Matriks Hesse

Dalam matematika, matriks Hesse adalah matriks persegi dari turunan parsial orde kedua dengan fungsi bernilai skalar, atau medan skalar. Matriks ini juga dikenal sebagai matriks Hessian, Hessian, atau Hesse. Matriks ini mendeskripsikan kelengkungan lokal dari fungsi banyak peubah. Matriks Hesse dikembangkan pada abad ke-19 oleh matematikawan berkebangsaan Jerman, Ludwig Otto Hesse, dan kemudian dinamai dengan namanya. Hesse semula menggunakan istilah "determinan fungsional".

Definisi dan sifat

Misal Templat:Math adalah fungsi yang mengambil masukan sebuah vektor Templat:Math dan menghasilkan skalar Templat:Math. Jika semua turunan parsial kedua Templat:Math ada dan kontinu di dalam domain fungsi, maka matriks Hesse Templat:Math dari Templat:Math merupakan matriks persegi Templat:Math, biasanya didefinisikan dan disusun sebagai berikut:

$𝐇f=\left[\begin{array}{cccc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2^2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n^2}\end{array}\right].$

atau, dengan menyatakan sebuah persamaan untuk koefisien menggunakan indeks i dan j:

$(𝐇f{)}_{i,j}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}.$

Determinan matriks Hesse disebut dengan determinan Hesse.

Matriks Hesse berkaitan dengan matriks Jacob lewat hubungan Templat:Math.

Matriks Hesse merupakan matriks simetris jika semua turunan parsial kedua Templat:Math kontinu dalam lingkungan Templat:Math dari titik Templat:Math yang diberikan. Hal ini adalah akibat dari Teorema Schwarz yang menyatakan kekontinuan turunan kedua fungsi menyebabkan urutan diferensiasi fungsi tidak berpengaruh. Sehingga,

$𝐇f_{ij}=\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_j}\right)=\frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)=𝐇f_{ji}$

Aplikasi

Uji turunan kedua

Matriks Hesse dari suatu fungsi cembung bersifat semidefinit positif. Sifat ini dapat digunakan untuk menguji apakah suatu titik kritis Templat:Math merupakan maksimum lokal, minimum lokal, atau titik pelana, dengan cara:

Jika matriks Hesse definit positif di Templat:Math, maka Templat:Math mencapai minimum lokal terpencil di Templat:Math. Sedangkan jika matriks Hesse definit negatif di Templat:Math, maka Templat:Math mencapai maksimum lokal terpencil di Templat:Math. Jika matriks Hesse memiliki nilai eigen positif dan negatif, maka Templat:Math adalah titik pelana untuk Templat:Math. Selain kasus-kasus tersebut, uji ini tidak dapat menyimpulkan apa pun. Kondisi ini dipenuhi pada minimum lokal, matriks Hesse merupakan semidefinit positif, dan pada maksimum lokal, matriks Hesse merupakan semidefinit negatif.

Perhatikan bahwa untuk matriks Hesse semidefinit positif dan semidefinit negatif, uji ini tidak dapat menyimpulkan apapun (titik kritis tempat matriks Hesse semidefinit, tetapi bukan definit, titik tersebut mungkin merupakan ekstremum lokal atau titik pelana). Akan tetapi, lebih banyak yang dapat dibicarakan dari sudut pandang teori Morse.

Uji turunan kedua fungsi satu dan dua peubah sederhana. Pada fungsi satu peubah, matriks Hesse hanya memuat satu turunan kedua; jika positif maka Templat:Math adalah minimum lokal, dan jika negatif maka Templat:Math adalah maksimum lokal; jika nol maka uji tidak dapat menyimpulkan apapun. Pada fungsi dua peubah determinan dapat digunakan karena determinan merupakan hasil kali nilai eigen. Jika determinan positif maka kedua nilai eigen sama-sama positif atau negatif. Jika determinan bernilai negatif, maka kedua nilai eigen berbeda tanda. Jika determinan bernilai nol, maka uji turunan kedua tidak dapat memyimpulkan apapun.

Setara dengan itu, kondisi orde kedua yang minimum atau maksimum lokalnya dapat cukup diekspresikan dalam barisan minor (determinan submatriks) utama (ujung kiri atas) matriks Hesse; kasus ini terjadi ketika jumlah kendala sama dengan nol. Secara khusus, kondisi cukup untuk minimum adalah ketika semua minor utama bernilai positif, sedangkan kondisi cukup untuk maksimum adalah minor berbeda tanda dengan minor 1×1 bertanda negatif.

Titik kritis

Jika gradien (vektor turunan parsial) dari fungsi Templat:Math nol pada suatu titik Templat:Math, maka Templat:Math memiliki titik kritis (atau titik stasioner) di Templat:Math. Determinan matriks Hesse di Templat:Math kemudian disebut diskriminan. Jika determinan ini bernilai nol, maka Templat:Math disebut titik kritis merosot Templat:Math, atau titik kritis non-Morse Templat:Math. Di luar itu, titik kritis tersebut takmerosot, dan disebut titik kritis Morse Templat:Math.

Matriks Hesse memainkan peran penting dalam teori Morse dan teori katastrofe karena kernel dan nilai eigennya memberikan klasifikasi titik kritis.

Lihat pula

• Determinan matriks Hesse merupakan kovarian; lihat Invarian bentuk biner
• Identitas polarisasi, berguna untuk menghitung dengan cepat yang melibatkan Hesse.
• Matriks Jacob
• Persamaan Hesse

Bacaan lanjutan

• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite journal

Pranala luar

• Templat:Springer
• Templat:MathWorld