Keserupaan matriks

Templat:Short descriptionTemplat:DistinguishTemplat:Other usesDalam aljabar linear, dua matriks persegi $𝐀$ and $𝐁$ berukuran $n\times n$ disebut serupa jika ada matriks terbalikkan $𝐏$ yang memenuhi hubungan$$𝐁={𝐏}^{-1}𝐀𝐏.$$Matriks-matriks yang serupa merepresentasikan pemetaan linear yang sama dibawah dua basis yang (mungkin) berbeda, dengan $𝐏$ menjadi matriks perubahan basis. Transformasi $𝐀\mapsto {𝐏}^{-1}𝐀𝐏$ disebut transformasi keserupaan atau konjugasi dari matriks $𝐀$. Dalam grup linear umum, konsep keserupaan sama dengan konjugasi, dan matriks-matriks serupa juga disebut dengan konjugat. Akan tetapi, untuk suatu subgrup Templat:Mvar dari grup linear umum, konsep konjugasi dapat lebih ketat daripada keserupaan, karena mengharuskan $𝐏$ berada di Templat:Mvar.

Gambaran umum

Saat mendefinisikan suatu transformasi linear, terkadang ada keadaan ketika perubahan basis dari transformasi tersebut, dapat menghasilkan bentuk yang lebih sederhana. Sebagai contoh, matriks yang merepresentasikan rotasi di ${ℝ}^3$ dengan sumbu rotasi yang tidak sejajar dengan sumbu koordinat, mungkin rumit untuk dihitung. Akan tetapi, jika sumbu rotasi sejajar dengan sumbu-Templat:Mvar positif, matriks tersebut dapat dituliskan sebagai$$𝐒=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$$dengan $\theta$ menyatakan sudut dari rotasi. Di sistem koordinat yang baru ini, transformasi dapat dituliskan sebagai$${𝐲}^{\prime }=𝐒{𝐱}^{\prime },$$dengan ${𝐱}^{\prime }$ dan ${𝐲}^{\prime }$ masing-masing menyatakan vektor awal dan vektor hasil transformasi. Sedangkan di sistem koordinat lama, transformasi ini ditulis sebagai $$𝐲=𝐓𝐱,$$dengan vektor $𝐱$ dan $𝐲$, dan matriks tranformasi $𝐓$ yang tidak diketahui, berada di basis lama. Untuk menyatakan $𝐓$ menggunakan matriks transformasi yang lebih sederhana, kita menggunakan matriks perubahan basis $𝐏$ yang memetakan $𝐱$ dan $𝐲$ menjadi ${𝐱}^{\prime }=𝐏𝐱$ dan ${𝐲}^{\prime }=𝐏𝐲$, sehingga:$$\begin{array}{cccc}& & {𝐲}^{\prime }& =𝐒{𝐱}^{\prime }\\ & \Rightarrow & 𝐏𝐲& =𝐒𝐏𝐱\\ & \Rightarrow & 𝐲& =\left({𝐏}^{-1}𝐒𝐏\right)𝐱=𝐓𝐱.\end{array}$$Alhasil, matriks transformasi di basis awal, $𝐓$, dapat dihitung dengan mudah sebagai $𝐓={𝐏}^{-1}𝐒𝐏$. Dengan kata lain, transformasi keserupaan bekerja dalam tiga langkah: ubah masalah ke basis yang baru ($𝐏$), lakukan transformasi yang lebih sederhana ($𝐒$), lalu kembali ke basis yang lama (${𝐏}^{-1}$).

Sifat-sifat

Keserupaan adalah salah satu relasi ekuivalensi pada ruang matriks persegi. Karena matriks-matriks yang serupa jika dan hanya jika mereka menyatakan operator linear yang sama menurut basis-basis yang (mungkin) berbeda, matriks-matriks yang serupa memiliki semua sifat dari operator yang mereka nyatakan:

• Rank
• Polinomial karakteristik, dan nilai-nilai yang dapat diperoleh dari polinomial tersebut, seperti:
  • Determinan
  • Teras
  • Nilai-nilai eigen, dan kegandaan aljabar mereka.
• Kegandaan geometrik dari nilai-nilai eigen (namun tidak ruang-ruang eigen, karena itu berubah akibat perubahan basis oleh $𝐏$)
• Polinomial minimal
• Bentuk normal Frobenius
• Bentuk normal Jordan, hingga permutasi dari blok-blok Jordan
• Indeks nilpoten

Hubungan-hubungan ini mengakibatkan, untuk sebarang matriks $𝐀$, pencarian matriks "bentuk normal" $𝐁$ yang serupa dengan $𝐀$ dapat lebih disukai karena penelitian terkait matriks $𝐀$ dapat dimudahkan dengan menelitik matriks $𝐁$ yang lebih sederhana.

Keserupaan matriks-matriks tidak bergantung pada lapangan yang digunakan: jika $K$ adalah sublapangan dari lapangan $L$, dan $𝐀$ dan $𝐁$ adalah matriks atas $K$, maka $𝐀$ dan $𝐁$ saling serupa atas $K$ jika dan hanya jika mereka juga saling serupa atas $L$. Hal ini diakibatkan bentuk kanonik rasional atas $K$ juga merupakan bentuk kanonik rasional atas $L$. Akibatnya, bentuk-bentuk Jordan yang ada di lapangan yang lebih besar, untuk menentukan keserupaan dari matriks-matriks.

Lihat pula

• Bentuk kanonik
• Kekongruenan matriks
• Kesetaraan matriks

Referensi

Pustaka

• Templat:Cite book (Similarity is discussed many places, starting at page 44.)