar seperti grup dan gelanggang. Istilah unsur identitas sering disingkat menjadi identitas (seperti pada kasus identitas penambahan dan identitas perkalian), ketika tidak ada kemungkinan yang membingungkan, tetapi secara implisit, identitas bergantung pada operasi biner yang terkait dengannya.

Definisi

Misalkan Templat:Math adalah himpunan Templat:Mvar yang dilengkapi dengan operasi biner ∗. Maka unsurTemplat:Mvar dariTemplat:Mvar disebut identitas kiri jikaTemplat:Math untuk semuaTemplat:Mvar diTemplat:Mvar, dan unsurTemplat:Mvar dariTemplat:Mvar disebut identitas kanan jikaTemplat:Mathuntuk semuaTemplat:Mvar diTemplat:Mvar. JikaTemplat:Mvar adalah identitas kiri dan juga identitas kanan, makaTemplat:Mvar disebut identitas dwipihak (Templat:Lang-en), atau cukup disebut identitas.

Identitas terhadap penjumlahan disebut identitas aditif (seringkali dilambangkan sebagai 0) dan identitas terhadap perkalian disebut identitas perkalian (seringkali dilambangkan sebagai 1). Kedua identitas tersebut tidak harus berupa penjumlahan dan perkalian biasa, karena operasi yang mendasarinya dapat menjadi agak sembarangan. Pada kasus, sebagai contoh, di grup, unsur identitas terkadang dilambangkan dengan simbol $e$. Perbedaan antara identitas aditif dan perkalian paling sering digunakan untuk himpunan yang mendukung kedua operasi biner, seperti gelanggang, domain integral, and lapangan. Identitas multiplikatif sering disebut kesatuan dalam konteks terakhir (gelanggang dengan persatuan). Hal ini tidak boleh disamakan dengan unit dalam teori gelanggang, yang merupakan setiap unsur yang memiliki invers perkalian. Karena menurut definisinya sendiri, kesatuannya tersendiri merupakan satu kesatuan.

Contoh

Himpunan	Operasi	Identitas
Bilangan real	+ (penambahan)	0
Bilangan real	· (perkalian)	1
Bilangan bulat positif	kelipatan persekutuan terkecil	1
Bilangan bulat taknegatif	faktor persekutuan terbesar	0 (terhadap sebagian besar definisi faktor persekutuan terbesar)
Matriks $m\times n$	penambahan matriks
Matriks persegi $n\times n$	perkalian matriks	In (matriks identitas)
Matriks $m\times n$	○ (hasil kali Hadamard)	Templat:Math (matriks satuan)
Semua fungsi dari himpunan,Templat:Mvar, ke dirinya.	∘ (komposisi fungsi)	fungsi identitas
Semua distribusi di grup, Templat:Mvar	∗ (konvolusi)	Templat:Math (Dirac delta)
Bilangan real diperluas	Minimum/infimum	+∞
Bilangan real diperluas	Maksimum/supremum	−∞
Subhimpunan dari himpunan Templat:Mvar	∩ (irisan)	Templat:Mvar
Himpunan	∪ (union)	∅ (himpunan kosong)
String, daftar	Konkatenansi	string kosong, daftar kosong
Aljabar Boole	∧ (logika dan)	⊤ (kebenaran)
Aljabar Boole	∨ (logika atau)	⊥ (kepalsuan)
Aljabar Boole	⊕ (disjungsi eksklusif)	⊥ (kepalsuan)
Buhul	jumlah buhul	takbuhul
Permukaan kompak	# (jumlah terhubung)	S2
Grup	darab langsung	grup trivial
Dua anggotaTemplat:Math	∗ didefinisikan dengan Templat:Math dan Templat:Math	Templat:Mvar dan Templat:Mvar adalah identitas kiri. Namun pada operasi tersebut, tidak ada identitas kanan dan tidak ada identitas dwipihak.
Relasi homogen di himpunan $X$	darab relatif	relasi identitas

Properti

Pada contoh Templat:Math, dengan persamaan yang dinyatakan (lihat tabel sebelumnya), Templat:Math merupakan semigrup. Contoh tersebut memperlihatkan kemungkinan untukTemplat:Math yang mempunyai beberapa identitas kiri. Bahkan, setiap elemen bisa dapat identitas kiri. Dengan cara yang sama, kemungkinan untukTemplat:Math yang juga mempunyai beberapa identitas kanan. Namun, jika ada identitas kanan dan identitas kiri, maka kedua identitas tersebut harus ekuivalen, yang menghasilkan identitas dwipihak.

Untuk memperlihatkannya, perhatikan bahwa jikaTemplat:Mvar adalah identitas kiri danTemplat:Mvar adalah identitas kanan, maka Templat:Math. Secara khusus, persamaan tersebut tidak akan pernah ada lebih dari satu identitas dwipihak: jika ada dua unsur, katakanlahTemplat:Mvar dan Templat:Mvar, maka Templat:Math harus sama denganTemplat:Mvar dan Templat:Mvar.

Hal ini mungkin jugaTemplat:Math tidak mempunyai elemen identitas, seperti kasus bilangan bulat genap terhadap operasi perkalian. Contoh umum lainnya adalah perkalian silang dari vektor, dengan ketiadaan elemen identitas terkait dengan fakta bahwa arah dari setiap perkalian silang taknol selalu ortogonal terhadap setiap unsur yang dikalikan. Artinya, perkalian tersebut tidak dapat memperoleh vektor taknol searah dengan aslinya. Namun, contoh lain dari grup tanpa unsur identitas melibatkan semigrup aditif dari bilangan asli positif.

Daftar pustaka

• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation

Bacaan lebih lanjut

• M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, Templat:ISBN, p. 14–15