Hiperkubus

Proyeksi perspektif

Kubus (Kubus 3D)	Tesseract (Kubus 4D)

Dalam geometri, Hiperkubus adalah analog dari ruang dimensi n dari sebuah Persegi pada bagian (Templat:Math) dan untuk bagian kubus pada (Templat:Math). Hal tersebut adalah dari himpunan tertutup dengan ruang kompak, polytope cembung hanya memiliki 1 kerangka terdiri dari kelompok berlawanan dengan parallel segmen garis disejajarkan di setiap dimensi ruang, tegak lurus satu sama lain dan memiliki panjang yang sama. Diagonal terpanjang sebuah hiperkubus dalam dimensi Templat:Math sama dengan $\sqrt{n}$.Templat:Sfn

Konstruksi

Diagram yang menunjukkan cara membuat tesseract dari suatu titik.

Animasi yang memperlihatkan cara mengonstruksi tesseract yang dimulai dari sebuah titik.

Hiperkubus dapat didefinisikan dengan menambahkan jumlah dimensi suatu bangun:

0 – Titik merupakan hiperkubus berdimensi nol.

1 – Jika seseorang menggeser titik tersebut pada satuan panjang, maka akan terbentuk suatu ruas garis. Ruas garis tersebut merupakan hiperkubus berdimensi satu.

2 – Jika seseorang menggeser ruas garis tersebut yang arahnya tegak lurus dengannya, maka akan menghasilkan sebuah persegi yang merupakan bangun datar berdimensi dua.

3 – Jika seseorang menggeser persegi pada satuan panjang yang arahnya tegak lurus dengan bidang, maka akan terbentuk sebuah kubus yang merupakan bangun ruang berdimensi tiga.

4 – Jika seseorang menggeser kubus ke satuan panjang ke dimensi keempat, maka akan menghasilkan hiperkubus pada satuan berdimensi 4, yaitu satuan tesseract.

Hal tersebut dapat digeneralisasikan untuk sebarang dimensi. Proses tersebut dapat diformalkan secara matematis sebagai penjumlahan Minkowski: hiperkubus berdimensi Templat:Math sama dengan jumlah Minkowski dari Templat:Math ruas garis dengan panjang satuannya yang saling tegak lurus. Penjumlahan tersebut disebut sebagai zonotop (zonotope).

Koordinat titik sudut

Hiperkubus satuan berdimensi $n$ adalah merupakan selubung cembung (convex hull) dari suatu titik dengan $n$ koordinat Cartesius masing-masing sama dengan $0$ atau $1$. Karena itu, hiperkubus juga merupakan darab Cartesius $[0,1{]}^n$ dari $n$ salinan dari interval satuan $[0,1]$. Hiperkubus satuan lainnya, yang berpusat di titik asal dari ruang sekitar, dapat diperoleh dengan menggunakan translasi. Bangun tersebut merupakan selubung cembung dari titik yang vektor koordinat Cartesiusnya adalah$$(\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{2},\cdots ,\pm \frac{1}{2}).$$Di dalam koordinat tersebut, tanda $\pm$ mengartikan bahwa tiap-tiap koordinat sama dengan $1/2$ atau $-1/2$. Satuan hiperkubus ini juga merupakan darab Cartesius $[-1/2,1/2{]}^n$. Satuan hiperkubus memiliki edge yang panjangnya $1$ dan volume berdimensi-$n$ darinya adalah $1$.

Elemen

Setiap dari Kubus pada-Templat:Math untuk Templat:Math terdiri dari elemen atau Kubus pada-Templat:Math dari dimensi yang lebih rendah, pada bagian Templat:Math-permukaan dimensi pada hiperkubus dari induk. Sisi adalah elemen apa pun dari Templat:Math dimensi hiperkubus induk. Sebuah hiperkubus dimensi Templat:Math mempunyai Templat:Math sisi pada (Templat:Math-garis dimensi memiliki Templat:Math titik ujung; bujur sangkar Templat:Math dimensi memiliki Templat:Math sisi atau tepi; kubus Templat:Math dimensi memiliki Templat:Math permukaan Templat:Math dimensi; Tesseract Templat:Math dimensi memiliki Templat:Math sel). Jumlah simpul (titik) dari hiperkubus adalah $2^n$ (kubus memiliki $2^3$ simpul, misalnya).

Jumlah dari Templat:Math-hiperkubus dengan dimensi pada batas sebuah Templat:Math-kubus adalah:

$E_{m,n}=2^{n-m}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})$,Templat:Sfn     darimana $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})=\frac{n!}{m!(n-m)!}$ dan Templat:Math menunjukkan faktorial dari Templat:Math.

Identitas tersebut dapat dibuktikan dengan argumen kombinatorial; masing-masing pada $2^n$ simpul mendefinisikan simpul dalam Templat:Math-batas dimensi. Ada $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})$ cara memilih garis mana ("sisi") yang menentukan subruang di mana batasnya berada. Tapi, setiap sisi dihitung $2^m$ kali karena memiliki banyak simpul, kita perlu membaginya dengan nomor ini.

Identitas ini juga dapat digunakan untuk menghasilkan rumus Templat:Math-dimensi luas permukaan kubus. Luas permukaan hiperkubus adalah

$2n{s}^{n-1}$.

Angka-angka tersebut juga dapat dihasilkan oleh relasi pengulangan linier

$E_{m,n}=2E_{m,n-1}+E_{m-1,n-1}$,     with $E_{0,0}=1$,  dan elemen tak terdefinisi (darimana $n<m$, $n<0$, atau $m<0$ ) $=0$.

Misalnya, memperluas persegi melalui 4 simpulnya menambahkan satu garis ekstra (sisi) per simpul, dan juga menambahkan kuadrat kedua terakhir, untuk membentuk sebuah kubus, memberikan $E_{1,3}$ = 12 baris secara total.

Elemen Hiperkubus $E_{m,n}$ Templat:OEIS

			m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	Kubus pada-Templat:Math	Nama	Schläfli Coxeter	Puncak Wajah dari nilai-Templat:Math	Tepi Wajah dari nilai-Templat:Math	Wajah Wajah dari nilai-Templat:Math	Sel Wajah dari nilai-Templat:Math	Wajah dari nilai-Templat:Math	Wajah dari nilai-Templat:Math	Wajah dari nilai-Templat:Math	Wajah dari nilai-Templat:Math	Wajah dari nilai-Templat:Math	Wajah dari nilai-Templat:Math	Wajah dari nilai-Templat:Math
0	Kubus pada nilai-0	Point Monon	( ) Templat:CDD	1
1	Kubus pada nilai-1	Segmen garis Dion	{} Templat:CDD	2	1
2	Kubus pada nilai-2	Persegi Tetragon	{4} Templat:CDD	4	4	1
3	Kubus pada nilai-3	Kubus Hexahedron	{4,3} Templat:CDD	8	12	6	1
4	Kubus pada nilai-4	Tesseract Octachoron	{4,3,3} Templat:CDD	16	32	24	8	1
5	Kubus pada nilai-5	Penteract Deka-5-tope	{4,3,3,3} Templat:CDD	32	80	80	40	10	1
6	Kubus pada nilai-6	Hexeract Dodeka-6-tope	{4,3,3,3,3} Templat:CDD	64	192	240	160	60	12	1
7	Kubus pada nilai-7	Hepteract Tetradeka-7-tope	{4,3,3,3,3,3} Templat:CDD	128	448	672	560	280	84	14	1
8	Kubus pada nilai-8	Octeract Hexadeka-8-tope	{4,3,3,3,3,3,3} Templat:CDD	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	Kubus pada nilai-9	Enneract Oktadeka-9-tope	{4,3,3,3,3,3,3,3} Templat:CDD	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1
10	Kubus pada nilai-10	Dekeract Ikosa-10-tope	{4,3,3,3,3,3,3,3,3} Templat:CDD	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

Grafik

- Dalam pengembangan -

Keluarga terkait dari polytopes

- Dalam pengembangan -

Templat:AnchorHubungan dengan (n−1)-kesederhanaan

- Dalam pengembangan -

Generalisasi Hiperkubus

- Dalam pengembangan -

Lihat pula

• Jaringan interkoneksi hiperkubus arsitektur komputer
• Kelompok hiperoktahedral, kelompok simetri Hiperkubus
• Hiperbola
• Simpleks
• Penyaliban (Corpus Hiperkubus) (karya seni terkenal)
• Templat:Tl

Referensi

• Templat:Cite journal
• Templat:Cite book p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n dimensions (n ≥ 5)
• Templat:Cite book Cf Chapter 7.1 "Cubical Representation of Boolean Functions" wherein the notion of "hypercube" is introduced as a means of demonstrating a distance-1 code (Gray code) as the vertices of a hypercube, and then the hypercube with its vertices so labelled is squashed into two dimensions to form either a Veitch diagram or Karnaugh map.

Pranala luar

• Templat:MathWorld
• Templat:MathWorld
• www.4d-screen.de (Rotasi 4D - 7D-Kubus)
• Rotating a Hypercube oleh Enrique Zeleny, Proyek Demonstrasi Wolfram.
• Hiperkubus Animasi Stereoskopik
• [1]