Teorema Stokes rampat

Dalam kalkulus vektor, dan lebih umum lagi geometri diferensial, teorema Stokes rampat (terkadang dieja teorema Stokes, dan juga disebut teorema Stokes–Cartan) adalah pernyataan tentang integrasi dari bentuk diferensial pada manifold, yang menyederhanakan dan menggeneralisasi beberapa teorema dari kalkulus vektor. Teorema Stokes mengatakan bahwa integral dari suatu bentuk diferensial Templat:Mvar di atas batas dari beberapa berorientasi lipatan Templat:Math sama dengan integral turunan luar Templat:Mvar di seluruh Templat:Math, yaitu:

$\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }\omega =\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }d\omega .$

Teorema Stokes 'dirumuskan dalam bentuk modern oleh Élie Cartan pada tahun 1945, mengikuti pekerjaan sebelumnya pada generalisasi teorema kalkulus vektor oleh Vito Volterra, Édouard Goursat, dan Henri Poincaré.

Bentuk modern dari teorema Stokes 'ini adalah generalisasi luas dari hasil klasik yang ditentukan oleh Lord Kelvin dikomunikasikan kepada George Stokes dalam surat tertanggal 2 Juli 1850. Stokes set the theorem as a question on the 1854 Smith's Prize exam, which led to the result bearing his name. It was first published by Hermann Hankel in 1861. Kelvin–Stokes teorema klasik tersebut menghubungkan integral permukaan dari curl dari bidang vektor Templat:Math di atas permukaan (yaitu, fluks dari Templat:Math) di Euclidean tiga ruang ke integral garis dari bidang vektor di atas batasnya (juga dikenal sebagai integral loop).

Contoh analisis vektor klasik sederhana

Mari Templat:Math menjadi sedikit demi sedikit mulus kurva bidang Jordan. Teorema kurva Yordania menyiratkan hal itu Templat:Mvar membagi Templat:Math menjadi dua komponen, satu kompak satu sama lain yang tidak kompak. Membiarkan Templat:Mvar menunjukkan bagian kompak yang dibatasi oleh Templat:Mvar dan misalkan Templat:Math halus, dengan Templat:Math. Jika Templat:Math adalah kurva spasi yang ditentukan oleh Templat:Math dan Templat:Math adalah bidang vektor mulus pada Templat:Math, kemudian:

${\oint }_{\mathrm{\Gamma }}𝐅\cdot d\mathrm{\Gamma }=\underset{S}{\iint }\mathrm{\nabla }\times 𝐅\cdot d𝐒$

Pernyataan klasik ini, bersama dengan teorema divergensi klasik, teorema dasar kalkulus, dan Teorema Green hanyalah kasus-kasus khusus dari rumusan umum yang dinyatakan sebagai.

Pengantar

Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa integral dari suatu fungsi Templat:Mvar selama interval Templat:Math dapat dihitung dengan mencari antiturunan Templat:Mvar of Templat:Mvar:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a).$

Teorema Stokes adalah rampatan yang luas dari teorema ini dalam pengertian. Jadi, sama seperti seseorang dapat menemukan nilai integral (Templat:Math) di atas manifold 1 dimensi (Templat:Math) dengan mempertimbangkan anti turunan (Templat:Mvar) di batas 0-dimensi (Templat:Math), seseorang dapat menggeneralisasi teorema dasar kalkulus, dengan beberapa peringatan tambahan, untuk menangani nilai integral (Templat:Mvar) di atas Templat:Mvar-manifold dimensional (Templat:Math) dengan mempertimbangkan antiturunan (Templat:Mvar) pada Templat:Math-batas dimensi (Templat:Math) dari manifold tersebut.

Jadi teorema fundamental berbunyi:

$\underset{[a,b]}{\int }f(x)dx=\underset{[a,b]}{\int }dF=\underset{\{a{\}}^{-}\cup \{b{\}}^{+}}{\int }F=F(b)-F(a).$

Formulasi untuk lipatan halus dengan batas

Jadi Templat:Math menjadi berorientasi lipatan halus dengan batas dimensi Templat:Mvar dan biarkan Templat:Mvar jadi polos Templat:Mvar-bentuk diferensial yaitu didukung secara kompak aktif Templat:Math. Pertama, anggap saja Templat:Mvar didukung secara kompak dalam domain tunggal, berorientasi diagram koordinat Templat:Math. Dalam kasus ini, kami mendefinisikan integral dari Templat:Mvar atas Templat:Math sebagai

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\alpha =\underset{\phi (U)}{\int }{\left({\phi }^{-1}\right)}^{*}\alpha ,$

yaitu, melalui pullback dari Templat:Mvar ke Templat:Math.

Secara umum, integral dari Templat:Mvar di atas Templat:Math didefinisikan sebagai berikut: biar Templat:Math menjadi partisi kesatuan terkait dengan terbatas lokal sampul Templat:Math dari bagan koordinat (berorientasi konsisten), lalu tentukan integralnya

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\alpha \equiv \sum _i\underset{U_i}{\int }{\psi }_i\alpha ,$

di mana setiap suku dalam penjumlahan dievaluasi dengan menarik kembali ke Templat:Math seperti dijelaskan di atas. Kuantitas ini didefinisikan dengan baik; artinya, ini tidak bergantung pada pilihan bagan koordinat, atau pembagian kesatuan.

Teorema Stokes tergeneralisasi berbunyi:

Secara konvensional, $\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }{i}^{*}\omega$ disingkat sebagai $\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }\omega$, karena kemunduran bentuk diferensial oleh peta inklusi hanyalah pembatasannya pada domainnya: $i^{*}\omega =\omega {|}_{\partial \mathrm{\Omega }}$. Saat $d$ adalah turunan eksterior, yang didefinisikan hanya dengan menggunakan struktur manifold. Sisi kanan terkadang ditulis sebagai ${\oint }_{\partial \mathrm{\Omega }}\omega$ untuk menekankan fakta bahwa $(n-1)$-manifold $\partial \mathrm{\Omega }$ tidak memiliki batasan. (Fakta ini juga merupakan implikasi dari teorema Stokes, karena untuk kelancaran tertentu $n$-berjenis dimensi $\mathrm{\Omega }$, penerapan teorema dua kali memberi $\underset{\partial (\partial \mathrm{\Omega })}{\int }\omega =\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }d(d\omega )=0$ untuk apapun $(n-2)$-bentuk $\omega$, yang menyiratkan itu $\partial (\partial \mathrm{\Omega })=\mathrm{\varnothing }$.) Ruas kanan persamaan sering digunakan untuk merumuskan hukum integral; sisi kiri kemudian mengarah ke formulasi diferensial ekivalen (lihat di bawah).

The theorem is often used in situations where $\mathrm{\Omega }$ is an embedded oriented submanifold of some bigger manifold, often ${𝐑}^k$, on which the form $\omega$ is defined.

Pendahuluan topologi; integral melalui rantai

Maka Templat:Mvar menjadi lipatan halus. [[Simpleks | Simpleks-Templat:Mvar]] dengan Templat:Mvar didefinisikan sebagai peta dari simplekd standar pada Templat:Math ke Templat:Mvar. Grup Templat:Math dari singular kaidah-Templat:Mvar pada Templat:Mvar didefinisikan sebagai grup abelian bebas pada himpunan singular sederhana dalam Templat:Mvar. Grup ini, dengan peta batas, Templat:Math, mendefinisikan kompleks kaidah. Grup homologi (resp. Kohomologi) yang sesuai adalah isomorfik dari grup homologi tunggal biasa Templat:Math (resp. grup kohomologi tunggal Templat:Math), didefinisikan menggunakan kesederhanaan berkelanjutan dari Templat:Mvar.

Di sisi lain, bentuk diferensial, dengan turunan eksterior, Templat:Mvar, sebagai peta penghubung, membentuk kompleks cochain, yang mendefinisikan grup kohomologi de Rham Templat:Math.

Prinsip pendasar

Untuk menyederhanakan argumen topologis ini, ada baiknya untuk memeriksa prinsip yang mendasari dengan mempertimbangkan contoh untuk dimensi Templat:Math. Ide esensial dapat dipahami dengan diagram di sebelah kiri, yang menunjukkan bahwa, dalam petak berorientasikan manifold, jalur interior dilintasi dalam arah yang berlawanan; kontribusi mereka ke integral jalan sehingga membatalkan satu sama lain secara berpasangan. Akibatnya, hanya kontribusi dari batas yang tersisa. Dengan demikian, cukup untuk membuktikan teorema Stokes untuk kemiringan yang cukup halus (atau, setara, sederhana), yang biasanya tidak sulit.

Rampat himpunan kasar

Suatu daerah (di sini disebut Templat:Mvar bukan Templat:Math) dengan batas mulus sebagian. lipatan dengan sudut jadi batasnya bukanlah lipatan yang mulus.

Rumus di atas, di mana Templat:Math adalah lipatan halus dengan batas, tidak mencukupi dalam banyak aplikasi. Misalnya, jika domain integrasi didefinisikan sebagai bidang bidang antara dua koordinat Templat:Mvar dan grafik dari dua fungsi, akan sering terjadi bahwa domain tersebut memiliki sudut. Dalam kasus, titik sudut berarti bahwa Templat:Math bukan lipatan halus dengan batas, sehingga pernyataan teorema Stokes yang diberikan di atas tidak berlaku. Namun demikian, kesimpulan dari teorema Stokes. Ini karena Templat:Math dan batasnya berperilaku baik menjauh dari sekumpulan kecil titik (himpunan mengukur nol).

Lihat pula

• Chandrasekhar–lemma Wentzel
• Portal:Matematika/Intro/Gambar
• Portal:Matematika/Templat halaman

Bacaan lebih lanjut

• Templat:Cite book
• Templat:Cite journal
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book

Pranala luar

• Templat:Springer
• Proof of the Divergence Theorem and Stokes' Theorem
• Calculus 3 – Stokes Theorem from lamar.edu – an expository explanation