Himpunan lonjong

Dalam matematika, himpunan lonjong (disebut pula himpunan basis atau himpunan berakar ) adalah pasangan terurut $(X,x_0)$ dimana $X$ adalah satu himpunan dan $x_0$ adalah elemen dari $X$ disebut titik dasar, dieja sebagai titikdasar.Templat:Refpage

Peta antara himpunan lonjong $(X,x_0)$ dan $(Y,y_0)$ (disebut sebagai peta basis, peta lonjong, atau peta preserving titik) adalah fungsi dari $X$ untuk $Y$ dengan memetakan satu titik dasar ke titik lainnya, yaitu peta $f:X\to Y$ dengan $f(x_0)=y_0$. Dilambangkan dengan

$f:(X,x_0)\to (Y,y_0)$ .

Himpunan lonjong adalah struktur aljabar sederhana. Dalam pengertian aljabar universal, himpunan lonjong adalah himpunan $X$ dengan satu operasi nullari $*:X^0\to X,$ memiliki titik dasar. Peta lonjong adalah homomorfisme dari struktur aljabar.

Kelas dari semua himpunan lonjong dengan kelas dari semua peta berbasis membentuk sebuah kategori. Dalam kategori ini hmpunan singleton lonjong $(\{a\},a)$ adalah objek awal dan objek terminal, yaitu objek nol.Templat:Refpage Terdapat funktor setia dari himpunan menunjuk ke himpunan biasa, tetapi tidak lengkap dan kategori ini tidak ekuivalen.Templat:Refpage Secara khusus, himpunan kosong bukanlah himpunan lonjong karena tidak memiliki elemen yang dapat dipilih sebagai titik dasar.

Kategori himpunan lonjong dan peta rbasis ekuivalen dengan kategori himpunan dan fungsi parsial. Satu buku teks mencatat bahwa "Penyelesaian formal himpunan dan peta parsial dengan menambahkan 'tidak tepat', elemen 'tak hingga' diciptakan kembali berkali-kali, khususnya, dalam topologi (kompalikasi satu titik) dan dalam ilmu komputer teoretis."

Kategori himpunan lonjong dan peta lonjong isomorfik dengan kategori coslice $\mathrm{𝟏}\downarrow 𝐇𝐢𝐦𝐩𝐮𝐧𝐚𝐧$, dimana $\mathrm{𝟏}$ adalah satu set tunggal.Templat:Refpage Bertepatan dengan karakterisasi aljabar, karena peta unik $\mathrm{𝟏}\to \mathrm{𝟏}$ memperluas segitiga komutatif yang mendefinisikan panah dari kategori coslice untuk membentuk kotak komutatif dengan mendefinisikan homomorfisme aljabar.

Kategori himpunan lonjong dan peta lonjong memiliki kedua produk dan koproduk, tapi itu bukan kategori distributif. Merupakan contoh kategori di mana $0\times A$ tidak isomorfik untuk $0$.

Banyak struktur aljabar merupakan himpunan lonjong dengan cara trivial. Misalnya, grup adalah himpunan lonjong dengan elemen identitas sebagai titik dasar, sehingga grup homomorfisme merupakan peta yang mempertahankan titik.Templat:Refpage Pengamatan ini dapat dinyatakan kembali dalam istilah teoretis kategori sebagai keberadaan fungsi fogertful dari grup ke himpunan lonjong.Templat:Refpage

Himpunan lonjong dapat dilihat sebagai ruang lonjong bawah topologi diskrit atau sebagai ruang vektor atas bidang dengan satu elemen.

Sebagai "himpunan akar", gagasan tersebut secara alami muncul dalam studi antimatroid dan politopes transportasi.

Lihat pula

• Templat:Annotated link
• Templat:Annotated link
• Templat:Annotated link
• Templat:Annotated link

Pranala luar

• Kemunduran dalam Kategori Himpunan dan Fungsi Parsial
• Templat:PlanetMath
• Objek lonjong