Teorema limit seragam

Dalam matematika, teorema limit seragam menyatakan bahwa limit seragam dari suatu barisan fungsi kontinu juga fungsi kontinu.

Isi Pernyataan

Lebih tepatnya, diberikan $X$ adalah suatu ruang topologis dan $Y$ adalah ruang metrik. Misalkan $f_{n} : X \to Y$ adalah barisan fungsi yang konvergen seragam ke fungsi $f : X \to Y$ . Menurut teorema limit seragam, jika fungsi $f_{n}$ adalah fungsi kontinu (untuk setiap bilangan asli $n$ ), maka limit fungsinya (yaitu fungsi $f$ ) adalah fungsi kontinu juga.

Teorema ini tidak berlaku jika hipotesis konvergensi seragam diganti dengan konvergensi titik demi titik. Sebagai contoh, misalkan $f_{n} : [0, 1] \to ℝ$ adalah barisan fungsi $f_{n} (x) = x^{n}$ . Dari definisi fungsi $f_{n}$ , terlihat jelas bahwa fungsi $f_{n}$ adalah fungsi kontinu, untuk setiap bilangan asli $n$ . Akan tetapi, barisan tersebut konvergen titik demi titik ke suatu fungsi $f$ yang diskontinu, dengan $f (x) = {\begin{matrix} 0 & untuk x \in [0, 1) \\ 1 & untuk x = 1 \end{matrix}$ Contoh lainnya dapat dilihat pada gambar di bagian kanan atas halaman ini.

Dalam istilah pada ruang fungsi, teorema limit seragam menyatakan bahwa ruang $𝒞 (X, Y)$ dari semua fungsi kontinuu dari ruang topologis $X$ ke ruang metrik $Y$ adalah himpunan bagian tertutup dari $Y^{X}$ terhadap norma seragam. Pada kasus dimana $Y$ merupakan ruang metrik lengkap, hal tersebut mengakibatkan $𝒞 (X, Y)$ juga merupakan ruang metrik lengkap. Lebih lanjut, jika $Y$ adalah ruang Banach, maka $𝒞 (X, Y)$ itu sendiri adalah ruang Banach terhadap norma seragam.

Teorema limit seragam juga berlaku jika hipotesis fungsi kontinu diganti dengan kontinu seragam. Dengan kata lain, jika $X$ dan $Y$ adalah ruang metrik dan $f_{n} : X \to Y$ adalah barisan fungsi kontinu seragam yang konvergen seragam ke fungsi $f$ , maka fungsi $f$ juga fungsi yang kontinu seragam.

Bukti

Kasus Khusus : Bilangan Riil dengan Jarak Euklides

Untuk membuktikan kekontinuan dari fungsi $f$ pada interval $[a, b] \subseteq ℝ$ dengan fungsi jarak beda mutlak, maka berdasarkan definisi kekontinuan, harus ditunjukkan bahwa $(\forall ε > 0) (\exists δ > 0) ((| x - c | < δ) ⟹ (| f (x) - f (c) | < ε))$ untuk setiap $c \in [a, b]$ .

Diambil sembarang $c \in [a, b]$ dan suatu nilai $ε > 0$ . Berdasarkan hipotesis,

Diketahui bahwa fungsi $f_{n}$ konvergen seragam ke $f$ . Berdasarkan definisi konvergensi seragam, maka $(\exists k \in ℕ) ((n \geq k) ⟹ (| f_{n} (x) - f (x) | < \frac{ε}{3}))$ untuk sembarang $x \in [a, b]$ . Jika dipilih $n = k$ , maka berlaku pertidaksamaan $| f_{k} (x) - f (x) | < \frac{ε}{3}$ untuk sembarang $x \in [a, b]$ . Oleh karena $c \in [a, b]$ , maka berlaku juga $| f_{k} (c) - f (c) | < \frac{ε}{3}$
Diketahui bahwa fungsi $f_{n}$ adalah fungsi kontinu pada interval $[a, b]$ , untuk setiap $n \in ℕ$ . Berdasarkan definisi kontinuu, maka $(\exists δ_{n} > 0) ((| x - c | < δ_{0}) ⟹ (| f_{n} (x) - f_{n} (c) | < \frac{ε}{3}))$ Oleh karena $k \in ℕ$ , maka $(\exists δ_{k} > 0) ((| x - c | < δ_{0}) ⟹ (| f_{k} (x) - f_{k} (c) | < \frac{ε}{3}))$

Apabila dipilih $δ = δ_{k}$ , maka semua pertidaksamaan di atas akan terpenuhi, sehingga dengan menggunakan pertidaksamaan segitiga, diperoleh $\begin{matrix} | f (x) - f_{k} (x) + f_{k} (x) - f_{k} (c) + f_{k} (c) - f (c) | & \leq \underset{Konvergensi seragam}{\underset{⏟}{| f (x) - f_{k} (x) |}} + \underset{Kekontinuan dari f_{k} (x)}{\underset{⏟}{| f_{k} (x) - f_{k} (c) |}} + \underset{Konvergensi seragam}{\underset{⏟}{| f_{k} (c) - f (c) |}} < \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} \\ | f (x) - f (c) | & < ε \end{matrix}$ Oleh karena nilai $c$ dipilih secara sembarang, maka terbukti bahwa fungsi $f$ kontinuu pada $[a, b]$ .

Perumuman

Untuk membuktikan kekontinuan dari fungsi $f$ pada suatu ruang topologis $X$ dengan suatu ruang metrik $Y$ , maka berdasarkan definisi kekontinuan, harus ditunjukkan bahwa untuk setiap $ε > 0$ , terdapat suatu persekitaran $S$ dari setiap titik $x \in X$ sedemikian sehingga $(\forall y \in S) ⟹ (‖ f (x) - f (y) ‖ < ε)$

Diambil sembarang $x \in X$ dan suatu nilai $ε > 0$ . Berdasarkan hipotesis,

Diketahui bahwa fungsi $f_{n}$ konvergen seragam ke $f$ . Berdasarkan definisi konvergensi seragam, maka $(\exists k \in ℕ) (\forall a \in X) ((n \geq k) ⟹ (‖ f_{n} (a) - f (a) ‖ < \frac{ε}{3}))$ Jika dipilih $n = k$ , maka berlaku pertidaksamaan $‖ f_{k} (a) - f (a) ‖ < \frac{ε}{3}$ untuk sembarang $a \in X$ . Oleh karena $x \in X$ , maka berlaku $‖ f_{k} (x) - f (x) ‖ < \frac{ε}{3}$
Diketahui bahwa fungsi $f_{n}$ adalah fungsi kontinu pada ruang topologis $X$ , untuk setiap $n \in ℕ$ . Berdasarkan definisi kontinuu, maka $(\exists S_{x}) (\forall y \in S_{x}) ⟹ (‖ f_{n} (x) - f_{n} (y) ‖ < \frac{ε}{3})$ Oleh karena $k \in ℕ$ , maka $(\exists S_{x}) (\forall y \in S_{x}) ⟹ (‖ f_{k} (x) - f_{k} (y) ‖ < \frac{ε}{3})$

Diambil sembarang $y \in S_{x}$ . Dengan menggunakan aksioma pertidaksamaan segitiga pada ruang metrik $Y$ , diperoleh $\begin{matrix} ‖ f (x) - f_{k} (x) + f_{k} (x) - f_{k} (y) + f_{k} (y) - f (y) ‖ & \leq \underset{Konvergensi seragam}{\underset{⏟}{‖ f (x) - f_{k} (x) ‖}} + \underset{Kekontinuan dari f_{k} (x)}{\underset{⏟}{‖ f_{k} (x) - f_{k} (y) ‖}} + \underset{Konvergensi seragam}{\underset{⏟}{‖ f_{k} (y) - f (y) ‖}} < \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} \\ ‖ f (x) - f (y) ‖ & < ε \end{matrix}$ Oleh karena nilai $x$ dan $y$ dipilih secara sembarang, maka terbukti bahwa fungsi $f$ kontinuu pada $X$ .