Matriks simetrik

Simetri pada matriks simetrik berukuran 5×5.

Dalam aljabar linear, matriks simetrik adalah jenis matriks persegi yang sama dengan matriks hasil transposnya. Secara formal, matriks $A$didefinisikan matriks simetrik jika $A=A^{\text{T}}$. Karena sifat kesamaan pada matriks memerlukan kedua matriks memiliki ukuran yang sama, hanya matriks persegi yang dapat simetrik.

Elemen-elemen pada matriks simetrik saling simetrik sepanjang diagonal utamanya. Secara lebih formal, misal $a_{ij}$ menyatakan elemen matriks $A$ pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$. Matriks $A$ simetrik jika dan hanya jika untuk setiap $i,j$ berlaku $a_{ij}=a_{ji}$.

Setiap matriks persegi diagonal bersifat simetrik, karena setiap elemen non-diagonal utama bernilai nol.

Contoh

Berikut adalah contoh matriks simetrik ukuran $3\times 3$ :

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 7& 3\\ 7& 4& 5\\ 3& 5& 6\end{array}\right]$

Sifat

Sifat dasar

• Penjumlahan dan pengurangan dua matriks simetrik menghasilkan matriks simetrik

• Hal ini tidak selalu benar untuk hasil perkalian: untuk sebarang matriks $A$ dan $B$, matriks $AB$ bersifat simetrik jika dan hanya jika $A$ dan $B$ saling komutatif, yakni, jika $AB=BA$.

• Untuk bilangan bulat $n$, $A^n$ matriks simetrik jika $A$ matriks simetrik.

• Jika $A^{-1}$ ada, maka matriks tersebut simetrik jika dan hanya jika $A$ simetrik.

Penguraian menjadi matriks simetrik dan simetrik-miring

Setiap matriks persegi dapat dituliskan secara tunggal sebagai penjumlahan matris simetrik dan matriks simetrik-miring. Misal ${\text{Mat}}_n$ menyatakan ruang matriks ukuran $n\times n$. Jika ${\text{Sym}}_n$ adalah ruang matriks simetrik ukuran $n\times n$ dan ${\text{Skew}}_n$ adalah ruang matriks simetrik-miring ukuran $n\times n$, maka ${\text{Mat}}_n={\text{Sym}}_n+{\text{Skew}}_n$ dan ${\text{Sym}}_n\cap {\text{Skew}}_n=\{0\}$; yakni,

${\text{Mat}}_n={\text{Sym}}_n\oplus {\text{Skew}}_n,$

dengan $\oplus$ adalah jumlah langsung. Selanjutnya, misal $X\in {\text{Mat}}_n$. Matriks $X$ dapat dinyatakan sebagai

$X=\frac{1}{2}(X+X^{\mathsf{\text{T}}})+\frac{1}{2}(X-X^{\mathsf{\text{T}}})$.

Perhatikan bahwa $\frac{1}{2}(X+X^{\mathsf{\text{T}}})\in {\text{Sym}}_n$ dan $\frac{1}{2}(X-X^{\mathsf{\text{T}}})\in {\text{Skew}}_n$. Hal ini benar untuk semua matriks persegi $X$ dengan elemen dari sebarang lapangan dengan nilai karakteristik bukan 2. Matriks simetrik ditentukan oleh $\frac{1}{2}n(n+1)$ skalar (banyaknya elemen di dan dan di atas diagonal utama). Mirip dengan itu, matriks simetrik-miring ditentukan dari $\frac{1}{2}n(n-1)$ skalar (banyaknya elemen di atas diagonal utama).

Matriks yang kongruen dengan matriks simetrik

Setiap matriks yang kongruen dengan matriks simetrik juga merupakan matriks simetrik: jika $X$ adalah matriks simetrik, begitu pula matriks $AX{A}^{\mathrm{T}}$ untuk sebarang matriks $A$.

Daftar pustaka

• Templat:Citation

Pranala luar

• Templat:Springer
• A brief introduction and proof of eigenvalue properties of the real symmetric matrix
• How to implement a Symmetric Matrix in C++