Produk (teori kategori)
Dalam teori kategori, produk dari dua (atau lebih) objek dalam kategori adalah gagasan yang dirancang untuk esensi di balik konstruksi di bidang matematika lain seperti produk himpunan Kartesius, produk langsung dari grup atau gelanggang, dan produk dari ruang topologi. Pada dasarnya, produk dari suatu keluarga objek adalah objek "paling umum" untuk morfisme untuk setiap objek yang diberikan.
Definisi
Produk dari dua objek
Memperbaiki kategori Templat:Math. Misalkan Templat:Math dan Templat:Math menjadi objek Templat:Math. Hasil perkalian dari Templat:Math dan Templat:Math adalah objek Templat:Math, dilambangkan dengan Templat:Math, sepasang morfisme Templat:Math, Templat:Math menggunakan sifat universal berikut:
- Untuk setiap objek Templat:Math dan setiap sepasang morphisms Templat:Math Templat:Math terdapat unik morphism Templat:Math sehingga diagram berikut komutatif:
Keberadaan produk tergantung pada Templat:Math atau Templat:Math dan Templat:Math . Jika tidak ada, untuk isomorfisma kanonik, karena sifat universal, jadi satu adalah tentang produk.
Morfisme Templat:Math dan Templat:Math disebut proyeksi kanonik atau morfisme proyeksi. Dengan Templat:Math dan Templat:Math Templat:Math morfisme Templat:Math disebut produk dari morfisme Templat:Math dan Templat:Math dilambangkan Templat:Math.
Produk dari keluarga arbitasi
Dua objek, dengan kumpulan objek arbitasi yang diindeks oleh himpunan Templat:Math.
Dengan keluarga objek Templat:Math, produk dari keluarga merupakan objek Templat:Math dengan morfisme Templat:Math dengan sifat universal berikut:
- Untuk setiap objek Templat:Math dan setiap keluarga morfisme indeks- Templat:Math Templat:Math, terdapat morfisme unik Templat:Math sehingga diagram berikut komutatif untuk semua Templat:Math di Templat:Math:
Produk dilambangkan sebagai Templat:Math . Jika Templat:Math = {1, ..., Templat:Math }, maka dilambangkan Templat:Math Templat:Math Templat:Math Templat:Math dan produk dari morfisme dilambangkan Templat:Math.
Definisi persamaan
Atau, produk didefinisikan melalui persamaan. Jadi, misalnya, untuk produk biner:
- Keberadaan Templat:Math dijamin dengan adanya operasi Templat:Math .
- Komutatifitas diagram di atas dijamin oleh persamaan Templat:Math = Templat:Math .
- Keunikan Templat:Math dijamin oleh persamaan Templat:Math = Templat:Math [1]
Sebagai limit
Produk adalah kasus khusus dengan limit. Dilihat dengan menggunakan kategori diskrit (keluarga objek tanpa morfisme, selain morfisme identitas) sebagai diagram diperlukan untuk definisi limit. Objek diskrit berfungsi sebagai indeks komponen dan proyeksi. Jika kita menganggap diagram ini sebagai funktor, funktor dari himpunan indeks Templat:Math anggap sebagai kategori terpisah. Definisi produk kemudian bertepatan dengan definisi batas, Templat:Math adalah kerucut dan proyeksi menjadi batas (kerucut limit).
Sifat universal
Sebagaimana limit adalah kasus khusus dari konstruksi universal, begitu pula produknya. Dimulai dengan definisi yang diberikan untuk sifat universal dari limit, ambillah Templat:Math sebagai kategori diskrit dengan dua objek, sehingga Templat:Math adalah produk kategori Templat:Math Fungsi diagonal Templat:Math denganpasangan berurutan Templat:Math ke setiap objek Templat:Math dan morfisme Templat:Math pasangan Templat:Math . Produk Templat:Math dalam Templat:Math diberikan oleh morfisme universal dari functor Templat:Math ke objek Templat:Math dalam Templat:Math Morfisme universal ini terdiri dari objek Templat:Math dari Templat:Math dan morfisme Templat:Math yang berisi proyeksi.
Contoh
Dalam kategori himpunan, produk (dalam pengertian teoretis kategori) adalah produk Kartesius. Diberikan keluarga himpunan Templat:Math produk didefinisikan sebagai
- Templat:Math := { Templat:Math | Templat:Math }
dengan proyeksi kanonik
Diberikan setiap himpunan Y dengan keluarga fungsi Templat:Math, panah universal Templat:Math didefinisikan oleh Templat:Math : = Templat:Math
Contoh lain:
- Dalam kategori ruang topologi, hasil kali adalah ruang yang himpunan dasarnya adalah perkalian Kartesius dan yang mengusung topologi produk . Topologi produk adalah topologi korhimpunan dari semua proyeksi kontinu .
- Dalam kategori modul beberapa gelanggang R, produknya adalah hasil kali Kartesius dengan penambahan komponen yang ditentukan dan perkalian distributif yang ditentukan.
- Dalam kategori grup, produk adalah produk langsung dari grup diberikan oleh produk Kartesius dengan perkalian yang ditentukan berdasarkan komponen.
- Dalam kategori grafik, hasil kali adalah produk tensor grafik.
- Dalam kategori relasi, produk diberikan oleh satuan disjoin. (Kemungkinan sedikit mengejutkan karena kategori himpunan adalah subkategori dari kategori relasi.)
- Dalam kategori varietas aljabar, produk diberikan oleh embedding Segre.
- Dalam kategori monoid semi-abelian, produk diberikan oleh sejarah monoid.
- Himpunan berurutan sebagian dapat diperlakukan sebagai kategori, menggunakan relasi urutan sebagai morfisme. Dalam hal ini produk dan koproduk berhubungan dengan batas bawah terbesar (pertemuan) dan batas atas terkecil (gabungan).
Diskusi
Contoh dimana produk tidak ada: Dalam kategori bidang, produk Templat:Math × Templat:Math tidak ada, karena tidak ada bidang dengan homomorfisme untuk Templat:Math dan Templat:Math.
Contoh lain: Produk kosong (misal Templat:Math adalah himpunan kosong) sama dengan objek terminal, dan beberapa kategori, seperti kategori grup tak hingga, tidak memiliki objek terminal: mengingat grup Templat:Math tak hingga ada banyak morfisme Templat:Math, jadi Templat:Math tidak bisa menjadi terminal.
Jika Templat:Math adalah himpunan sehingga semua produk untuk keluarga indeks dengan Templat:Math, maka dapat memperlakukan setiap produk sebagai funktor Templat:Math [2] Bagaimana fungsi ini memetakan objek sudah jelas. Pemetaan morfisme tidak kentara, karena produk morfisme yang didefinisikan di atas tidak sesuai. Pertama, pertimbangkan fungsi produk biner, yang merupakan bifunktor. Untuk Templat:Math maka mencari morfisme Templat:Math . Dengan memilih Templat:Math. Operasi morfisme ini disebut produk morfisme kartesian.[3] Kedua, pertimbangkan fungsi produk umum. Untuk keluarga Templat:Math kita harus menemukan morfisme Templat:Math . Kami memilih produk dari morfisme Templat:Math .
Kategori dimana setiap himpunan objek hingga memiliki produk kadang-kadang disebut kategori kartesian[4] (meskipun beberapa penulis menggunakan frasa ini untuk berarti "kategori dengan semua batas terbatas").
Produk bersifat asosiatif. Misalkan Templat:Math adalah kategori kartesian, fungsi produk telah dipilih seperti di atas, dan Templat:Math menunjukkan objek terminal Templat:Math Kami kemudian memiliki isomorfisme alami.
Sifat ini secara formal dengan sifat monoid komutatif; kategori kartesius dengan produk hingga adalah contoh kategori monoidal simetris.
Distributivitas
Untuk setiap objek X, Y, dan Z dari kategori dengan produk hingga dan produk bersama, terdapat morfisme kanonik Templat:Math, dimana tanda tambah di sini menunjukkan koproduk. Untuk melihat ini, perhatikan bahwa sifat universal dari produk bersama Templat:Math keberadaan panah diagram berikut (panah induksi):
Sifat universal dari produk Templat:Math kemudian menjamin morfisme Templat:Math disebabkan oleh panah pada diagram di atas. Kategori distributif adalah kategori di mana morfisme ini sebenarnya adalah isomorfisme. Jadi dalam kategori distributif isomorfisme kanonik
Lihat pula
- Koproduk - dual produk
- Funktor diagonal - ujung kiri dari fungsi produk.
- Limit dan kolimit
- Equalizer
- Limit invers
- Kategori tertutup Kartesius
- Pengembalian kategori
Referensi
- Templat:Cite book
- Templat:Cite book Chapter 5.
- Templat:Cite book
- Definition 2.1.1 in Templat:Cite bookHandbook of categorical algebra. Encyclopedia of mathematics and its applications 50–51, 53 [i.e. 52]. Volume 1. Cambridge University Press. p. 39. ISBN 0-521-44178-1.
Pranala luar
- Interactive Web page yang menghasilkan contoh produk dalam kategori himpunan hingga. Ditulis oleh Jocelyn Paine.
- Templat:Nlab