Simetri turunan kedua

Dalam ilmu matematika, simetri turunan kedua adalah kemungkinan mengganti susunan pencarian turunan parsial suatu fungsi pada kondisi tertentu.

$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$

Jika turunan parsial untuk $x_i$ ditandai dengan $i$ kecil, maka simetri turunan kedua adalah penegasan bahwa turunan parsial kedua$f_{ij}$ memenuhi identitas:

$f_{ij}=f_{ji}$

sehingga mereka membentuk n × n matriks simetri. Karakteristik ini juga disebut teorema Schwarz, teorema Clairaut atau teorema Young.

Dalam konteks persamaan diferensial parsial, simetri turunan kedua disebut kondisi integrabilitas Schwarz.

Pernyataan simetri secara formil

Simetri ini dapat ditulis sebagai berikut:

$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right).$

Ekspresi lain yang dapat digunakan adalah:

${\partial }_{xy}f={\partial }_{yx}f.$

Teorema Schwarz

Teorema Schwarz menyatakan bahwa jika

$f:{ℝ}^n\to ℝ$

memiliki turunan parsial kedua kontinu pada titik manapun di ${ℝ}^n$, misalnya, $(a_1,\dots ,a_n),$ maka $\mathrm{\forall }i,j\in \{1,2,\dots ,n\},$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(a_1,\dots ,a_n)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}(a_1,\dots ,a_n).$

Bacaan lanjut

• Templat:Springer