Teorema akar rasional

$x^3-4x^2+2x-8=0$

Nilai $x$	Nilai $P(x)$
$-8$	$-792$
$-4$	$-144$
$-2$	$-36$
$-1$	$-15$
$1$	$-9$
$2$	$-12$
$4$	$0$
$8$	$264$

Teorema akar rasional atau uji akar rasional atau teorema rasional nol adalah teorema yang pertama kali ditemukan oleh René Descartes pada abad ke-17. Teorema ini menjelaskan persamaan polinomial dengan koefisien adalah bilangan bulat dan solusi akarnya berupa bilangan rasional. Teorema mengatakan bahwa untuk persamaan

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$,

dimana $a_0,\dots ,a_n\in \mathbb{Z}$. Jika persamaan memiliki suatu akar rasional, maka bentuk akar tersebut adalah

$x=\left\{\frac{\pm \text{faktor dari }{a}_0}{\pm \text{faktor dari }{a}_n}\right\}$,

asalkan penyebut dan pembilang pada suatu solusi $x$ (adalah bilangan rasional) harus membagi habis $a_n$ dan $a_0$.

Misalnya, diberikan persamaan $P(x)=x^3-4x^2+2x-8=0$. Pada kasus ini, $-8$ memiliki faktor $\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8$ dan $1$ memiliki faktor $\pm 1$. Maka, akar pada penyelesaian tersebut adalah $\pm \{1,2,4,8\}$. Dengan memasukkan semua kemungkinan nilai $x$ agar persamaan di atas sama dengan nol, maka kita memperoleh $x=4$.

Bukti

Misal $x=\frac{p}{q}$ adalah akar rasional pada persamaan polinomial $P(x)$. Kita cukup membuktikan teorema ini bahwa $p\mid a_0$ dan $q\mid a_n$, dimana $\mathrm{FPB}(p,q)=1$. Substitusi nilai $x$ sehingga kita memperoleh

$a_n{\left(\frac{p}{q}\right)}^n+a_{n-1}{\left(\frac{p}{q}\right)}^{n-1}+\cdots +a_1\left(\frac{p}{q}\right)+a_0=0$.

Kita akan membuktikan bahwa $p$ membagi habis $a_0$. Mula-mula, kita pindah-ruaskan $a_0$.

$a_n{\left(\frac{p}{q}\right)}^n+a_{n-1}{\left(\frac{p}{q}\right)}^{n-1}+\cdots +a_1\left(\frac{p}{q}\right)=-a_0$.

Bagi kedua ruas dengan $q^n$ dan faktor-keluarkan $p$ untuk ruas kiri. Kita memperoleh

$p(a_n{p}^{n-1}+\cdots +a_1)=-a_0{q}^n$.

Disini, kita memperoleh bahwa $p$ membagi habis $a_0$. Sekarang, kita membuktikan $q$ membagi habis $a_n$. Dengan cara yang serupa, kita pindah-ruaskan $a_n{\left(\frac{p}{q}\right)}^n$ dan kalikan kedua ruas dengan $q^n$.

$q(a_{n-1}{p}^{n-1}+\cdots +a_{1}p{q}^{n+1}+a_0{q}^n)=-a_n{p}^n$.

Disini, kita memperoleh bahwa $q$ membagi habis $a_n$. $◼$