Subgrup Frattini

Diagram Hasse dari kisi subgrup dari grup dihedral Dih₄. Dalam lapisan 3-elemen adalah subkelompok maksimal; persimpangan mereka (subgrup Frattini) adalah elemen pusat dalam lapisan 5 elemen. Begitu Dih₄ hanya memiliki satu elemen non-penghasil di luar e .

Dalam matematika, terutama dalam teori grup, Subgrup Frattini $\mathrm{\Phi }(G)$ dari grup Templat:Mvar adalah persimpangan dari semua subgrup maksimal dari Templat:Mvar. Untuk kasus di mana Templat:Mvar tidak memiliki subgrup maksimal, misalnya grup sepele { e } atau grup Prüfer, ini ditentukan oleh $\mathrm{\Phi }(G)=G$. Ini analog dengan Jacobson radikal dalam teori gelanggang, dan secara intuitif dapat dianggap sebagai subkelompok "elemen kecil" (lihat karakterisasi "non-generator" di bawah). Ini dinamai Giovanni Frattini, yang mendefinisikan konsep tersebut dalam sebuah makalah yang diterbitkan pada tahun 1885.

Beberapa fakta

• $\mathrm{\Phi }(G)$ sama dengan himpunan semua non-generator atau elemen non-penghasil dari Templat:Mvar. Elemen yang tidak menghasilkan Templat:Mvar adalah elemen yang selalu dapat dihapus dari Menghasilkan himpunan; yaitu, elemen a dari Templat:Mvar sedemikian rupa sehingga setiap kali Templat:Mvar adalah himpunan penghasil Templat:Mvar yang berisi a , $X\setminus \{a\}$ juga merupakan himpunan pembangkit Templat:Mvar.
• $\mathrm{\Phi }(G)$ selalu merupakan subgrup karakteristik dari Templat:Mvar; khususnya, ini selalu merupakan subgrup normal dari Templat:Mvar.
• Jika Templat:Mvar terbatas, maka $\mathrm{\Phi }(G)$ adalah nilpoten.
• Jika Templat:Mvar adalah grup p , maka $\mathrm{\Phi }(G)=G^p[G,G]$. Jadi subgrup Frattini adalah yang terkecil (sehubungan dengan inklusi) subgrup normal N sehingga grup hasil bagi $G/N$ adalah grup abelian dasar, yaitu isomorfik ke jumlah langsung dari grup siklik dari order p . Apalagi jika grup kecerdasan $G/\mathrm{\Phi }(G)$ (juga disebut hasil bagi Frattini dari Templat:Mvar) memiliki urutan $p^k$, maka k adalah jumlah generator terkecil untuk Templat:Mvar (yaitu kardinalitas terkecil dari himpunan pembangkit untuk Templat:Mvar). Secara khusus, grup p yang terbatas adalah siklik jika dan hanya jika hasil bagi Frattini-nya adalah siklik (dengan urutan p ). Grup p yang terbatas adalah abelian dasar jika dan hanya jika subgrup Frattini-nya adalah grup sepele, $\mathrm{\Phi }(G)=\{e\}$.
• Jika Templat:Mvar dan Templat:Mvar terbatas, maka $\mathrm{\Phi }(H\times K)=\mathrm{\Phi }(H)\times \mathrm{\Phi }(K)$.

Contoh grup dengan subgrup Frattini nontrivial adalah grup siklik Templat:Mvar order $p^2$, di mana p adalah bilangan prima, dihasilkan oleh a , maka; $\mathrm{\Phi }(G)=⟨a^p⟩$.

Lihat pula

• Subgrup Fiting
• Argumen Frattini
• Sokel

Referensi

• Templat:Cite book (See Chapter 10, especially Section 10.4.)