Bilangan persegi

Bilangan kuadrat 16 dalam jumlah gnomon.

Dalam matematika, sebuah bilangan persegi atau kuadrat sempurna adalah sebuah bilangan bulat yang merupakan pangkat dua dari sebuah bilangan bulat; Dengan kata lain, bilangan persegi adalah perkalian dari suatu bilangan bulat dengan dirinya sendiri. Contohnya, 9 adalah sebuah bilangan persegi, karena sama dengan Templat:Math dan dapat ditulis sebagai Templat:Math.

Notasi yang biasa digunakan untuk kuadrat dari sebuah bilangan Templat:Mvar adalah bukan hasil kali Templat:Math, tetapi ekuivalen dengan ekponensial Templat:Math, yang biasanya diucapkan sebagai "Templat:Mvar persegi (atau Templat:Mvar dikuadratkan atau Templat:Mvar pangkat 2)". Istilah persegi berasal dari nama bentuknya. Unit dari luas didefinisikan sebagai luas dari sebuah persegi satuan. Karenanya, sebuah persegi dengan panjang sisi Templat:Mvar memiliki luas Templat:Math. Jika sebuah bilangan persegi direpresentasikan oleh n titik, titik-titik tersebut dapat disusun dalam barisan sebagai sebuah persegi yang setiap sisinya memiliki jumlah titik yang sama dengan akar kuadrat dari n. Dengan demikian, bilangan persegi adalah jenis bilangan bergambar (contoh lainnya adalah bilangan kubus dan bilangan segitiga).

Dalam sistem bilangan riil, bilangan persegi adalah non-negatif. Sebuah bilangan bulat non-negatif adalah sebuah bilangan persegi jika akar kuadratnya adalah bilangan bulat. Sebagai contoh, $\sqrt{9}=3,$ sehingga 9 adalah bilangan persegi.

Sebuah bilangan bulat positif yang tidak memiliki pembagi persegi, kecuali 1 disebut sebagai bilangan bulat bebas kuadrat.

Untuk sebuah bilangan bulat non-negatif Templat:Mvar, bilangan persegi ke-Templat:Mvar adalah Templat:Math, dengan Templat:Math sebagai yang ke-nol. Konsep persegi atau kuadrat dapat diperluas ke beberapa sistem bilangan yang lain. Jika bilangan rasional dimasukkan, maka sebuah persegi atau kuadrat adalah rasio dua bilangan bulat persegi, dan, sebaliknya, rasio dua bilangan bulat persegi adalah persegi, misalnya, $\frac{4}{9}={\left(\frac{2}{3}\right)}^2$.

Dimulai dengan angka 1, terdapat $\lfloor \sqrt{m}\rfloor$ banyaknya bilangan persegi hingga dan termasuk Templat:Mvar, di mana ekspresi $\lfloor x\rfloor$ merepresentasikan fungsi lantai dari bilangan Templat:Mvar.

Contoh

Bilangan persegi (Barisan A000290 dalam OEIS) lebih kecil dari 60² = 3600:

0² = 0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

51² = 2601

52² = 2704

53² = 2809

54² = 2916

55² = 3025

56² = 3136

57² = 3249

58² = 3364

59² = 3481

Templat:ClearSelisih antara suatu kuadrat sempurna dan kuadrat sempurna sebelumnya diberikan oleh identitas Templat:Math. Ekivalen, mungkin untuk menghitung bilangan persegi dengan menambahkan kuadrat terakhir, akar kuadrat terakhir, dan akar saat ini, yaitu, Templat:Math.

Sifat-sifat

Bilangan m adalah bilangan persegi jika dan hanya jika seseorang dapat menyusun m titik dalam sebuah persegi:

Templat:Bigmath
Templat:Bigmath
Templat:Bigmath
Templat:Bigmath
Templat:Bigmath

Ekspresi untuk bilangan persegi ke-Templat:Mvar adalah Templat:Math. Ini juga sama dengan jumlah n angka ganjil pertama seperti yang dapat dilihat pada gambar di atas, di mana kuadrat dihasilkan dari kuadrat sebelumnya dengan menambahkan titik-titik bernilai ganjil (ditunjukkan dalam warna magenta). Rumusnya adalah sebagai berikut:$$n^2=\sum _{k=1}^n(2k-1).$$Contohnya, Templat:Math.

Jumlah dari n bilangan bulat ganjil pertama adalah n². Templat:Nowrap. Visualisasi animasi 3D dalam tetrahedron.

Terdapat beberapa metode rekursi untuk menghitung bilangan persegi. Contohnya, bilangan persegi ke-Templat:Mvar dapat dihitung dari kuadrat sebelumnya dengan Templat:Math. Selain itu, bilangan persegi ke-Templat:Mvar dapat dihitung dari dua angka sebelumnya dengan menggandakan kuadrat ke-Templat:Math, mengurangkan kuadrat ke-Templat:Math, dan menambahkan 2, karena Templat:Math. Contoh,

Templat:Math.

Bilangan persegi dikurangi satu dari sebuah bilangan Templat:Mvar selalu merupakan hasil dari $m-1$ dan $m+1;$ sehingga,$$m^2-1=(m-1)(m+1).$$Contoh, karena Templat:Math, kita memiliki $6\times 8=48$. karena sebuah bilangan prima hanya memiliki faktor 1 dan dirinya sendiri, dan karena Templat:Math adalah satu-satunya nilai Templat:Math yang tidak nol yang memberikan faktor Templat:Math di ruas kanan persamaan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa Templat:Math adalah satu-satunya bilangan prima yang kurang dari sebuah bilangan persegi (Templat:Math).

Secara umum, selisih kuadrat dari dua bilangan adalah hasil kali jumlah dan selisihnya. Artinya,$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$Ini adalah selisih dua bilangan kuadrat, yang dapat berguna untuk aritmatika mental. Contohnya, Templat:Math dapat dengan mudah dihitung sebagai Templat:Math.

Suatu bilangan persegi juga merupakan jumlah dari dua bilangan segitiga yang berurutan. Jumlah dari dua bilangan persegi yang berurutan adalah bilangan persegi terpusat. Setiap bilangan persegi ganjil juga merupakan bilangan oktagonal terpusat.

Sifat lain dari bilangan persegi adalah (kecuali 0), bilangan ini memiliki jumlah pembagi positif ganjil, sedangkan bilangan asli lainnya memiliki jumlah pembagi positif genap. Akar bilangan bulat adalah satu-satunya pembagi yang berpasangan dengan dirinya sendiri untuk menghasilkan bilangan persegi, sedangkan pembagi lainnya berpasangan.

Teorema empat persegi Langrange menyatakan bahwa setiap bilangan bulat dapat ditulis sebagai jumlah dari empat atau kurang dari kuadrat sempurna. Tiga bilangan persegi tidak cukup untuk bilangan-bilangan yang memiliki bentuk Templat:Math. Sebuah bilangan bulat positif dapat direpresentaskan sebagai jumlah dari dua bilangan persegi tepat jika faktorisasinya mengandung pangkat ganjil dari bilangan prima yang memiliki bentuk Templat:Math. Ini diperluas dalam masalah Waring.

Dalam basis 10, sebuah bilanhan persegi hanya dapat diakhiri dengan digit angka 0, 1, 4, 5, 6 atau 9, sebagai berikut:

• jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, kuadratnya berakhiran 00;
• jika digit terakhir suatu bilangan adalah 1 atau 9, kuadratnya diakhiri dengan angka genap diikuti dengan angka 1;
• jika digit terakhir suatu bilangan adalah 2 atau 8, kuadratnya diakhiri dengan angka genap diikuti dengan angka 4;
• jika digit terakhir suatu bilangan adalah 3 atau 7, kuadratnya diakhiri dengan angka genap diikuti dengan angka 9;
• jika digit terakhir suatu bilangan adalah 4 atau 6, kuadratnya diakhiri dengan angka ganjil diikuti dengan angka 6; Dan
• jika digit terakhir suatu bilangan adalah 5, maka kuadratnya berakhiran 25.

Dalam basis 12, sebuah bilangan persegi hanya dapat diakhir dnegan digit kuadrat (seperti dalam basis 12, sebuah bilangan prima hanya dapat diakhir oleh digit prima atau 1), yaitu, 0, 1, 4 or 9, sebagai berikut:

• jika suatu bilangan habis dibagi 2 dan 3 (yaitu habis dibagi 6), kuadratnya berakhiran 0, dan digit sebelumnya harus 0 atau 3;
• jika suatu bilangan tidak habis dibagi 2 atau 3, kuadratnya diakhiri dengan 1, dan digit sebelumnya harus genap;
• jika suatu bilangan habis dibagi 2, tetapi tidak habis dibagi 3, kuadratnya berakhiran 4, dan digit sebelumnya harus 0, 1, 4, 5, 8, atau 9; dan
• jika suatu bilangan tidak habis dibagi 2, tetapi habis dibagi 3, maka kuadratnya berakhiran 9, dan digit sebelumnya harus 0 atau 6.

Aturan sejenis dapat diberikan untuk basis yang lain, selain yang telah disebutkan sebelumnya, atau untuk digit-digit sebelumnya (contohnya, digit puluhan, bukan digit satuan).Templat:Butuh rujukan. Semua aturan tersebut dapat dibuktikan dengan memeriksa sejumlah kasus dan menggunakan aritmatika modular .

Secara umum, jika bilangan prima Templat:Mvar membagi bilangan kuadrat Templat:Mvar maka kuadrat dari Templat:Mvar juga harus membagi Templat:Mvar ; jika Templat:Mvar gagal membagi Templat:Math, maka Templat:Mvar pasti bukan bilangan persegi. Dengan mengulangi pembagian pada kalimat sebelumnya, kita dapat menyimpulkan bahwa setiap bilangan prima harus membagi kuadrat sempurna yang diberikan sebanyak genap (termasuk mungkin 0 kali). Dengan demikian, bilangan Templat:Mvar adalah bilangan kuadrat jika dan hanya jika, dalam representasi kanoniknyanya, semua eksponennya genap.

Uji kuadrat dapat digunakan sebagai cara alternatif dalam faktorisasi untuk bilangan besar. Daripada menguji keterbagian, ujilah kuadrat: untuk Templat:Mvar dan bilangan tertentu Templat:Mvar, jika Templat:Math adalah kuadrat suatu bilangan bulat Templat:Mvar lalu Templat:Math membagi Templat:Mvar . (Ini adalah penerapan faktorisasi selisih dua kuadrat.) Misalnya, Templat:Math adalah kuadrat dari 3, jadi Templat:Math membagi 9991. Tes ini bersifat deterministik untuk pembagi ganjil dalam rentang dari Templat:Math hingga Templat:Math dimana Templat:Mvar mencakup beberapa rentang bilangan asli $k\ge \sqrt{m}.$

Bilangan persegi tidak mungkin merupakan bilangan sempurna .

Jumlah n bilangan persegi pertama adalah$$\sum _{n=0}^N{n}^2=0^2+1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots +N^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}.$$Nilai awal dari penjumlahan ini, bilangan piramida persegi, adalah:

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...

Bukti tanpa kata-kata untuk teorema jumlah bilangan ganjil

Jumlah bilangan bulat ganjil pertama yang dimulai dengan satu adalah kuadrat sempurna: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, dst. Hal ini menjelaskan hukum bilangan ganjil Galileo : jika suatu benda jatuh dari keadaan diam mencakup satu satuan jarak dalam selang waktu sembarang pertama, mencakup 3, 5, 7, dst., satuan jarak dalam selang waktu berikutnya yang panjangnya sama. Dari $s=ut+\frac{1}{2}a{t}^2$, untuk Templat:Math dan konstanta Templat:Math (percepatan gravitasi tanpa hambatan udara); jadi Templat:Math sebanding dengan Templat:Math, dan jarak dari titik awal adalah kuadrat berurutan untuk nilai bilangan bulat waktu yang telah berlalu.

Jumlah n kubik pertama adalah kuadrat jumlah n bilangan bulat positif pertama; ini adalah teorema Nicomachus .

Semua pangkat empat, pangkat enam, pangkat delapan, dan seterusnya adalah kuadrat sempurna.

Hubungan unik dengan bilangan segitiga $T_n$ adalah:$$(T_n{)}^2+(T_{n+1}{)}^2=T_{(n+1{)}^2}$$

Bilangan kuadrat ganjil dan genap

Kuadrat dari bilangan genap adalah bilangan genap dan habis dibagi 4, karena Templat:Math . Kuadrat bilangan ganjil adalah bilangan ganjil dan kongruen dengan 1 modulo 8, karena Templat:Math, dan Templat:Math selalu genap. Dengan kata lain, semua bilangan kuadrat ganjil mempunyai sisa 1 jika dibagi 8.

Setiap bilangan ganjil sempurna adalah bilangan oktagonal berpusat . Selisih dua bilangan ganjil sempurna adalah kelipatan 8. Selisih antara 1 dan kuadrat sempurna ganjil yang lebih tinggi selalu delapan kali suatu bilangan segitiga, sedangkan selisih antara 9 dan kuadrat sempurna ganjil yang lebih tinggi adalah delapan kali suatu bilangan segitiga dikurangi delapan. Karena semua bilangan segitiga mempunyai faktor ganjil, tetapi tidak ada dua nilai dari Templat:Math yang berbeda dengan jumlah yang mengandung faktor ganjil, satu-satunya kuadrat sempurna berbentuk Templat:Math adalah 1, dan satu-satunya kuadrat sempurna berbentuk Templat:Math adalah 9.

Kasus khusus

• Jika suatu bilangan berbentuk Templat:Math dimana Templat:Math mewakili digit-digit sebelumnya, maka kuadratnya adalah Templat:Math dimana Templat:Math dan mewakili digit-digit sebelum 25. Misalnya, kuadrat dari 65 dapat dihitung dengan Templat:Math sehingga kuadratnya sama dengan 4225.
• Jika bilangan tersebut berbentuk Templat:Math dimana Templat:Math melambangkan digit-digit sebelumnya, maka kuadratnya adalah Templat:Math dimana Templat:Math . Misalnya kuadrat 70 adalah 4900.
• Jika suatu bilangan mempunyai dua digit dan berbentuk Templat:Math dimana Templat:Math melambangkan digit satuan, maka kuadratnya adalah Templat:Math dengan Templat:Math dan Templat:Math . Misalnya, untuk menghitung kuadrat dari 57, Templat:Math dan Templat:Math dan Templat:Math, jadi Templat:Math .
• Jika bilangan digitnya berakhiran 5, kuadratnya akan berakhiran 5; demikian pula untuk berakhiran 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625, dst. Jika bilangan berakhiran 6, maka kuadratnya berakhiran 6, begitu pula bilangan yang berakhiran 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376. Misalnya, kuadrat dari 55376 adalah 3066501376, keduanya berakhiran 376 . (Angka 5, 6, 25, 76, dst disebut bilangan automorfik. Merupakan barisan A003226 dalam OEIS . )
• Pada basis 10, dua digit terakhir bilangan kuadrat mengikuti pola berulang yang dicerminkan secara simetris di sekitar kelipatan 25. Pada contoh 24 dan 26, keduanya 1 turun dari 25, Templat:Math dan Templat:Math, keduanya diakhiri dengan 76. Secara umum, $(25n+x{)}^2-(25n-x{)}^2=100nx$ . Pola analogi berlaku untuk 3 digit terakhir di sekitar kelipatan 250, dan seterusnya. Akibatnya, dari 100 kemungkinan 2 digit terakhir, hanya 22 digit yang muncul di antara bilangan kuadrat (karena 00 dan 25 diulang).

Bacaan lanjutan

• Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 30–32, 1996. Templat:ISBNISBN 0-387-97993-X
• Kiran Parulekar. Amazing Properties of Squares and Their Calculations. Kiran Anil Parulekar, 2012 https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC