Fungsi Lambert W

Grafik Templat:Math nyata Templat:Math dan Templat:Math. Cabang atas (biru) dengan Templat:Math adalah grafik fungsi Templat:Math (principal branch), cabang bawah (magenta) dengan Templat:Math adalah grafik fungsi Templat:Math. Nilai minimum x adalah pada {−1/e,−1}

Dalam matematika, Fungsi Lambert Templat:Mvar, juga disebut fungsi omega atau logaritma produk, adalah multinilai fungsi, yaitu cabang dari hubungan terbalik fungsi Templat:Math, dengan Templat:Mvar adalah salah satu bilangan kompleks dan Templat:Math adalah fungsi eksponensial.

Untuk setiap bilangan bulat Templat:Math ada satu cabang, dilambangkan dengan Templat:Math, yang merupakan fungsi bernilai kompleks dari satu argumen kompleks. Templat:Math dikenal sebagai cabang utama. Fungsi-fungsi ini memiliki properti berikut: jika Templat:Math dan Templat:Math adalah bilangan kompleks, maka

$w{e}^w=z$

memegang jika dan hanya jika

$w=W_k(z)\text{ untuk beberapa bilangan bulat }k.$

Saat berhadapan dengan bilangan real saja, kedua cabang tersebut Templat:Math dan Templat:Math cukup: untuk bilangan real Templat:Math dan Templat:Math persamaan

$y{e}^y=x$

bisa diselesaikan untuk Templat:Math hanya jika Templat:Math; kita mendapatkan Templat:Math jika Templat:Math dan dua nilai Templat:Math dan Templat:Math jika Templat:Math.

Relasi Lambert Templat:Mvar tidak bisa diekspresikan dalam istilah fungsi dasar. Ini berguna dalam kombinatorik, misalnya, dalam pencacahan pohon. Ini dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai persamaan yang melibatkan eksponensial (misalnya maksimum dari Planck, Bose–Einstein, dan Distribusi Fermi-Dirac) dan juga terjadi dalam larutan penundaan diferensial, seperti Templat:Math. Dalam biokimia, dan khususnya kinetika enzim, solusi bentuk terbuka untuk analisis kinetika waktu-kursus dari kinetika Michaelis–Menten dijelaskan dalam istilah fungsi Lambert Templat:Mvar.

Cabang utama dari fungsi Lambert Templat:Mvar di bidang kompleks. Perhatikan potongan cabang di sepanjang sumbu nyata negatif, berakhir pada Templat:Math. Dalam gambar ini, rona suatu titik Templat:Mvar ditentukan oleh argumen dari Templat:Math, dan kecerahan dengan nilai absolut dari Templat:Math.

Modulus dari cabang utama fungsi Lambert Templat:Mvar, diwarnai sesuai dengan Templat:Math

Istilah

Fungsi Lambert Templat:Mvar dinamai Johann Heinrich Lambert. Cabang utama Templat:Math dilambangkan dengan Templat:Mvar di Perpustakaan Digital Fungsi Matematika, dan cabangnya Templat:Math dilambangkan dengan Templat:Mvar di sana.

Konvensi notasi yang dipilih di sini (dengan Templat:Math dan Templat:Math) mengikuti referensi kanonis pada fungsi Lambert Templat:Mvar oleh Corless, Gonnet, Hare, Jeffrey dan Knuth.

Nama "logaritma produk" dapat dipahami sebagai berikut: Karena fungsi invers dari Templat:Math disebut logaritma, masuk akal untuk memanggil fungsi invers dari produk Templat:Math sebagai "logaritma produk". Ini terkait dengan Konstanta Omega, yang sama dengan Templat:Math.

Sejarah

Lambert pertama kali mempertimbangkan Persamaan Transendental Lambert terkait pada 1758, yang mengarah ke artikel oleh Leonhard Euler pada tahun 1783 yang membahas kasus khusus Templat:Math.

Fungsi yang dianggap Lambert adalah

$x=x^m+q.$

Euler mengubah persamaan ini menjadi bentuk

$x^a-x^b=(a-b)c{x}^{a+b}.$

Kedua penulis mendapatkan solusi seri untuk persamaan mereka.

Setelah Euler menyelesaikan persamaan ini, dia mempertimbangkan kasusnya Templat:Math. Mengambil batasan dia menurunkan persamaan

$\ln x=c{x}^a.$

Dia kemudian meletakkan Templat:Math dan memperoleh solusi deret konvergen untuk persamaan yang dihasilkan, mengekspresikan x dalam suku-suku c .

Setelah mengambil turunan sehubungan dengan Templat:Math dan beberapa manipulasi, diperoleh bentuk standar dari fungsi Lambert.

Pada tahun 1993, ketika dilaporkan bahwa fungsi Lambert Templat:Mvar memberikan solusi yang tepat untuk kuantum-mekanik model fungsi delta sumur Dirac untuk muatan yang sama—masalah mendasar dalam fisika — Tanpa biji dan pengembang sistem aljabar komputer Maple melakukan pencarian perpustakaan dan menemukan bahwa fungsi ini ada di mana-mana.

Contoh lain di mana fungsi ini ditemukan adalah di kinetika Michael–Menten.

Meskipun sudah menjadi pengetahuan cerita rakyat bahwa fungsi Lambert Templat:Mvar tidak dapat diekspresikan dalam istilah fungsi dasar (Liouvillian), bukti terbitan pertama tidak muncul hingga 2008.

Sifat dasar, cabang dan jangkauan

Plot bagian imajiner dari W [n, x + i y] untuk cabang n=-2,-1,0,1,2. Plotnya mirip dengan fungsi multinilai logaritma kompleks kecuali jarak antar sheet tidak konstan dan sambungan sheet utama berbeda

Ada banyak sekali cabang dari fungsi Templat:Mvar, dilambangkan dengan Templat:Math, untuk bilangan bulat Templat:Mvar; Templat:Math menjadi cabang utama (atau kepala sekolah). Templat:Math didefinisikan untuk semua bilangan kompleks z sementara Templat:Math dengan Templat:Math didefinisikan untuk semua bukan nol z . Kita punya Templat:Math dan Templat:Math untuk semua Templat:Math.

Titik cabang untuk cabang utama ada di Templat:Math, dengan potongan cabang yang meluas ke Templat:Math sepanjang sumbu negatif nyata. Potongan cabang ini memisahkan cabang utama dari dua cabang Templat:Math dan Templat:Math. Di semua cabang Templat:Math dengan Templat:Math, ada titik bercabang di Templat:Math dan sebuah cabang dipotong di sepanjang sumbu nyata negatif.

Fungsi Templat:Math semuanya injektif dan rentangnya terputus-putus. Rentang dari seluruh fungsi multinilai Templat:Mvar adalah bidang kompleks. Bayangan dari sumbu nyata adalah gabungan dari sumbu nyata dan kuadratrik dari Hippias, kurva parametrik Templat:Math.

Invers

Wilayah bidang kompleks yang untuknya Templat:Tmath. Batas yang lebih gelap dari suatu kawasan tertentu disertakan dalam kawasan berwarna lebih terang dengan warna yang sama. Titik di {-1,0} disertakan di kedua Templat:Tmath wilayah (biru) dan wilayah Templat:Tmath (abu-abu). Garis kisi horizontal adalah kelipatan π.

Plot rentang di atas juga menggambarkan daerah dalam bidang kompleks tempat hubungan inbers sederhana 'Templat:Tmath adalah benar. f=ze^z menyiratkan bahwa ada n seperti itu Templat:Tmath, di mana n akan bergantung pada nilai z . Nilai bilangan bulat n akan berubah secara tiba-tiba saat ze^z berada di potongan cabang Templat:Tmath yang berarti itu Templat:Math, kecuali untuk Templat:Tmath di mana tempatnya Templat:Math.

Menetapkan Templat:Tmath di mana x dan y . Mengekspresikan e ^z dalam koordinat polar, terlihat bahwa:

$\begin{array}{cc}z{e}^z& =(x+iy)e^x(\cos (y)+i\sin (y))\\ & =e^x(x\cos (y)-y\sin (y))+i{e}^x(x\sin (y)+y\cos (y))\\ \end{array}$

Untuk $n\ne 0$, cabang dipotong untuk Templat:Tmath akan menjadi sumbu nyata non-positif sehingga:

$x\sin (y)+y\cos (y)=0\Rightarrow x=-y/\tan (y)$

dan

$(x\cos (y)-y\sin (y))e^x\le 0$

Untuk $n=0$, cabang dipotong untuk Templat:Tmath akan menjadi sumbu nyata dengan $-\mathrm{\infty }<z\le -1/e$ sehingga ketimpangan menjadi:

$(x\cos (y)-y\sin (y))e^x\le -1/e$

Di dalam wilayah yang dibatasi oleh hal di atas, tidak akan ada perubahan yang terputus-putus Templat:Tmath dan wilayah tersebut akan menentukan di mana fungsi W dapat dibalik: yaitu Templat:Tmath.

Kalkulus

Turunan

Dengan diferensiasi implisit, seseorang dapat menunjukkan bahwa semua cabang dari Templat:Mvar memenuhi persamaan diferensial

$z(1+W)\frac{dW}{dz}=W\text{untuk }z\ne -\frac{1}{e}.$

(Templat:Mvar bukan dapat dibedakan untuk Templat:Math.) Akibatnya, kami mendapatkan rumus berikut untuk turunan dari W:

$\frac{dW}{dz}=\frac{W(z)}{z(1+W(z))}\text{untuk }z\in ̸\{0,-\frac{1}{e}\}.$

Menggunakan identitas Templat:Math, kami mendapatkan rumus setara berikut:

$\frac{dW}{dz}=\frac{1}{z+e^{W(z)}}\text{untuk }z\ne -\frac{1}{e}.$

Di asalnya kita punya

$W{\text{'}}_0(0)=1.$

Antiturunan

Fungsi Templat:Math, dan banyak ekspresi yang melibatkan Templat:Math, bisa terintegrasi menggunakan substitusi Templat:Math, yaitu Templat:Math:

$\begin{array}{cc}\int W(x)dx& =xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\ & =x(W(x)-1+\frac{1}{W(x)})+C.\end{array}$

(Persamaan terakhir lebih umum dalam literatur tetapi tidak berlaku pada Templat:Math). Salah satu konsekuensi dari ini (menggunakan fakta bahwa Templat:Math) adalah identitas

$\underset{0}{\overset{e}{\int }}{W}_0(x)dx=e-1.$

Ekspansi asimtotik

Deret Taylor dari Templat:Math sekitar 0 dapat ditemukan menggunakan Teorema inversi Lagrange dan diberikan oleh

$W_0(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-n{)}^{n-1}}{n!}{x}^n=x-x^2+\frac{3}{2}{x}^3-\frac{8}{3}{x}^4+\frac{125}{24}{x}^5-\cdots .$

Radius konvergensi adalah Templat:Math, seperti yang dapat dilihat oleh uji rasio. Fungsi yang ditentukan oleh deret ini dapat diperluas menjadi fungsi holomorfik yang ditentukan pada semua bilangan kompleks dengan potongan cabang sepanjang interval Templat:Open-closed; fungsi holomorfik ini mendefinisikan cabang utama dari fungsi Lambert Templat:Mvar.

Untuk nilai besar dari Templat:Mvar, Templat:Math asimtotik dengan

$\begin{array}{cc}{W}_0(x)& =L_1-L_2+\frac{L_2}{L_1}+\frac{L_2(-2+L_2)}{2L_1^2}+\frac{L_2(6-9L_2+2L_2^2)}{6L_1^3}+\frac{L_2(-12+36L_2-22L_2^2+3L_2^3)}{12L_1^4}+\cdots \\ & =L_1-L_2+\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^l\left[\begin{array}{c}l+m\\ l+1\end{array}\right]}{m!}{L}_1^{-l-m}{L}_2^m,\end{array}$

dimana Templat:Math, Templat:Math, dan Templat:Math adalah sebuah Bilangan Stirling dari jenis pertama non-negatif. Mempertahankan hanya dua istilah pertama dari ekspansi,

$W_0(x)=\ln x-\ln \ln x+o(1).$

Cabang real lainnya, Templat:Math, didefinisikan dalam interval Templat:Math,memiliki pendekatan dalam bentuk yang sama ketika x mendekati nol, dengan dalam kasus ini Templat:Math dan Templat:Math.

Itu menunjukkan yang dipegang oleh batas berikut (batas atas hanya untuk x ≥ e):

$\ln x-\ln \ln x+\frac{\ln \ln x}{2\ln x}\le W_0(x)\le \ln x-\ln \ln x+\frac{e}{e-1}\frac{\ln \ln x}{\ln x}.$

Pada tahun 2013, itu sudah dibuktikan bahwa cabang Templat:Math bisa dibatasi sebagai berikut:

$-1-\sqrt{2u}-u<W_{-1}(-e^{-u-1})<-1-\sqrt{2u}-\frac{2}{3}u\text{for }u>0.$

Bilangan bulat pangkat dan kompleks

Bilangan bulat pangkat dari Templat:Math juga mengakui ekspansi deret Taylor (atau Laurent) sederhana:

$W_0(x{)}^2=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{-2{(-n)}^{n-3}}{(n-2)!}{x}^n=x^2-2x^3+4x^4-\frac{25}{3}{x}^5+18x^6-\cdots .$

Secara lebih umum, untuk Templat:Math, Rumus inversi Lagrange diberikan

$W_0(x{)}^r=\sum _{n=r}^{\mathrm{\infty }}\frac{-r{(-n)}^{n-r-1}}{(n-r)!}{x}^n,$

yang, secara umum, merupakan rangkaian urutan Laurent Templat:Mvar. Dengan kata lain, yang terakhir dapat ditulis dalam bentuk perluasan kekuatan Taylor Templat:Math:

${\left(\frac{W_0(x)}{x}\right)}^r=e^{-r{W}_0(x)}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{r{(n+r)}^{n-1}}{n!}{(-x)}^n,$

yang berlaku untuk semua $r\in ℂ$ dan $\left|x\right|<\frac{1}{e}$.

Identitas

Sebuah plot W_j(x e^x) dimana biru untuk j = 0 dan merah untuk j = -1. Garis diagonal mewakili interval di mana W_j(x e^x)=x

Beberapa identitas mengikuti dari definisi tersebut:

$\begin{array}{cccc}{W}_0(x{e}^x)& =x& \text{for }x& \ge -1,\\ W_{-1}(x{e}^x)& =x& \text{for }x& \le -1.\end{array}$

Perhatikan itu, karena Templat:Math tidak injeksi, tidak selalu begitu Templat:Math, mirip dengan fungsi trigonometri terbalik. Untuk diperbaiki Templat:Math dan Templat:Math, persamaan Templat:Math memiliki dua solusi di Templat:Mvar, salah satunya tentu saja Templat:Math. Kemudian, untuk Templat:Math dan Templat:Math, serta untuk Templat:Math dan Templat:Math, Templat:Math adalah solusi lainnya.

Beberapa identitas lainnya:

$\begin{array}{cc}& W(x)\cdot e^{W(x)}=x,\text{karena itu:}\\ & e^{W(x)}=\frac{x}{W(x)},e^{-W(x)}=\frac{W(x)}{x},e^{nW(x)}={\left(\frac{x}{W(x)}\right)}^n.\end{array}$

$\ln W_0(x)=\ln x-W_0(x)\text{untuk }x>0.$

$W_0(x\ln x)=\ln x\text{dan}{e}^{W_0(x\ln x)}=x\text{untuk }x\ge \frac{1}{e}.$

$W_{-1}(x\ln x)=\ln x\text{dan}{e}^{W_{-1}(x\ln x)}=x\text{untuk }x\le \frac{1}{e}.$

$\begin{array}{cccc}& W(x)=\ln \frac{x}{W(x)}& & \text{untuk }x\ge -\frac{1}{e},\\ & W\left(\frac{n{x}^n}{W{\left(x\right)}^{n-1}}\right)=nW(x)& & \text{untuk }n,x>0\end{array}$

(yang dapat diperpanjang ke Templat:Mvar dan Templat:Mvar lainnya jika cabang yang benar dipilih).

$W(x)+W(y)=W\left(xy(\frac{1}{W(x)}+\frac{1}{W(y)})\right)\text{untuk }x,y>0.$

Mengganti Templat:Math dalam definisi:

$\begin{array}{cccc}{W}_0(-\frac{\ln x}{x})& =-\ln x& \text{for }0& <x\le e,\\ W_{-1}(-\frac{\ln x}{x})& =-\ln x& \text{for }x& >e.\end{array}$

Dengan eksponensial iterasi Euler Templat:Math:

$\begin{array}{cc}h(x)& =e^{-W(-\ln x)}\\ & =\frac{W(-\ln x)}{-\ln x}\text{untuk }x\ne 1.\end{array}$

Nilai khusus

Untuk sembarang bilangan aljabar bukan nol Templat:Mvar, Templat:Math adalah bilangan transendental. Memang, jika Templat:Math adalah nol, maka Templat:Mvar harus nol juga, dan jika Templat:Math bukan nol dan aljabar, lalu menurut teorema Lindemann–Weierstrass, Templat:Math harus transendental, menyiratkan itu Templat:Math juga harus transendental.

Berikut ini adalah nilai khusus dari cabang utama:

$W(-\frac{\pi }{2})=\frac{i\pi }{2}.$

$W(-\frac{1}{e})=-1.$

$W(-\frac{\ln a}{a})=-\ln a(\frac{1}{e}\le a\le e).$

$W(2\ln 2)=\ln 2.$

$W(0)=0.$

$W(1)=\mathrm{\Omega }={\left(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{{(e^t-t)}^2+{\pi }^2}\right)}^{-1}-1\approx 0.56714329\dots$ (konstanta Omega).

$W(1)=e^{-W(1)}=\ln \left(\frac{1}{W(1)}\right)=-\ln W(1).$

$W(e)=1.$

$W\left(e^{1+e}\right)=e.$

$W(-1)\approx -0.31813+1.33723i.$

Representasi

Cabang utama dari fungsi Lambert dapat diwakili oleh integral yang tepat, karena Poisson:

$-\frac{\pi }{2}W(-x)=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\sin \left(\frac{3}{2}t\right)-x{e}^{\cos t}\sin (\frac{5}{2}t-\sin t)}{1-2x{e}^{\cos t}\cos (t-\sin t)+x^2{e}^{2\cos t}}\sin \left(\frac{1}{2}t\right)dt\text{untuk }|x|<\frac{1}{e}.$

Di domain yang lebih luas Templat:Math, representasi yang jauh lebih sederhana ditemukan oleh Mező:

$W(x)=\frac{1}{\pi }\mathrm{Re}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\ln \left(\frac{e^{e^{it}}-x{e}^{-it}}{e^{e^{it}}-x{e}^{it}}\right)dt.$

Representasi pecahan berlanjut berikut juga berlaku untuk cabang utama:

$W(x)=\frac{x}{1+\frac{x}{1+\frac{x}{2+\frac{5x}{3+\frac{17x}{10+\frac{133x}{17+\frac{1927x}{190+\frac{13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}.$

Juga, jika $|W(z)|<1$:

$W(x)=\frac{x}{\exp \frac{x}{\exp \frac{x}{\ddots }}}.$

Gantinya, jika $|W(z)|>e$, maka

$W(x)=\ln \frac{x}{\ln \frac{x}{\ln \frac{x}{\ddots }}}.$

Plot

• Plot fungsi Lambert Templat:Mvar pada bidang kompleks
• 
  $z=\mathrm{Re}(W_0(x+iy))$
• 
  $z=\mathrm{Im}(W_0(x+iy))$
• 
  $z=|W_0(x+iy)|$
• 
  Superimposisi dari tiga plot sebelumnya

Lihat pula

• Fungsi Wright Omega
• Persamaan trinomial Lambert
• Teorema inversi Lagrange
• Matematika eksperimental
• Metode Holstein–Herring
• [[R=T model|Templat:Math model]]
• [[Ross π lemma|Ross' Templat:Mvar lemma]]

Referensi

• Templat:Cite journal
• Templat:Cite journal
• Templat:Cite journal (Lambert function is used to solve delay-differential dynamics in human disease.)
• Templat:Cite journal
• Templat:Dlmf
• Templat:Cite journal
• Veberic, D., "Having Fun with Lambert W(x) Function" arXiv:1003.1628 (2010) Templat:Webarchive; Templat:Cite journal
• Templat:Cite journal

Pranala luar

• National Institute of Science and Technology Digital Library – Lambert Templat:Mvar Templat:Webarchive
• MathWorld – Lambert Templat:Mvar-Function Templat:Webarchive
• Computing the Lambert Templat:Mvar function
• Corless et al. Notes about Lambert Templat:Mvar research Templat:Webarchive
• GPL C++ implementation Templat:Webarchive with Halley's and Fritsch's iteration.
• Special Functions Templat:Webarchive of the GNU Scientific Library Templat:Webarchive – GSL