Konstanta Apéry

Dalam matematika, konstanta Apéry adalah jumlah dari invers perkalian denagan pangkat kubik positif. Artinya, konstanta Apéry didefinisikan sebagai bilangan$$\begin{array}{cc}\zeta (3)& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{n^3})\end{array}$$dengan Templat:Math adalah fungsi zeta Riemann. Bilangan ini memiliki nilai yang kira-kira sama denganTemplat:Sfnp

Templat:Math Templat:OEIS.

Konstanta Apéry dinamai dari Roger Apéry. Konstanta ini biasanya ditemukan dalam sejumlah masalah fisik, di antaranya dalam suku orde kedua dan ketiga rasio gyromagnetic elektron dengan menggunakan elektrodinamika kuantum. Konstanta ini juga ditemukan dalam analisis pohon rentang minimum acak, serta mempunyai hubungan dengan fungsi gamma ketika menyelesaikan integral tertentu yang melibatkan fungsi eksponensial dalam hasil bagi, yang kadangkala ditemukan dalam fisika, sebagai contoh, ketika mengevaluasi kasus dimensi dua dari model Debye dan hukum Stefan–Boltzmann.

Bilangan irasional

Templat:UnsolvedTemplat:Math disebut sebagai konstanta Apéry, konstanta yang dinamai dari matematikawan berkebangsaan Prancis, Roger Apéry. Roger Apéry membuktikan bahwa konstanta itu adalah bilangan irasional pada tahun 1978. Hasil tersebut dikenal sebagai teorema Apéry. Bukti aslinya rumit dan sulit dipahami, tetapi kemudian ditemukan bukti yang lebih sederhana.

Bukti irasionalitas Beuker yang disederhanakan melibatkan pendekatan integran dari integral rangkap tiga untuk $\zeta (3)$,$$\zeta (3)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1-xyz}dxdydz,$$ dengan menggunakan polinomial Legendre. Secara khusus, artikel van der Poorten menulis pendekatan ini dengan menyatakan bahwa $$I_3:=-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{P_n(x)P_n(y)\log (xy)}{1-xy}dxdy=b_n\zeta (3)-a_n,$$

dengan $|I|\le \zeta (3)(1-\sqrt{2}{)}^{4n}$, $P_n(z)$ adalah polinomial Legendre, dan suburutan $b_n,2\mathrm{lcm}(1,2,\dots ,n)\cdot a_n\in \mathbb{Z}$ adalah bilangan bulat atau hampir bilangan bulat. Akan tetapi, masalah yang menanyakan apakah konstanta Apéry adalah transendental masih belum terpecahkan.

Representasi deret

Klasik

Selain mempunyai deret$$\zeta (3)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3},$$Leonhard Euler memberikan representasi deretTemplat:Sfnp$$\zeta (3)=\frac{{\pi }^2}{7}(1-4\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)})$$pada tahun 1772, yang kemudian ditemukan kembali berulang kali.Templat:Sfnp

Konvergensi cepat

Sejak pada abad ke-19, sejumlah matematikawwan telah menemukan deret percepatan konvergensi untuk menghitung letak desimal Templat:Math. Sejak pada tahun 1990-an, terdapat riset yang bertujuan untuk mencari deret yang efisien secara komputasional dengan tingkat konvergensi yang cepat (lihat bagian "Digit yang diketahui").

Representasi deret berikut ditemukan oleh Andrey Markov pada tahun 1890, kemudian ditemukan kembali oleh Hjortnaes pada tahun 1953, dan sekali lagi, representasi deret tersebut ditemukan kembali dan diperkenalkan secara luas oleh Apéry pada tahun 1979:$$\zeta (3)=\frac{5}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-1}\frac{k{!}^2}{(2k)!k^3}.$$Representasi deret berikut ditemukan oleh Amdeberhan pada tahun 1996, yang memberikan (secara asimtotik) 1,43 dengan pembulatan letak desimal terbaru per suku:Templat:Sfnp$$\zeta (3)=\frac{1}{4}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-1}\frac{(k-1){!}^3(56k^2-32k+5)}{(2k-1{)}^2(3k)!}.$$

Representasi deret berikut ditemukan oleh Amdeberhan dan Zeilberger pada tahun 1997, yang memberikan (secara asimtotik) 3,01 dengan pembulatan letak desimal dengan terbaru per suku:Templat:Sfnp$$\zeta (3)=\frac{1}{64}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{k{!}^{10}(205k^2+250k+77)}{(2k+1){!}^5}.$$

Representasi deret berikut ditemukan oleh Sebastian Wedeniwski pada tahun 1998, yang memberikan (secara asimtotik) 5,04 dengan pembulatan letak desimal yang baru per suku:$$\zeta (3)=\frac{1}{24}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{(2k+1){!}^3(2k){!}^{3}k{!}^3(126392k^5+412708k^4+531578k^3+336367k^2+104000k+12463)}{(3k+2)!(4k+3){!}^3}.$$Representasi deret ini digunakan oleh Wedeniwski untuk menghitung konstanta Apéry dengan jutaan pembulatan letak desimal.

Representasi deret berikut ditemukan oleh Mohamud Mohammed pada tahun 2005, yang memberikan (secara asimtotik) 3,92 dengan pembulatan letak desimal desimal terbaru per suku:$$\zeta (3)=\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(2k){!}^3(k+1){!}^6(40885k^5+124346k^4+150160k^3+89888k^2+26629k+3116)}{(k+1{)}^2(3k+3){!}^4}.$$

Perhitungan menggunakan digit

Pada tahun 1998, Broadhurst memberikan representasi deret yang memungkinkan menghitung digit biner sembarang, dan untuk konstanta yang akan diperoleh dalam waktu linier dekat, dan ruang logaritma.

Representasi deret lainnya

Representasi deret berikut ditemukan oleh Ramanujan:$$\zeta (3)=\frac{7}{180}{\pi }^3-2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3(e^{2\pi k}-1)}.$$

Representasi deret berikut ditemukan oleh Simon Plouffe pada tahun 1998:$$\zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3\sinh (\pi k)}-\frac{11}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3(e^{2\pi k}-1)}-\frac{7}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3(e^{2\pi k}+1)}.$$

Templat:Harvtxt mengumpulkan banyak deret yang konvergen menuju ke konstanta Apéry.

Representasi integral

Ada banyak representasi integral untuk konstanta Apéry. Ada representasi integral yang sederhana, adapula yang tidak.

Rumus yang lebih rumit

Terdapat rumus lain, yaituTemplat:Sfnp$$\zeta (3)=\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos (2\arctan x)}{(x^2+1){(\cosh \frac{1}{2}\pi x)}^2}dx,$$danTemplat:Sfnp$$\zeta (3)=-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\log (xy)}{1-xy}dxdy=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\log (1-xy)}{xy}dxdy.$$

Rumus yang lebih rumit lainnya juga adalah:Templat:Sfnp$$\begin{array}{cc}\zeta (3)& =\frac{8{\pi }^2}{7}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x(x^4-4x^2+1)\log \log \frac{1}{x}}{(1+x^2{)}^4}dx\\ & =\frac{8{\pi }^2}{7}\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x(x^4-4x^2+1)\log \log x}{(1+x^2{)}^4}dx.\end{array}$$Terdapat sebuah kaitan dengan turunan dari fungsi gamma$$\zeta (3)=-\frac{1}{2}{\mathrm{\Gamma }}^{‴}(1)+\frac{3}{2}{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(1){\mathrm{\Gamma }}^{″}(1)-({\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(1){)}^3=-\frac{1}{2}{\psi }^{(2)}(1),$$dan rumus tersebut juga sangat berguna untuk menghitung turunan dari berbagai representasi integral dengan menggunakan rumus integral yang diketahui untuk gamma dan fungsi poligamma.Templat:Sfnp

Digit yang diketahui

Selama beberapa dekade terakhir, jumlah digit yang diketahui dari konstanta Apéry Templat:Math semakin banyak. Hal ini disebabkan karena peningkatan kinerja komputer dan algoritme yang berkembang.

Jumlah digit desimal yang diketahui dari konstanta Apéry Templat:Math

Tanggal	Angka desimal	Perhitungan dilakukan oleh
1735	16	Leonhard Euler
tak diketahui	16	Adrien-Marie Legendre
1887	32	Thomas Joannes Stieltjes
1996	Templat:Val	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1997	Templat:Val	Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
Mei 1997	Templat:Val	Patrick Demichel
Februari 1998	Templat:Val	Sebastian Wedeniwski
Maret 1998	Templat:Val	Sebastian Wedeniwski
Juli 1998	Templat:Val	Sebastian Wedeniwski
Desember 1998	Templat:Val	Sebastian WedeniwskiTemplat:Sfnp
September 2001	Templat:Val	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
Februari 2002	Templat:Val	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
Februari 2003	Templat:Val	Patrick Demichel & Xavier Gourdon
April 2006	Templat:Val	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
21 Januari 2009	Templat:Val	Alexander J. Yee & Raymond Chan
15 Februari 2009	Templat:Val	Alexander J. Yee & Raymond Chan
17 September 2010	Templat:Val	Alexander J. Yee
23 September 2013	Templat:Val	Robert J. Setti
7 Agustus 2015	Templat:Val	Ron Watkins
21 Desember 2015	Templat:Val	Dipanjan Nag
13 Agustus 2017	Templat:Val	Ron Watkins
26 Mei 2019	Templat:Val	Ian Cutress
26 Juli 2020	Templat:Val	Seungmin Kim

Lihat pula

• Fungsi zeta Riemann
• Masalah Basel — Templat:Math
• Daftar jumlah timbal balik

Referensi

• Templat:Citation.
• Templat:Citation.
• Templat:Citation.
• Templat:Citation.
• Templat:Citation.
• Templat:Citation.
• Templat:Citation.
• Templat:Citation.
• Templat:Citation.
• Templat:Citation.
• Templat:Citation.
• Templat:Citation.
• Templat:Citation.
• Templat:Citation.
• Templat:Citation.
• Templat:Citation.
• Templat:Citation.
• Templat:Citation.
• Templat:Citation.
• Templat:Citation.
• Templat:Citation (Message to Simon Plouffe, with all decimal places but a shorter text edited by Simon Plouffe).
• Templat:Citation (Message to Simon Plouffe, with original text but only some decimal places).
• Templat:Citation.
• Templat:Citation

• Templat:Citation
• Templat:Citation.
• Templat:Citation.